遺伝性セット

集合論において、遺伝集合（または純粋集合）とは、その要素がすべて遺伝集合である集合のことである。つまり、集合のすべての要素はそれ自体が集合であり、その要素のすべての要素も集合であり、以下同様に同様である。

たとえば、空集合が遺伝集合であることは空虚に真であり、したがって空集合のみを含む集合は遺伝集合です。同様に、空集合と空集合のみを含む集合の 2 つの要素を含む集合は遺伝集合です。 ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$

フォン・ノイマン宇宙で解釈されることを意図した集合論の定式化、またはツェルメロ・フランケル集合論の内容を表現することを目的としている集合論の定式化では、集合の要素となる候補となる唯一のオブジェクトは別の集合であるため、すべての集合は遺伝的である。したがって、遺伝的集合の概念は、未要素が存在する可能性があるコンテキストでのみ興味深い。

遺伝集合の帰納的定義は、集合の帰属関係が整基礎であること（すなわち、正則性の公理）を前提としており、そうでなければ、再帰式は一意の解を持たない可能性がある。しかし、これは次のように非帰納的に言い換えることができる。集合が遺伝的であるのは、その推移閉包が集合のみを含む場合のみである。このように、遺伝集合の概念は、集合がそれ自身のメンバーになることができる非整基礎集合論にも拡張することができる。たとえば、自分自身のみを含む集合は遺伝集合である。

• 遺伝的に可算な集合
• 遺伝的に有限な集合
• 根拠のあるセット

• クネン、ケネス(1980)。集合論：独立性証明入門。ノースホランド。ISBN 0-444-85401-0。