ボレル階層

数理論理学において、ボレル階層はポーランド空間の開集合によって生成されるボレル代数の階層化であり、この代数の要素はボレル集合と呼ばれる。各ボレル集合には、ボレル集合の階数と呼ばれる一意の可算順序数が割り当てられる。ボレル階層は、記述的集合論において特に興味深い。

ボレル階層の一般的な用途の 1 つは、ランクの超限帰納法を使用してボレル集合に関する事実を証明することです。小さな有限ランクの集合の特性は、測度論と測度解析において重要です。

任意の位相空間におけるボレル代数は、開集合を含み、可算和と補集合に関して閉じている空間の部分集合の最小の集合である。ボレル代数は可算交差に関しても閉じていることが示される。

ボレル代数が明確に定義されていることの簡単な証明は、空間のべき集合全体が補集合と可算和集合の下で閉じていること、したがってボレル代数がこれらの閉包特性を持つ空間の部分集合のすべての族の共通部分であることを示すことによって行われます。この証明では、集合がボレルであるかどうかを判断するための簡単な手順は示されていません。ボレル階層の目的は、ボレル集合のより明確な特徴付けを提供することです。

空間X上のボレル階層または太字のボレル階層は、 0 より大きいすべての可算順序数に対して、クラス、、およびで構成されます。これらの各クラスは、 Xのサブセットで構成されます。クラスは次の規則から帰納的に定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \alpha}$

• 集合が開いている場合のみ、集合は存在します。${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$
• 集合が に含まれる場合、かつその補集合が に含まれる場合に限ります。${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$
• 集合がに対して に属するのは、各集合が何らかの に対してに 属し、かつ に属するような集合の列が存在する場合のみです。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha _{i}}^{0}}$${\displaystyle \alpha _{i}$${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$
• 集合が 内にある場合、かつ 内にも 内にある場合に限ります。${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

階層構造の目的は、補集合と可算和集合を使って開集合からボレル集合を構成する方法に従うことです。ボレル集合は、ある有限順序数 に対してである場合に有限ランクを持つと言われ、そうでない場合は無限ランクを持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \alpha}$

すると、階層には次の特性があることが示されます。 ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}\subseteq \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}}$

• あらゆるαに対して、である。したがって、集合がまたはに含まれる場合、その集合はαより大きい順序数に対応する階層のすべてのクラスに含まれることになる。${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\cup \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}\subseteq \mathbf {\Delta } _{\alpha +1} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$
• ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf { \Pi } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\デルタ } _{\アルファ }^{0}}$さらに、集合がこの和集合に含まれるのは、それがボレル集合である場合のみです。
• が非可算ポーランド空間である場合、任意の に対して がに含まれないことが示され、したがって階層は崩壊しません。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$

小さいランクのクラスは、古典的な記述集合論では別名で知られています。

• これらの集合は開集合です。これらの集合は閉集合です。${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$
• これらの集合は閉集合の可算な和集合であり、F _σ集合と呼ばれます。これらの集合は双対クラスであり、開集合の可算な共通集合として記述できます。これらの集合はG _δ集合と呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{2}^{0}}$

ライトフェイス ボレル階層（実効ボレル階層^{[1] pp.163--164}とも呼ばれる）は、太字ボレル階層の実効バージョンです。実効記述集合論と再帰理論において重要です。ライトフェイス ボレル階層は、実効ポーランド空間の部分集合の算術階層を拡張します。これは超算術階層と密接に関連しています。

ライトフェイスボレル階層は、任意の有効ポーランド空間上で定義できます。これは、チャーチ・クリーネ順序数未満のすべての非ゼロ可算順序数に対して、クラス 、およびで構成されます。各クラスは、空間のサブセットで構成されます。クラスとクラスの要素のコードは、次のように帰納的に定義されます。^[2]${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \Delta _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

• 集合が実際に開いている場合、つまり、計算可能に列挙可能な基本開集合の列の和集合である場合に限り、集合は開いている。このような集合のコードはペア(0,e)であり、ここでe は基本開集合の列を列挙するプログラムのインデックスである。${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$
• 集合 は、その補集合が である場合に限ります。これらの集合の 1 つのコードは(1,c)のペアです。ここで、c は補集合のコードです。${\displaystyle \Pi _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$
• 集合 とは、集合のシーケンス に対して、 それぞれがおよび であるような、計算可能に列挙可能なコード シーケンスが存在する場合です。集合 のコードはペア(2,e)です。ここで、e はシーケンス のコード を列挙するプログラムのインデックスです。${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \Pi _{\alpha _{i}}^{0}}$${\displaystyle \alpha _{i}$${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle A_{i}}$

ライトフェイス ボレル セットのコードは、より小さいランクのセットからセットを復元する方法に関する完全な情報を提供します。これは、そのような有効性を必要としないボールドフェイス階層とは対照的です。各ライトフェイス ボレル セットには、無限の数の異なるコードがあります。他のコーディング システムも可能です。重要な考え方は、コードは、実質的に開いているセット、以前のコードによって表されるセットの補集合、およびコードのシーケンスの計算可能な列挙を効果的に区別する必要があるということです。

それぞれに対して に集合が存在することが示され、したがって階層は崩壊しません。ただし、 の段階では新しい集合は追加されません。 ${\displaystyle \alpha <\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \Sigma _{\alpha }^{0}\setminus \Pi _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

スペクターとクリーネによる有名な定理によれば、集合がライトフェイス ボレル階層にあるのは、それが解析階層のレベルにある場合のみである。これらの集合は超算術集合とも呼ばれる。さらに、すべての自然数に対して、実効ボレル階層のクラスとは同じ名前の算術階層のクラスとと同じである。 ^{[1] p.168}${\displaystyle \Delta _{1}^{1}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$${\displaystyle \Sigma _{n}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$

ライトフェイス ボレル セットAのコードを使用して、コードでラベル付けされたノードを持つツリーを帰納的に定義できます。ツリーのルートは、Aのコードでラベル付けされます。ノードが形式(1,c)のコードでラベル付けされている場合、コードがcである子ノードが存在します。ノードが形式(2,e)のコードでラベル付けされている場合、プログラムによってインデックスeで列挙されたコードごとに 1 つの子が存在します。ノードが形式(0,e)のコードでラベル付けされている場合、子は存在しません。このツリーは、 より小さいランクの集合からAを構築する方法を示しています。 Aの構築に使用される順序数は、このツリーに無限パスが存在しないことを保証しています。これは、ツリーを通る無限パスには2から始まる無限の数のコードが含まれる必要があり、したがって順序数の無限減少シーケンスが生成されるためです。逆に、 の任意の部分木が、そのノードに一貫した方法でコードでラベル付けされており、木に無限パスがない場合、木のルートのコードは lightface Borel 集合のコードです。この集合のランクは、Kleene–Brouwer 順序における木の順序タイプによって制限されます。木は算術的に定義可能なので、このランクは 未満でなければなりません。これが、lightface 階層の定義における Church–Kleene 順序数の起源です。 ${\displaystyle \omega ^{<\omega }\,}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

• 射影階層
• ワッジ階層
• ヴェブレン階層

• Kechris, Alexander . 古典的記述集合論. Graduate Texts in Mathematics v. 156、Springer-Verlag、1995年 。ISBN 3-540-94374-9 。
• ジェック、トーマス。 集合論、第 3 版。 Springer、2003 年。ISBN 3-540-44085-2。