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『数学の基礎に関する考察』（ドイツ語: Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik ）は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインの数学哲学に関するノートをまとめた本である。GEMアンスコムがドイツ語から英語に翻訳し、 GH フォン・ライトとラッシュ・リースが編集し[ 1 ]、1956年に初版が出版された。本文は、さまざまな資料からの抜粋を選択・編集して作成された。ノートは1937年から1944年にかけて書かれたもので、一部の抜粋は後に書かれた『哲学探究』に組み込まれている。
この本が出版されたとき、マイケル・ダメット、ポール・ベルネイズ、ゲオルク・クライゼルなど、現役の論理学者や数学者から 多くの否定的なレビューを受けた[ 2 ] [ 3 ]。クライゼルの辛辣なレビューは特に注目を集めたが、彼は後にそのレビューから距離を置いた[ 4 ]。しかし、後年、この本はより肯定的なレビューを受けるようになった[ 5 ] [ 6 ] 。今日では、『数学の基礎に関する考察』は主にウィトゲンシュタインに共感する哲学者によって読まれており、彼らはより肯定的な立場を取る傾向がある[ 7 ] 。
ウィトゲンシュタインの数学哲学は、主に単純な例を通して明らかにされ、それらの例に対してさらに懐疑的な考察がなされる。本文では、数学的証明の概念について詳細な分析が行われ、哲学的考察が数学に誤った問題をもたらすというウィトゲンシュタインの主張が探求されている。ウィトゲンシュタインは『考察』の中で、数学哲学における多くの正統的な見解に反して、懐疑的な態度をとっている。
『考察』の中で特に物議を醸したのは、ゲーデルの不完全性定理に関する異例の解説を含むウィトゲンシュタインの「悪名高い段落」であった。複数の評論家は、ウィトゲンシュタインがゲーデルを誤解していると解釈した。2000年に ジュリエット・フロイドとヒラリー・パトナムは、大多数の解説がウィトゲンシュタインを誤解していると示唆したが、彼らの解釈[ 8 ] は承認されていない。[ 9 ] [ 10 ]
ウィトゲンシュタインはこう書いた
誰かが私に助言を求めてきた場面を想像してみましょう。彼はこう言います。「私はラッセルの記号体系で命題（ここでは「P」と表記します）を構築しました。そして、いくつかの定義と変換によって、この命題は『Pはラッセルの体系では証明できない』と解釈できます。この命題は一方では真であり、他方では証明できないと言わなければならないのではないでしょうか？仮にこれが偽だとすると、それが証明可能であるということが真になります。しかし、それはあり得ません！そして、もしこれが証明されたとすれば、それが証明できないことが証明されることになります。したがって、これは真であると同時に証明できないものなのです。」私たちが「どの体系で『証明可能』なのか？」と問うことができるのと同様に、「どの体系で『真』なのか？」とも問わなければなりません。 「ラッセルの体系で真」とは、先に述べたように、ラッセルの体系で証明されているという意味であり、「ラッセルの体系で偽」とは、ラッセルの体系で反対が証明されているという意味です。さて、あなたの「偽だと仮定する」とはどういう意味でしょうか。ラッセルの意味で言えば、「反対がラッセルの体系で証明されていると仮定する」という意味です。もしそれがあなたの仮定であれば、おそらくあなたは、それが証明不可能であるという解釈を放棄することになるでしょう。そして、「この解釈」とは、この英語の文への翻訳だと私は理解しています。もしあなたが、その命題がラッセルの体系で証明可能であると仮定するならば、それはラッセルの意味で真であることを意味し、「Pは証明不可能である」という解釈は再び放棄しなければなりません。もしあなたが、その命題がラッセルの意味で真であると仮定するならば、同じことが起こります。さらに、もしその命題がラッセルの意味で偽であると仮定されるならば、ラッセルの体系でそれが証明されることはこれと矛盾しない。（チェスで「負ける」と呼ばれることが、他のゲームでは勝利となる場合もある。）[ 11 ]
議論の中心となっているのは、いわゆる「キー・クレーム」である。すなわち、PがPMで証明可能であると仮定するならば、Pを英語の「Pは証明不可能である」という文で「翻訳」することを放棄すべきである、という主張である。
ウィトゲンシュタインは、初期の理想言語哲学と『論理哲学論考』がウィーン学団の思想を支配していた時期に同学団の一員であったクルト・ゲーデルの名前には言及していない。ゲーデルの遺稿には、ウィトゲンシュタインに対する反感や、ウィトゲンシュタインが意図的に定理を誤読したという信念が記されている。[ 12 ]レベッカ・ゴールドスタインなどの評論家は、ゲーデルがウィトゲンシュタインに対抗して論理定理を発展させたのではないかと推測している。[ 12 ]