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数理論理学において、ブール値モデルは、モデル理論におけるタルスキアンの通常の構造概念を一般化したものである。ブール値モデルでは、命題の真偽値は「真」と「偽」に限定されず、何らかの固定された完全ブール代数の値をとる。
ブール値モデルは、ポール・コーエンの強制法を理解するために、1960年代にダナ・スコット、ロバート・M・ソロベイ、ペトル・ヴォペンカによって導入されました。また、直観主義論理におけるヘイティング代数意味論とも関連しています。
完全なブール代数B [ 1 ]と一階述語論理Lを固定します。Lのシグネチャは、定数記号、関数記号、および関係記号の集合で構成されます。
言語Lのブール値モデルは、要素 (または名前)の集合であるユニバースMと、記号の解釈から構成されます。具体的には、モデルはLの各定数記号にMの要素を割り当て、Lの各n項関数記号fとMの各nタプル⟨ a 0 ,..., a n -1 ⟩に対して、項f ( a 0 ,..., a n -1 ) にMの要素を割り当てる必要があります。
Lの原子式の解釈はより複雑です。Mの要素の各ペアaとbに対して、モデルは式 a = b に真理値 ‖ a = b ‖ を割り当てる必要があります。この真理値はブール代数Bから取得されます。同様に、Lの各n項関係記号RとMの各n項タプル⟨ a 0 ,..., a n -1 ⟩に対して、モデルはBの要素を真理値‖ R ( a 0 ,..., a n -1 ) ‖として割り当てる必要があります。
原子式の真理値は、ブール代数の構造を用いて、より複雑な式の真理値を再構築するために使用できます。命題結合子の場合、これは簡単です。部分式の真理値に、対応するブール演算子を適用するだけです。たとえば、φ ( x )とψ ( y , z )がそれぞれ1つと2つの自由変数を持つ式であり、a、b、cがx、y、zに代入されるモデルの宇宙の要素である場合、次の真理値は
単に
量化された式の真理値を定義するには、ブール代数の完全性が必要です。φ ( x )が自由変数x（および場合によっては省略された他の自由変数）を含む式である場合、
ここで、右辺は、a がM上を移動するときのすべての真理値 || φ ( a )||の集合Bにおける上限として理解される。
式の真偽値は、完全ブール代数Bの要素である。
完全なブール代数B [ 1 ]が与えられたとき、 V Bで表されるブール値モデルが存在し、これはフォン・ノイマン宇宙Vのブール値版です。（厳密に言えば、V Bは適切なクラスなので、モデルであることの意味を適切に再解釈する必要があります。）非公式には、 V Bの要素は「ブール値集合」です。通常の集合Aが与えられたとき、すべての集合はAの要素であるか、そうでないかのどちらかです。しかし、ブール値集合が与えられたとき、すべての集合はAに対してある一定の（固定された）メンバーシップ度を持ちます。
ブール値集合の要素もまたブール値集合であり、その要素もまたブール値集合である、といった具合に続きます。ブール値集合の非循環的な定義を得るために、累積階層に似た階層構造で帰納的に定義します。Vの各順序数αに対して、集合V B α は次のように定義されます。
クラスV B は、すべての集合V B αの和集合として定義されます。
この構成全体を、 ZFの推移的モデルM（あるいはその一部）に相対化することも可能です。ブール値モデルM Bは、上記の構成をMの内部に適用することによって得られます。推移的モデルに限定することは、Mostowskiの崩壊補題が示すように、すべての「妥当な」（整礎的、外延的）モデルが推移的モデルと同型であるため、深刻な問題ではありません。（モデルMが推移的でない場合、Mにおける「関数」または「順序数」の意味の解釈が「外部」の解釈と異なる可能性があるため、事態はより複雑になります。）
上記のようにV Bの要素が定義されたら、V B上のB値等号関係とメンバーシップ関係を定義する必要があります。ここで、V B上のB値関係は、 V B × V BからBへの関数です。通常の等号関係とメンバーシップ関係との混同を避けるため、これらはV Bのxとy に対して‖ x = y ‖および‖ x ∈ y ‖で表されます。これらは次のように定義されます。
記号 Σ と Π は、それぞれ完全ブール代数Bにおける最小上界演算と最大下界演算を表します。一見すると、上記の定義は循環しているように見えます。‖ ∈ ‖は‖ = ‖に依存し、‖ = ‖ は‖ ⊆ ‖に依存し、‖ ∈ ‖ は‖ ∈ ‖に依存します。しかし、詳しく調べると、 ‖ ∈ ‖の定義は、ランクの小さい要素に対してのみ‖ ∈ ‖に依存することがわかります。したがって、‖ ∈ ‖と‖ = ‖は、 V B × V BからBへの適切に定義された関数です。
V B上のB値関係‖ ∈ ‖および‖ = ‖によって、 V Bがブール値集合論モデルになることが示せる。自由変数を持たない一階集合論の各文はBに真理値を持つ。等号公理と ZF 集合論のすべての公理 (自由変数なしで記述) が真理値 1 ( Bの最大要素) を持つことを示さなければならない。この証明は単純だが、検証する必要のある公理が多数あるため長くなる。
集合論者は、独立性の結果を得たり、他の目的のために集合論のモデルを構築したりするために、強制法と呼ばれる手法を用います。この方法はもともとポール・コーエンによって開発されましたが、その後大きく拡張されました。ある形式では、強制法は半順序集合の一般的な部分集合を「宇宙に追加」します。この半順序集合は、新しく追加された対象に興味深い性質を課すように設計されています。問題は、（興味深い半順序集合の場合）そのような一般的な部分集合が存在しないことが証明できる点です。これに対処する一般的な方法は3つあります。
ブール値モデルは、構文強制に意味論を与えるために使用できます。ただし、その代償として、意味論は2値（「真か偽か」）ではなく、完全なブール代数から真理値が割り当てられます。強制順序集合Pが与えられると、対応する完全なブール代数Bが存在し、これは多くの場合、 Pの正則な開部分集合の集合として得られます。ここで、Pの位相は、すべての下側集合を開集合（すべての上側集合を閉集合）と宣言することによって定義されます。（ Bを構築する他のアプローチについては、後述します。）
これで、 B上の順序(ゼロ要素を除去した後) は強制の目的でP の代わりになり、強制関係は、pがBの要素でφ が強制言語の式である場合、と意味的に解釈できます。
ここで、|| φ || はV Bにおけるφの真偽値です。
このアプローチは、架空の汎用オブジェクトに頼ることなく、 V上で強制することに意味論を割り当てることに成功している。欠点は、意味論が 2 値ではないこと、およびBの組み合わせが、基となる半順序集合Pの組み合わせよりも複雑になることが多いことである。
強制法の解釈の一つは、ZF集合論の可算推移モデルM、半順序集合P、およびPの「一般的な」部分集合Gから始まり、これらの対象からZF集合論の新しいモデルを構築する。（モデルが可算かつ推移的であるという条件は、いくつかの技術的な問題を簡略化するが、必須ではない。）コーエンの構成は、ブール値モデルを用いて次のように実行できる。
それでは、これらの手順をさらに詳しく説明します。
任意の半順序集合Pに対して、完全なブール代数Bと、 PからB + ( Bの非ゼロ要素)への写像eが存在し、像は稠密であり、p ≤ qのときはe ( p )≤ e ( q )が成り立ち、pとqが互換性がない (相互に下限がない) ときは e ( p ) e ( q )=0 となる。このブール代数は同型を除いて一意である。これは、 Pの位相空間における正則開集合の代数として構成できる(基底集合はPであり、基底はq ≤ pとなる要素qの集合U pによって与えられる)。
半順序集合Pから完全ブール代数Bへの写像は一般には単射ではありません。写像が単射となるのは、 P が次の性質を持つ場合のみです。すなわち、すべてのr ≤ p がqと互換性がある場合、p ≤ qが成り立ちます。
ブール代数B上の超フィルターU は、 Bの要素bのうち、(G の像である) Gの何らかの要素よりも大きい要素の集合として定義されます。ブール代数上の超フィルターUが与えられたとき、 U をtrue に、その補集合を false に写像することで、{true, false} への準同型写像が得られます。逆に、このような準同型写像が与えられた場合、true の逆像は超フィルターとなるため、超フィルターは本質的に {true, false} への準同型写像と同じです。(代数学者は超フィルターの代わりに極大イデアルを用いることを好むかもしれません。超フィルターの補集合は極大イデアルであり、逆に極大イデアルの補集合は超フィルターです。)
gがブール代数Bからブール代数Cへの準同型写像であり、M Bが ZF (あるいは他の理論) の任意のB値モデルである 場合、すべての論理式の値に準同型写像gを適用することで、 M B をC値モデル に変換できます。特に、Cが {true, false} の場合、{true, false} 値モデルが得られます。これは通常のモデルとほぼ同じです。実際、{true, false} 値モデルの || = ||による同値類の集合上に通常のモデルが得られます。したがって、 M、ブール代数B 、およびB上の超フィルターUから出発して、ZF 集合論の通常のモデルが得られます。(このように構築された ZF のモデルは推移的ではありません。実際には、これを推移的モデルに変換するために、モストフスキーの崩壊補題を適用します。)
これまで見てきたように、ブール値モデルを用いて強制法を実行するには、一般的な部分集合を持つ半順序集合から超フィルター付きブール代数を構築すればよい。逆方向の計算も可能である。ブール代数Bが与えられたとき、 Bの非ゼロ要素すべてからなる半順序集合Pを構成でき、 B上の一般的な超フィルターはP上の一般的な集合に制限される。したがって、強制法とブール値モデルの手法は本質的に同等である。
