フレーゲの定理

メタ論理学およびメタ数学において、フレーゲの定理は、算術のペアノ公理がヒュームの原理から二階論理で導出できることを述べるメタ定理である。この定理は、ゴットロープ・フレーゲが1884年の著書『算術の基礎』^{[ 1 ]}で非公式に初めて証明し、1893年の著書『算術の基本法則I』 ^{[ 2 ]}でより正式に証明した。この定理は1980年代初頭にクリスピン・ライトによって再発見され、それ以来、重要な研究の対象となっている。これは、新論理主義（少なくともスコットランド学派の）として知られる数学哲学の中核をなすものである。

フレーゲは『算術の基礎』（1884年）および後に『算術の基本法則』（第1巻、1893年、第2巻、1903年）において、論理的であると主張する公理から算術のすべての法則を導き出そうと試みた（論理主義を参照）。これらの公理のほとんどは彼の『概念書』から引き継がれたものであり、真に新しい原理は彼が基本法則V ^{[ 2 ]}（現在では無制限理解の公理図式として知られている）と呼んだものであった。^{[ 3 ]}関数f ( x ) の「値域」は、∀ x [ f ( x ) = g ( x )]の場合に限り、関数g ( x )の「値域」と同じである。しかし、基本法則Vは論理命題として不適切であっただけでなく、結果として得られた体系はラッセルのパラドックスに陥るため、矛盾していることが判明した。^{[ 4 ]}

フレーゲの基本法則の矛盾は、フレーゲの業績を覆い隠してしまった。エドワード・ザルタによれば、基本法則は「単一の一貫した原理から算術の基本命題を（二階述語論理で）正しく証明するためのすべての重要なステップを含んでいる」^{[ 4 ]} 。この業績はフレーゲの定理として知られるようになった。^{[ 4 ] [ 5 ]}

命題論理において、フレーゲの定理はこのトートロジーを指している。

${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\to {\big (}(P\to Q)\to (P\to R){\big )}}$

この定理は、考えられる最も弱い論理体系の一つである構成的含意計算において既に成立している。ブロウワー＝ヘイティング＝コルモゴロフ解釈による証明は以下の通りである。${\displaystyle f\mapsto g\mapsto p\mapsto (f(p)\circ g)(p)}$言葉で説明すると、「f を、P がQ をRを含意する理由とする。gを、 P がQ を含意する理由とする。f が与えられ、 g が与えられ、Pの理由pが与えられたとき、 gによってQが成り立ち、fによってQ がRを含意する理由が成り立つことがわかる。したがって、Rが成り立つ。」

右側の真理値表は意味論的な証明を示しています。P、Q、R（1列目、3列目、5列目）に偽（✗）または真（✓）を割り当てるすべての可能な場合について、各部分式は実質条件式の規則に従って評価され、その結果は主演算子の下に表示されます。6列目は、式全体がすべての場合において真と評価されること、つまり恒真式であることを示しています。実際、その前件（2列目）と後件（10列目）は等価です。

• ゴットロブ・フレーゲ (1884)。Die Grundlagen der Arithmetik – eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (PDF) (ドイツ語)。ブレスラウ: フェルラーク・フォン・ヴィルヘルム・ケブナー。
• ゴットロブ・フレーゲ (1893)。Grundgesetze der Arithmetik (ドイツ語)。 Vol.  1. イエナ：フェルラーグ・ヘルマン・ポーレ。– 2016年10月21日にWayback Machineにアーカイブされた現代記法版
• ゴットロブ・フレーゲ (1903)。Grundgesetze der Arithmetik (ドイツ語)。 Vol.  2. イエナ：フェルラーグ・ヘルマン・ポーレ。– 2017年8月29日にWayback Machineにアーカイブされた現代記法版