マシュー・フォーマン

マシュー・ディーン・フォーマンは、カリフォルニア大学アーバイン校 に所属するアメリカ人数学者である 。彼は集合論とエルゴード理論において顕著な貢献をしている。

ニューメキシコ州ロスアラモス生まれのフォーマンは、 1980年にロバート・M・ソロベイの指導の下、カリフォルニア大学バークレー校で博士号を取得した。彼の博士論文のタイトルは「大きな基数と強力なモデル理論的伝達特性」であった。^{[ 1 ]}

フォーマンは数学の研究に加えて、熱心なセーラーでもある。

彼と家族は、 2000年にC&Cヨット社製のヨット「ベリタス」で北米からヨーロッパまで航海した。2000年から2008年にかけて、彼らはベリタスで北極、シェトランド諸島、スコットランド、アイルランド、イングランド、フランス、スペイン、北アフリカ、イタリアを航海した。

特筆すべきハイライトは、ファストネット・ロック、アイリッシュ海とケルト海、そして メイルストロム、スタッド、ペントランド海峡、ネス湖、コリーヴェカン、アイリッシュ海を含む多くの航路でした。さらに南下して、シェナル・デュ・フールとラ・ド・セインを通り、ビスケー湾を横断し、フィニステール岬を回りました。ジブラルタルに入った後、フォーマンと彼の家族は西地中海を一周しました。注目すべき寄港地には、バルセロナ、モロッコ、チュニジア、シチリア、ナポリ、サルデーニャ、コルシカなどがありました。2009年、フォーマンは息子とゲストメンバーをクルーとして、ニューファンドランドを一周しました。^{[ 2 ]}

フォーマンは、そのセーリングの腕前が認められ、ウルマン・トロフィーを2度受賞している。^{[ 3 ]}

フォーマンは集合論でキャリアをスタートさせた。ヒュー・ウッディンとの初期の研究では、一般化された連続体仮説（連続体仮説を参照）がすべての無限基数で破綻することが無矛盾であることを示した。^{[ 4 ]}メナヘム・マジドールとサハロン・シェラとの共同研究では、マーティンの公理の証明可能な最大形式であるマーティンの最大値を設定し、その無矛盾性を示した。^{[ 5 ] [ 6 ]}フォーマンの集合論における後期の研究は、主に一般的な大きな基数公理の帰結を発展させることに関心があった。^{[ 7 ]}また、主にアンドラーシュ・ハジナールと共同で、古典的な「ハンガリー」分割関係についても研究した。^{[ 8 ]}

1980年代後半、フォーマンは測度論とエルゴード理論に興味を持つようになった。ランドール・ドハティと共に、単位球のバナッハ・タルスキー分解が存在し、そのすべての部分がベールの性質を持つことを示すことで、マルチェフスキー問題（1930年）を解決した（バナッハ・タルスキーのパラドックスを参照）。^{[ 9 ]}その結果、単位球の稠密な開部分集合を互いに素な開集合に分解することができ、それらの集合は等長変換によって並べ替えることで、単位球の2つの稠密な開部分集合を形成できる。フリードリヒ・ヴェールングと共に、フォーマンは、選択公理の他の形式が存在しない場合でも、ハーン・バナッハの定理が非ルベーグ可測集合の存在を意味することを示した。^{[ 10 ]}

This naturally led to attempts to apply the tools of descriptive set theory to classification problems in ergodic theory. His first work in this direction, with Ferenc Beleznay,^[11] showed that classical collections were beyond the Borel hierarchy in complexity. This was followed shortly by a proof of the analogous results for measure-preserving transformations with generalized discrete spectrum. In a collaboration with Benjamin Weiss^[12] and Daniel Rudolph^[13] Foreman showed that no residual class of measure-preserving transformations can have algebraic invariants and that the isomorphism relation on ergodic measure-preserving transformations is not Borel. This negative result finished a program proposed by von Neumann in 1932.^[14] This result was extended by Foreman and Weiss to show that smooth area-preserving diffeomorphisms of the 2-torus are unclassifiable.

Foreman's work in set theory continued during this period. He co-edited (with Kanamori) the Handbook of Set Theory and showed that various combinatorial properties of ω₂ and ω₃ are equiconsistent with huge cardinals.^[15]

In 1998 Foreman was an Invited Speaker of the International Congress of Mathematicians in Berlin.^[16]

In 2021, he gave the Gödel Lecture titled Gödel Diffeomorphisms.

He was named to the 2023 class of Fellows of the American Mathematical Society, "for contributions to axioms of mathematics, Banach-Tarski phenomena, and descriptive dynamical systems".^[17]