投影階層

記述集合論の数学分野では、部分集合${\displaystyle A}$ポーランドの空間${\displaystyle X}$射影的であるのは、$\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ある正の整数に対して${\displaystyle n}$。 ここ${\displaystyle A}$は

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{1}}$もし${\displaystyle A}$分析的である
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$補集合が${\displaystyle A}$は$\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$
• $\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}}$ポーランド語のスペースがある場合${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$サブセット${\displaystyle C\subseteq X\times Y}$そのため${\displaystyle A}$投影は​${\displaystyle C}$に${\displaystyle X}$つまり、${\displaystyle A=\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in C\}.}$

ポーランドの空間の選択${\displaystyle Y}$上記の第３節はそれほど重要ではありません。定義の中では、固定された不可算ポーランド空間、例えばベール空間、カントール空間、または実数直線に置き換えることができます。

ベール空間の部分集合上の相対化された解析階層（薄い文字で表記）の間には密接な関係がある。${\displaystyle \Sigma }$そして${\displaystyle \Pi }$）およびベール空間の部分集合上の射影階層（太字で表記）${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$) すべてではない$\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ベール空間の部分集合は$\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$しかし、ベール空間の部分集合Xが$\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$すると、 Xが自然数 の集合Aが存在し、$\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}}$同様のことが以下についても言える。${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$集合。したがって、射影階層によって分類される集合は、分析階層の相対化バージョンによって分類される集合とまったく同じである。この関係は、効果的な記述的集合論において重要である。定義可能性の観点から言えば、実数の集合は、ある実数パラメータから2階算術の言語で定義可能である場合に限り、射影的である。^{[ 1 ]}

射影階層と相対化された解析階層の間の同様の関係は、カントール空間の部分集合、そしてより一般的には任意の有効ポーランド空間の部分集合に対して成り立つ。

• ボレル階層

• Kechris, AS (1995), 『古典的記述集合論』、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94374-9
• ロジャース、ハートリー(1987) [1967]、『再帰関数と有効計算可能性の理論』、MIT出版ペーパーバック初版、ISBN 978-0-262-68052-3