ポイントクラス

記述集合論という数学分野において、点クラスとは点の集合の集まりであり、点とは通常、ある完全ポーランド空間の要素として理解される。実際には、点クラスは何らかの定義可能性特性によって特徴づけられることが多い。例えば、ある固定されたポーランド空間の集合におけるすべての開集合の集まりは点クラスである。（開集合はある意味で定義可能であると言える。なぜなら、それは純粋に任意の点の集まりにはなり得ないからである。集合内の任意の点に対して、その点に十分近いすべての点もまた集合内に含まれなければならない。）

点クラスは、集合論や実解析における多くの重要な原理や定理を定式化する際に応用されます。強力な集合論的原理は、様々な点クラスの決定性という観点から述べることができ、これは、それらの点クラス（あるいは場合によってはより大きな点クラス）内の集合が、ルベーグ可測性（そして実際には普遍可測性）、ベールの性質、完全集合の性質などの正則性を持つことを意味します。

実際には、記述集合論者は、ベール空間やカントール空間のような固定されたポーランド空間で作業することで問題を単純化することが多い。これらの空間はそれぞれゼロ次元であるという利点があり、実際、その有限または可算べき乗と同相であるため、次元の考慮は生じない。 ヤニス・モスコヴァキスは、すべての自然数の集合、すべての実数の集合、ベール空間、カントール空間を含む基礎となるポーランド空間の集合を一度固定し、それ以外は読者が任意の完全ポーランド空間を追加できるようにすることで、より一般的なものを提供している。そして、積空間をこれらの基礎となる空間の任意の有限デカルト積として定義する。そして、例えば、点クラス${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$すべての開集合とは、これらの積空間のいずれかのすべての開部分集合の集合を意味します。このアプローチは、${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$適切なクラスになることを避けつつ、検討されている特定のポーランドの空間について過度に具体的になることを避け、（焦点は、${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$（空間そのものではなく、開集合の集合である。）

ボレル階層およびより複雑な射影階層における点クラスは、太字フォントの下付きおよび上付きギリシャ文字で表されます。たとえば、${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$はすべての閉集合の点クラスです。${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{2}^{0}}$は、すべてのF _σ集合の点クラスです。${\displaystyle {\boldsymbol {\デルタ }}_{2}^{0}}$_{は、同時に F σ}かつG _δであるすべての集合の集合であり、${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{1}}$は、すべての解析集合の点クラスです。

このような点クラスの集合は、ある一点まで「定義可能」であればよい。例えば、ポーランド空間のすべての単元集合は閉じているので、${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$したがって、すべての${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$集合は、ポーランド空間の任意の要素（例えば、任意の実数、または任意の可算自然数列）よりも「より定義可能」でなければなりません。しかし、太字ポイントクラスは、クラス内の集合が、オラクルとして扱われる何らかの実数に対して定義可能であることを要求する場合があります（そして実際には通常要求されます） 。その意味で、太字ポイントクラスへの所属は定義可能性の特性であり、絶対的な定義可能性ではなく、定義不可能な可能性のある実数に対する定義可能性にすぎません。

太字で示される点クラス、あるいは少なくとも一般的に考慮される点クラスは、ワッジ可約性に関して閉じている。つまり、点クラス内の集合が与えられたとき、その集合の連続関数（積空間から、与えられた集合が部分集合となっている空間への関数）による逆像もまた、与えられた点クラスに含まれる。したがって、太字で示される点クラスは、ワッジ次数の下方閉和である。

ボレル階層と射影階層は、有効記述集合論にも類似するものがあり、そこでは定義可能性特性はもはやオラクルに相対化されず、絶対的なものとなる。例えば、基本的な開近傍の集合（例えば、ベール空間では、{ x ∈ ω ^ωの形の集合の集合）を固定すると、${\displaystyle \mid }$sはxの初期セグメントです。各固定有限自然数列sに対して、開いた、または${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$集合は、基本的な開近傍のすべての（任意の）和集合として特徴付けられる。${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$セット、ライトフェイス${\displaystyle \Sigma }$は、もはやそのような近傍の任意の和集合ではなく、それらの計算可能な和集合である。つまり、集合はライトフェイスである。${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$計算可能な自然数の有限列の集合Sが存在し、与えられた集合が集合 { x ∈ ω ^ωの和集合である場合、実効的にオープンとも呼ばれる。${\displaystyle \mid }$sはxの初期セグメントです} sはS内にあります。

セットはライトフェイスです$\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$それがの補数である場合${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$セット。したがって各${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$集合には、少なくとも 1 つのインデックスがあり、これは、集合を構成する基本開集合を列挙する計算可能な関数を表します。実際には、そのようなインデックスは無限に存在します。同様に、$\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$集合Bは、 Bの補集合における基本開集合を列挙する計算可能な関数を表します。

セットAはライトフェイスです ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$計算可能なシーケンスの和集合である場合$\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$集合（つまり、インデックスの計算可能な列挙が存在する）$\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$Aがこれらの集合の和集合であるような集合）。このライトフェイス集合とそのインデックスの関係は、再帰的順序数を介してライトフェイス ボレル階層を超限に拡張するために使用されます。これにより、ボレル階層のライトフェイス版であるハイパー算術階層が生成されます。（ハイパー算術階層の有限レベルは算術階層として知られています。）

同様の処理は射影階層にも適用できる。その軽面版は解析階層として知られている。

各クラスは、少なくとも上位のクラスと同等以上の規模である。

• モスコヴァキス、ヤニス・N. (1980).記述的集合論. ノース・ホランド. ISBN 0-444-70199-0。