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ジュラ・ケーニヒ（1849年12月16日 - 1913年4月8日）はハンガリーの数学者。ドイツ語で書かれた彼の数学論文は、ユリウス・ケーニヒ名義で発表された。彼の息子、デーネス・ケーニヒはグラフ理論家であった。
ジュラ・ケーニヒは文学と数学の両分野で活躍した。ウィーンで医学を学び、1868年からはハイデルベルクで学んだ。ヘルマン・フォン・ヘルムホルツの指導のもと、神経の電気刺激に関する研究を行った後、数学に転向した。
彼は数学者レオ・ケーニヒスベルガーの指導の下、博士号を取得した。彼の博士論文「楕円関数のモジュラー方程式の理論について」は24ページに及ぶ。博士研究員として、ベルリンでレオポルド・クローネッカーとカール・ヴァイエルシュトラスの講義を受け、数学の研究を修了した。
その後、彼はブダペストに戻り、 1871年に同大学の准教授に任命された。1873年にはブダペストの教員養成大学の教授となり、翌年にはブダペスト工科大学の教授に任命された。彼は生涯同大学に在籍した。彼は3度工学部長を務め、また3度学長を務めた。1889年にはハンガリー科学アカデミーの会員に選出された。ユダヤ系の出自であったが、ケーニヒは選出後まもなくキリスト教に改宗した。[ 1 ] 1905年に引退したが、その後も興味のあるテーマで講義を続けた。彼の息子デネシュも著名な数学者となった。
ケーニッヒは多くの数学分野で活躍した。多項式イデアル、判別式、消去法に関する彼の研究は、レオポルド・クロネッカーとダフィット・ヒルベルト、そしてエミー・ネーターを結びつけるものとみなすことができる。後に彼のアイデアは大幅に簡略化され、今日では歴史的な興味の対象となっているに過ぎない。
ケーニッヒは既に、科学的思考に対する物質的影響と、思考の背後にあるメカニズムについて考察していた。
集合論の基礎は、私たちの意識の内的視点から得られた事実を形式化し、法制化することであり、それによって私たちの「科学的思考」そのものが科学的思考の対象となる。
彼は主に集合論への貢献と、集合論への反対姿勢で記憶されている。
ゲオルク・カントールの最も偉大な業績の一つは、連分数を用いて正方形の点と辺の点との間に一対一の対応関係を構築したことである。ケーニッヒは、カントールが見落としていた、小数を用いたより単純な方法を発見した。
1904年、ハイデルベルクで開催された第3回国際数学者会議において、ケーニッヒはカントールの連続体仮説を反証する講演を行った。この発表は大きなセンセーションを巻き起こし、マスコミによって広く報道された。彼の講演を誰もが聞けるよう、すべての分科会が中止された。
ケーニッヒは、ヒルベルトの弟子であるフェリックス・ベルンシュタインの論文で証明された定理を適用したが、この定理はベルンシュタインが主張したほど普遍的に妥当なものではなかった。後にカントールの全集の編集者となるエルンスト・ツェルメロは、翌日には既にこの誤りを発見していた。1905年には、ベルンシュタインが自身の定理を訂正する短い注釈を発表し、ケーニッヒも自身の主張を撤回した。
それにもかかわらず、ケーニッヒは集合論の一部を否定する努力を続けた。1905年、彼はすべての集合が整列可能であるとは限らないことを証明したと主張する論文を発表した。
連続体の有限個の要素が、濃度の連続体の部分集合を形成することを示すのは容易である。その理由は、そのような定義は有限個の文字と句読点によって完全に表現されなければならず、使用できる文字と句読点の数も有限個しかないからである。
この主張は、カントールが1906年にヒルベルトに宛てた手紙の中で疑問を呈した。
無限の定義（有限時間では不可能）は不条理である。ケーニッヒの基数に関する主張が有限に定義可能な実数すべてが可算であるという仮定が正しければ、実数の連続体全体が可算であるということになりますが、これは明らかに間違っています。したがって、ケーニッヒの仮定は誤りであるに違いありません。私は間違っているのでしょうか、それとも正しいのでしょうか？[ 2 ]
カントールは間違っていた。今日ではケーニッヒの仮定が一般的に受け入れられている。カントールとは対照的に、現在では大多数の数学者は定義不可能な数を不条理とは考えていない。ケーニッヒによれば、この仮定は、
奇妙なほど単純な方法で、連続体は整列できないという結果に至ります。連続体の要素を整列した集合と想像すると、有限に定義できない要素は、その整列した集合の部分集合を形成し、その部分集合には確かに連続体の要素が含まれています。したがって、この整列には、すべての有限に定義可能な数の後に、最初に有限に定義できない要素が存在するはずです。これは不可能です。この数は、前の文で有限に定義されたばかりです。連続体が整列できるという仮定は、矛盾を招いています。
ケーニッヒの結論は厳密ではない。彼の議論は、連続体が整列可能である可能性を排除するものではなく、むしろ「連続体は言語Lにおける定義によって整列可能である」と「言語Lで定義可能であるという性質自体が言語Lで定義可能である」という二つの命題の連言を排除するものである。後者はもはや一般的には真とは考えられていない。説明については、リチャードのパラドックスを参照されたい。
ケーニヒは晩年、集合論、論理学、算術に関する独自の研究に没頭し、その成果は彼の死後1年後の1914年に出版された。彼は亡くなる直前まで、その本の最終章を執筆中だった。
当初、ゲオルク・カントールはケーニヒを高く評価していた。 1905年にフィリップ・ジュールダンに宛てた手紙の中で、彼は次のように書いている。
ブダペストのユリウス・ケーニヒ氏が、一般的には誤りであるベルンシュタイン氏の定理に惑わされ、ハイデルベルクで開催された国際数学者会議で、あらゆる集合、すなわちあらゆる無矛盾な集合にアレフを割り当てることができるという私の定理に反対する講演を行ったことは、きっとご存じでしょう。いずれにせよ、ケーニヒ氏自身による建設的な貢献は素晴らしいものです。
その後、カントールは態度を変えた。
クローネッカーとその弟子たち、そしてゴルダンが集合論に対して言ったこと、ケーニッヒ、ポアンカレ、ボレルが集合論に対して書いたことは、すぐに誰からもくだらないものとして認識されるだろう。
—ヒルベルトへの手紙、1912年
そうすれば、ポアンカレとケーニッヒによる集合論への攻撃がナンセンスであることが明らかになるだろう。
—シュヴァルツ宛の手紙、1913年
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