デデキントカット

数学において、デデキントカットは、ドイツの数学者リヒャルト・デデキントにちなんで名付けられ（ただし、以前はジョセフ・ベルトランによって検討されていた^{[ 1 ] [ 2 ]} ）、有理数から実数を構成する方法である。デデキントカットとは、有理数を2つの空でない集合AとBに分割するもので、 Aの各要素はBのすべての要素より小さく、Aには最大の要素が存在しない。集合Bには、有理数の中で最小の要素が存在する場合と存在しない場合がある。Bに有理数の中で最小の要素が存在する場合、カットはその有理数に対応する。そうでない場合、そのカットは、大まかに言えばAとBの間の「ギャップ」を埋める唯一の無理数を定義する^{[ 3 ]}。言い換えれば、Aにはカットより小さいすべての有理数が含まれ、Bにはカット以上のすべての有理数が含まれる。無理カットは、どちらの集合にも含まれない無理数に等しい。実数（有理数か否かを問わず）はすべて、ただ一つの有理数のカットに等しい。^{[ 3 ]} 

デデキントカットは、全順序集合を2つの空でない部分AとBに分割し、Aが下方閉（Aのすべてのaについて、x ≤ aならばxもAに含まれる）であり、 Bが上方閉であり、Aに最大元が含まれないようにすることで、有理数から任意の全順序集合に一般化できます。完全性（順序理論）も参照してください。

実数におけるデデキント切断は、有理数における対応する切断によって一意に定義されることは容易に示せる。同様に、実数のすべての切断は、特定の実数（集合Bの最小要素として識別できる）によって生成される切断と同一である。言い換えれば、すべての実数が有理数のデデキント切断として定義される数直線は、それ以上のギャップのない完全な連続体である。

デデキントカットは有理数の分割である${\displaystyle \mathbb {Q} }$2つのサブセットに分割する${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$そのため

1. ${\displaystyle A}$空ではない。
2. ${\displaystyle A\neq \mathbb {Q} }$（同等に、${\displaystyle B}$（空ではない）。
3. もし${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$、${\displaystyle x<y}$、 そして${\displaystyle y\in A}$、 それから${\displaystyle x\in A}$. (${\displaystyle A}$（下方に閉じているという意味です。）
4. もし${\displaystyle x\in A}$すると、${\displaystyle y\in A}$そのため${\displaystyle y>x}$. (${\displaystyle A}$（最大の要素は含まれていません。）

簡潔に言えば、デデキントカットは、空でない真の下部分集合である。${\displaystyle \mathbb {Q} }$最大要素を持たない。

最初の2つの要件を省略することで、拡張された実数直線を正式に得ることができます。

デデキント切断を表すのに（ A , B ）という表記を用いる方が対称的ですが、 AとBはそれぞれ他方を決定します。表記の簡略化として、一方の「半分」（例えば下側）に着目し、最大元を持たない下方閉集合Aを「デデキント切断」と呼ぶことができます。

順序集合Sが完全である場合、Sのすべてのデデキントカット ( A , B )に対して、集合Bは最小要素bを持つ必要があり、 Aは区間( − ∞, b ) であり、B は区間 [ b , +∞) となります。この場合、bはカット ( A , B )によって表されると言います。

デデキント切断の主な目的は、完全でない数の集合を扱うことを可能にすることです。切断自体は、元の数の集合（多くの場合、有理数）に含まれていない数を表すことができます。切断は、2つの集合AとBに含まれる数の中に、切断が表す数bが含まれていない場合でも、数bを表すことができます。

例えば、AとBが有理数のみを含む場合、それらはまだ切り取ることができます。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$Aにはすべての負の有理数と、2乗が2未満のすべての非負の有理数を入れます。同様に、Bには2乗が2以上のすべての正の有理数を入れます。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$有理数をこのようにAとBに分割すると、分割自体が無理数を表す。

AがCの真部分集合である場合、あるデデキントカット ( A , B )は、別のデデキントカット ( C , D ) (同じ上位集合のもの)より小さいとみなします。同様に、DがBの真部分集合である場合、カット ( A , B ) は( C , D )より小さいとみなします。このようにして、集合の包含関係を用いて数の順序を表すことができ、他のすべての関係 (より大きい、以下、等しいなど) も同様に集合関係から作成できます。

デデキントカットの集合自体が、線形順序付けられた集合（集合の集合）です。さらに、デデキントカットの集合は最小上界の性質を持ちます。つまり、上界を持つ空でない部分集合はすべて最小上界を持ちます。したがって、デデキントカットの集合を構築する目的は、最小上界の性質を持たない可能性のある元の順序付き集合S を、この有用な性質を持つ（通常はより大きな）線形順序付き集合の中に埋め込むことにあります。

有理数の典型的なデデキント切断${\displaystyle \mathbb {Q} }$分割によって与えられる${\displaystyle (A,B)}$と

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ または }}a<0\},}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ かつ }}b\geq 0\}.}$^{[ 4 ]}

この切断は無理数を表しています$\displaystyle {\sqrt {2}}}$デデキントの構成では、基本的な考え方は、集合を使用するということです。${\displaystyle A}$2 未満の平方数のすべての有理数の集合である を「表現」するために$\displaystyle {\sqrt {2}}}$さらに、これらの集合に対して適切な算術演算子（加算、減算、乗算、除算）を定義することにより、これらの集合（およびこれらの算術演算）は、おなじみの実数体を形成します。

これを立証するには、${\displaystyle A}$実際にはカットであり（定義によれば）、${\displaystyle A}$つまり${\displaystyle A\times A}$（カットの乗算がどのように定義されているかの正確な定義については、上記のリンクを参照してください）${\displaystyle 2}$（厳密に言えば、この数字2はカットで表されます）${\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}}$最初の部分を示すために、任意の正の有理数に対して、${\displaystyle x}$と${\displaystyle x^{2}<2}$合理的な理由がある${\displaystyle y}$と${\displaystyle x<y}$そして$\displaystyle y^{2}<2}$選択${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$作品、したがって${\displaystyle A}$これは確かにカットです。カット間の乗算がわかったので、簡単に確認できます。${\displaystyle A\times A\leq 2}$（基本的に、これは${\displaystyle x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0}$したがって、${\displaystyle A\times A=2}$我々は、${\displaystyle A\times A\geq 2}$、任意の${\displaystyle r<2}$存在する${\displaystyle x\in A}$、${\displaystyle x^{2}>r}$。このために、次の点に気づきます。${\displaystyle x>0,2-x^{2}=\epsilon >0}$、 それから${\displaystyle 2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$のために${\displaystyle y}$上記で構築されたということは、次のシーケンスがあることを意味します。${\displaystyle A}$その正方形は任意に近づくことができる${\displaystyle 2}$これで証明は完了です。

b ²  =  2という等式は成り立たないことに注意してください。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$合理的ではない。

実数を表すデデキントカットが与えられた${\displaystyle r}$有理数を分割して${\displaystyle (A,B)}$ 合理的な${\displaystyle A}$より小さい${\displaystyle r}$そして、${\displaystyle B}$より大きい${\displaystyle r}$、それはペアの集合として等価に表現できる。${\displaystyle (a,b)}$と${\displaystyle a\in A}$そして ${\displaystyle b\in B}$下限カットと上限カットは射影によって与えられる。これは、近似する区間の集合に正確に対応します。${\displaystyle r}$。

これにより、実数に対する基本的な算術演算を区間算術の観点から定義することが可能になります。この性質と実数との関係は、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これは、構成分析のような基礎が弱い分野では特に重要です。

• デデキント、リチャード、『数の理論に関するエッセイ』、「連続性と無理数」、ドーバー出版：ニューヨーク、ISBN 0-486-21010-3プロジェクト・グーテンベルクでも入手可能です。

• 「デデキントカット」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]