連続関数

数学において、連続関数とは、引数の小さな変化が関数の値の小さな変化を誘発する関数である。これは、不連続と呼ばれる値の急激な変化がないことを意味する。より正確には、引数の変化が十分に小さいように制限することによって、関数の値が任意に小さくなることが保証される場合、関数は連続している。不連続関数は連続していない関数である。19世紀まで、数学者は連続性の直感的な概念に大きく依存し、連続関数のみを考慮していた。極限のイプシロン-デルタ定義は、連続性の定義を形式化するために導入された。

連続性は、関数の引数と値が実数と複素数である場合の、微積分と数学解析の中心的な概念の 1 つです。この概念は、計量空間間および位相空間間の関数に一般化されています。後者は最も一般的な連続関数であり、その定義は位相空間の基礎となります。

連続性のより強い形式は一様連続性です。順序理論、特に領域理論では、連続性の関連概念はスコット連続性です。

たとえば、時間tにおける成長中の花の高さを表す関数H ( t )は連続的であると考えられます。対照的に、時間tにおける銀行口座の残高を表す関数M ( t )は、お金が預け入れられたり引き出されたりする各時点で「ジャンプ」するため、不連続であると考えられます。

連続性のイプシロン-デルタ定義の形式は、 1817年にベルナルド・ボルツァーノによって初めて与えられた。オーギュスタン-ルイ・コーシーは連続性を次のように定義した。独立変数xの無限小増分は常に従属変数yの無限小変化を生み出す(例えばCours d'Analyse、p. 34 を参照)。コーシーは、無限小量を変数量の観点から定義し、彼の連続性の定義は、今日使用されている無限小定義とほぼ一致している (微小連続性を参照)。正式な定義と点単位の連続性と一様連続性の区別は、1830年代にボルツァーノによって初めて与えられたが、その研究が出版されたのは 1930 年代になってからであった。ボルツァーノ^{[1]と同様に、}カール・ワイエルシュトラス^[2]は、関数が点cでかつcの両側で定義されない限り、点 c での関数の連続性を否定しましたが、エドゥアール・グルサ^{[3]は、関数が点}cと片側でのみ定義されることを許容し、カミーユ・ジョルダン^[4]は、関数がcでのみ定義されている場合でも連続性を認めました。これら3つの点ごとの連続性の非同等な定義はすべて、現在でも使用されています。^[5]エドゥアルト・ハイネは1872年に一様連続性の最初の定義を提供しましたが、これらのアイデアは1854年のペーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレの講義に基づいています。 ^[6]${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$

実数から実数への関数である実関数は、直交平面上のグラフで表すことができます。このような関数は、大まかに言えば、グラフが実数直線全体を定義域とする単一の途切れのない曲線である場合に連続しています。より数学的に厳密な定義を以下に示す。^[8]

実関数の連続性は、通常、極限によって定義されます。変数xを持つ関数fが実数cで連続である場合、 xがcに近づくときの の極限は、 ${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(c).}$

関数の（大域的）連続性にはいくつかの異なる定義があり、その定義域の性質に依存します。

関数が開区間上で連続であるとは、区間が関数の定義域に含まれ、かつ関数がすべての区間点で連続している場合を指します。区間(実数直線全体) 上で連続している関数は、単に連続関数と呼ばれることが多く、また、そのような関数はどこでも連続しているとも言われます。たとえば、すべての多項式関数はどこでも連続です。 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

関数は半開区間または閉区間上で連続である。区間が関数の定義域に含まれる場合、関数は区間のすべての内部点で連続し、区間に属する各端点における関数の値は、変数が区間の内部から端点に向かうときの関数の値の極限である。たとえば、関数は定義域全体で連続であり、これは閉区間である。${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle [0,+\infty ).}$

一般的に遭遇する関数の多くは、いくつかの孤立した点を除くすべての実数によって形成される定義域を持つ部分関数です。例としては、逆関数や正接関数などがあります。これらが定義域上で連続している場合、文脈によっては、どこでも連続しているわけではないものの、連続していると言えます。他の文脈では、主に例外的な点の近くの関数の挙動に関心がある場合、不連続であると言えます。 ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto \tan x.}$

部分関数が点で不連続であるとは、その点がその定義域の位相閉包に属し、その点が関数の定義域に属さないか、またはその点で関数が連続していないことです。たとえば、関数と は0で不連続であり、0で定義するためにどの値を選択しても不連続のままです。関数が不連続である点は不連続点と呼ばれます。 ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$

数学的表記法を使用すると、上記の 3 つの意味で連続関数を定義する方法はいくつかあります。

実数 集合のサブセット上で定義された関数を とします。$${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この部分集合はfの定義域である。いくつかの選択肢としては、 ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$: つまり、実数の集合全体です。または、実数aとbの場合、${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$:は閉区間、または${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$:は開区間です。${\displaystyle D}$

領域が開区間として定義されている場合、およびは に属さず、およびの値は上の連続性には関係ありません。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle D}$

関数f がその定義域の点 cで連続であるとは、 x がfの定義域を通ってc に近づくときにの極限が存在し、 に等しい場合である^{[9] 。}数学的記法では、これは次のように書かれる。 詳しくは、これは3つの条件を意味する。まず、f はcで定義されなければならない（ cがfの定義域にあるという要件によって保証される）。次に、その方程式の極限が存在しなければならない。3番目に、この極限の値は${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(c).}$$${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$${\displaystyle f(c).}$

(ここでは、 fの定義域に孤立点が存在しないものと仮定しています。)

点cの近傍とは、少なくともcから一定の距離内にあるすべての点を含む集合である。直感的には、関数が点cで連続であるとは、関数fの c 近傍での値域が、c の周りの近傍の幅が 0 に縮小するにつれて 1 点に縮小する場合である。より正確には、関数f がその定義域の点cで連続であるとは、任意の近傍について、その定義域内に近傍が存在し、${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle N_{1}(f(c))}$${\displaystyle N_{2}(c)}$${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

近傍は任意の位相空間で定義されるため、連続関数のこの定義は実関数だけでなく、定義域と共定義域が位相空間である場合にも適用され、したがって最も一般的な定義です。関数はその定義域のすべての孤立点において自動的に連続します。たとえば、整数上のすべての実数値関数は連続です。

代わりに、 cに収束する領域内の任意の点の列 に対して、対応する列が次のように収束することを要求することができる 。数学的記法では、${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f(c).}$$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

関数の極限の定義を明示的に含めると、自己完結的な定義が得られます。上記の関数と定義域の要素が与えられた場合、次が成り立つ点で連続であると言えます。どんなに小さい正の実数に対しても、 の定義域内のすべてのに対しての値が を満たす ような正の実数が存在する。${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

言い換えると、におけるの連続性は、任意の に対してが存在し、すべての に対して となることを意味します。 ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in D}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in D}$$${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

もっと直感的に言えば、もしすべての値を周りの小さな近傍内に留めたいのであれば、周りの値に対して十分小さい近傍を選ぶ必要があると言えます。もしそれができるなら、近傍がどんなに小さくても連続です。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

現代的な言葉で言えば、これは、位相（ここでは計量位相 ）の基底に関する関数の連続性の定義によって一般化されます。

ワイエルシュトラスは区間が完全に領域 内にあることを要求しましたが、ジョルダンはその制限を削除しました。 ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$${\displaystyle D}$

証明や数値解析では、極限がどのくらい速く収束するか、言い換えれば剰余の制御を知る必要があることがよくあります。これを連続性の定義として形式化することができます。関数は制御関数と呼ばれます。 ${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• Cは非減少である
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

関数が においてC連続であるとは、次のような近傍が存在するときである。 ${\displaystyle f:D\to R}$${\displaystyle x_{0}}$${\textstyle N(x_{0})}$$${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})}$$

関数が において連続であるとは、それが何らかの制御関数Cに対してC連続である場合を指します。 ${\displaystyle x_{0}}$

このアプローチは、許容される制御関数の集合を制限することによって連続性の概念を自然に洗練することにつながる。与えられた制御関数の集合に対して、関数が連続であるとは、ある関数が-連続である場合である。例えば、指数αの以下のリプシッツ連続関数とヘルダー連続関数は 、それぞれ 制御関数の集合によって定義される 。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.}$$

連続性は振動の観点からも定義できます。関数fがある点で連続であるためには、その点での振動がゼロである必要があります。^[10]記号では、この定義の利点は不連続性を定量化できることです。振動は、関数がある点でどれだけ不連続であるかを示します。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

この定義は、記述集合論において不連続点と連続点の集合を研究するのに役立ち、ルベーグ積分可能条件の一方向の迅速な証明を与える。^[11]${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle G_{\delta }}$

振動は、単純な並べ替えと振動を定義するための限界 ( lim sup、lim inf ) を使用することによって定義と同等になります。つまり、(特定の時点で) 与えられた に対して定義を満たす が存在しない場合、振動は少なくとも であり、逆に、任意の に対して が存在する場合、振動は 0 です。振動の定義は、位相空間から距離空間への写像に自然に一般化できます。 ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon _{0},}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta ,}$

コーシーは関数の連続性を、次のような直感的な言葉で定義しました。独立変数の微小な変化は従属変数の微小な変化に対応する ( Cours d'analyseの 34 ページを参照)。非標準解析は、これを数学的に厳密にする方法です。実数直線に無限数と微小数を加えて超実数を形成します。非標準解析では、連続性は次のように定義できます。

(ミクロ連続性を参照)。言い換えれば、独立変数の微小な増加は常に従属変数の微小な変化を生じ、オーギュスタン＝ルイ・コーシーの連続性の定義を現代風に表現したものです。

与えられた関数の連続性の確認は、与えられた関数の構成要素の上記の定義特性の1つを確認することによって簡略化できます。ある領域で連続する2つの関数の和がこの領域でも連続であることを示すのは簡単です。 すると、連続関数の和 （すべてのに対して で定義される）は、$${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle s=f+g}$$${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D.}$

連続関数の積についても同様に成り立ち、 （すべてのに対して で定義される）は連続である。$${\displaystyle p=f\cdot g}$$${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D.}$

上記の連続性の保存と、上の定数関数と恒等関数の連続性を組み合わせると 、上のすべて の多項式関数の連続性が実現されます (右の図を参照)。 ${\displaystyle I(x)=x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$$

同様に、連続関数の逆数 （となるすべての関数に対して で定義される）は、$${\displaystyle r=1/f}$$${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}.}$

これは、連続関数の商の根 （すべてのに対して で定義され、 となるもの）を除くと、 も 上で連続であることを意味します。 ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle q=f/g}$$${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle g(x)\neq 0}$${\displaystyle D\setminus \{x:g(x)=0\}}$

例えば、関数（図）は すべての実数に対して定義され、すべての点で連続しています。したがって、これは連続関数です。は の領域にないため、 での連続性の問題は発生しません。すべてに対してと一致する連続関数は存在しません。$${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$$${\displaystyle x\neq -2}$${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle x=-2}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle y(x)}$${\displaystyle x\neq -2.}$

関数sinはすべての実数で連続なので、sinc関数は 定義され、すべての実数で連続です。ただし、前の例とは異なり、Gは、 xが0に近づくときの極限である1を値として定義することで、すべての実数で連続関数に拡張できます。つまり、 ${\displaystyle G(x)=\sin(x)/x,}$${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle G(0)}$${\displaystyle G(x),}$$${\displaystyle G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$

したがって、

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}$

sinc 関数はすべての実数に対して連続関数になります。除去可能な特異点という用語は、関数の値を適切な制限と一致するように (再) 定義すると、関数が特定の点で連続になるような場合に使用されます。

連続関数のより複雑な構成は関数合成です。 2 つの連続関数があるとする と、と表され で定義される それらの合成 は連続です。 $${\displaystyle g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{ and }}\quad f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},}$$${\displaystyle c=g\circ f:D_{f}\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

この構造により、例えば、 すべての$${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$$${\displaystyle x>0.}$

不連続関数の例としては、ヘヴィサイドステップ関数 があり、次のように定義される。 ${\displaystyle H}$$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

たとえば を選びます。すると の周りには-近傍がなくなり、つまり のすべての値がの-近傍内、つまり 内になるようにする開区間がなくなります。直感的には、このタイプの不連続性は関数値の 突然のジャンプと考えることができます。${\displaystyle \varepsilon =1/2}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle H(0)}$${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

同様に、signumまたは符号関数は では不連続ですが、それ以外の場所では連続です。さらに別の例: 関数は を除くすべての場所で連続です。 $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

上記のような妥当な連続性と不連続性の他に、しばしば病的と呼ばれる動作をする関数も存在します。たとえば、トーマエ関数 は、 すべての無理数で連続し、すべての有理数で不連続です。同様に、有理数の集合の 指示関数であるディリクレ関数 は、 どこでも連続ではありません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$$${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$

が一点で連続な関数で、がそのような値であるとすると、^[13]のある近傍にわたって${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$${\displaystyle x_{0}.}$

証明:連続性の定義により、 をとると、 が存在する。 近傍に となる点があるとすると、 に対して矛盾が成り立つ。 ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$${\displaystyle \delta >0}$$${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle f(x)=y_{0};}$$${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

中間値定理は、実数の完全性に基づく存在定理であり、次のように述べています。

実数値関数fが閉区間 上で連続であり、kがとの間のある数である場合、${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b),}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle f(c)=k.}$

たとえば、子供が 2 歳から 6 歳の間に 1 メートルから 1.5 メートルに成長した場合、2 歳から 6 歳までの間のある時点で、子供の身長は 1.25 メートルになっているはずです。

結果として、f がおよび で連続であり、符号が異なる場合、ある点において は必ず0になります。 ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)}$

極値定理は、関数fが閉区間（または任意の閉有界集合）上で定義され、そこで連続している場合、関数は最大値、つまりすべてのに対してが存在することを述べています。 fの最小値についても同じことが言えます。これらの記述は、関数が開区間（または閉有界でない任意の集合）上で定義されている場合は一般には当てはまりません。たとえば、開区間 (0,1) 上で定義されている連続関数は最大値に到達せず、それ以上は有界ではありません。 ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle c\in [a,b]}$${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$${\displaystyle x\in [a,b].}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$

微分可能な関数は すべて 連続であることが示される。逆は 成り立たない。例えば、絶対値関数 $${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

はどこでも連続です。しかし、 では微分可能ではありません(他のどこでも微分可能です)。ワイエルシュトラスの関数もどこでも連続ですが、どこでも微分可能ではありません。 ${\displaystyle x=0}$

微分可能関数f ( x ) の導関数 f′ ( x ) は連続である必要はありません。f′ ( x ) が連続する場合、f ( x ) は連続的に微分可能であるといいます。このような関数の集合は と表されます。より一般的には、 ( の開区間 (または開部分集合)から実数への)関数 で、 fが回微分可能であり、fの - 次導関数が連続するような関数の集合は と表されます。微分可能性クラスを参照してください。コンピュータグラフィックスの分野では、 に関連する (ただし同一ではない) 特性は、 (位置の連続性)、(接線の連続性)、および(曲率の連続性)と呼ばれることがあります。曲線と曲面の滑らかさを参照してください。 ${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$${\displaystyle G^{0}}$${\displaystyle G^{1}}$${\displaystyle G^{2}}$

すべての連続関数は 積分可能 です（たとえば、リーマン積分の意味で）。逆は成り立ちません。これは、（積分可能だが不連続な）符号関数が示すとおりです。 $${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$

すべての に対して 極限が存在するような関数の 列 が与えられた場合、結果として得られる関数は関数の列の 点ごとの極限と呼ばれます。右のアニメーションが示すように、すべての関数が連続している場合でも、点ごとの極限関数は連続している必要はありません。ただし、すべての関数が連続し、一様収束定理により、列が一様 に収束する場合、 fは連続です。この定理を使用して、指数関数、対数、平方根関数、および三角関数が連続していることを示すことができます。 $${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$${\displaystyle x\in D,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$

不連続関数は、限定された方法で不連続になる可能性があり、方向連続性（または右連続関数と左連続関数）と半連続性の概念が生じます。大まかに言えば、関数は右連続とは、極限点に右から近づいたときにジャンプが発生しない場合です。正式には、次の条件が満たされる場合、 f は点cで右連続であると言えます。どんなに小さな数でも、値がである 領域内のすべてのxに対して が成り立つ数が存在し、${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon .}$$

これは連続関数と同じ条件ですが、cよりも厳密に大きいxに対してのみ成立することが要求されます。代わりに、すべてのxに対して成立することが要求されると、左連続関数の概念が得られます。関数が連続となるのは、右連続かつ左連続である場合のみです。 ${\displaystyle c-\delta <x<c}$

関数fが下半連続であるとは、大まかに言って、発生する可能性のあるジャンプが下方向のみで上方向ではない場合です。つまり、任意 の に対して、の値を持つ領域内のすべてのxに対して が を満たすような数が存在するということです。 逆の条件は上半連続です。 ${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$$

連続実数値関数の概念は、距離空間間の関数に一般化できます。距離空間は、X内の任意の 2 つの要素の距離の測定値として考えることができる関数 (メトリックと呼ばれる)を備えた集合です。正式には、メトリックは 、 いくつかの要件、特に三角不等式を満たす関数です。2 つの距離空間とおよび関数が 与えられた とき、任意の正の実数に対して、 を満たすすべてのが も満たすような正の実数が存在する場合、点 で連続です(指定されたメトリックに関して) 。上記の実数関数の場合と同様に、これは、極限 を持つのすべてのシーケンスに対して次の条件が成立するという条件に相当します。後者の条件は、次のように弱めることができます。が点 で連続であるためには、極限 を持つのすべての収束シーケンスに対して、シーケンス がコーシー シーケンスであり、が の定義域にあることが必要です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{X},}$$${\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle c\in X}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

距離空間間の関数が連続する点の集合は集合です。 これは連続性の定義から導かれます。 ${\displaystyle G_{\delta }}$${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

この連続性の概念は、例えば関数解析に応用されている。この分野における重要な主張は、ノルムベクトル空間と（これらは適合するノルムを備えたベクトル空間で、 と表記される） 間の線型作用素が連続であるのは、それが 有界である場合、つまり、 すべてのに対してとなる定数が存在する場合のみである、ということで ある。$${\displaystyle T:V\to W}$$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \|x\|}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$${\displaystyle x\in V.}$

距離空間間の関数の連続性の概念は、上記の定義で がおよびcに依存する方法を限定することで、さまざまな方法で強化できます。直感的には、上記の関数fが一様連続とは、が点cに依存しない場合です。より正確には、任意の実数に対してが存在し、を持つ任意の に対してが成り立つことが要求されます。したがって、任意の一様連続関数は連続です。その逆は一般には成り立ちませんが、定義域空間Xがコンパクトな場合は成り立ちます。一様連続写像は、より一般的な一様空間の状況で定義できます。^[14]${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c,b\in X}$${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}$

関数が指数 α (実数) でヘルダー連続であるとは、すべての に対して不等式 が成り立つような定数Kが存在する場合です 。任意のヘルダー連続関数は一様連続です。この特殊なケースはリプシッツ連続と呼ばれます。つまり、関数がリプシッツ連続であるとは、 任意の に対して不等式が成り立つような 定数Kが存在する場合です。 ^[15]リプシッツ条件は、たとえば常微分方程式の解に関するピカール-リンデレーフの定理で発生します。 ${\displaystyle b,c\in X,}$$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$${\displaystyle \alpha =1}$$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$${\displaystyle b,c\in X.}$

連続性のもう 1 つのより抽象的な概念は、距離の正式な概念が一般に存在しない位相空間間の関数の連続性です (距離空間の場合に存在します) 。位相空間は、集合XとX上の位相を組み合わせたもので、位相は、距離空間の開球の特性を一般化する和集合と積集合に関するいくつかの要件を満たすXの部分集合の集合であり、与えられた点の近傍について話すこともできます。位相の要素は、 (位相に関して) Xの開部分集合と呼ばれます。

2つの位相空間XとY の間の関数は 、任意の開集合に対してその逆像がX の開部分集合である場合に連続的である。つまり、f は集合XとY の間の関数（位相の要素上ではない）であるが、 fの連続性はXとYで使用される位相に依存する。 $${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle V\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$$${\displaystyle T_{X}}$

これは、 Yの閉集合（開集合の補集合）の原像がXで閉じているという条件と同等です。

極端な例: 集合X に離散位相(すべての部分集合が開いている) が与えられている場合、任意の 位相空間Tへのすべての関数は連続です。一方、Xに非離散位相(開いている部分集合が空集合とXのみ) が与えられ、空間T集合が少なくともT ₀である場合、連続関数は定数関数のみになります。逆に、共域が非離散である関数はすべて連続です。 $${\displaystyle f:X\to T}$$

連続性の -定義を近傍の言語に翻訳すると、ある点における連続性の次の定義が得られます。 ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$

関数が点において連続であるためには、 Yにおける任意の近傍Vに対して、の近傍U が存在し、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(U)\subseteq V.}$

この定義は、近傍が開近傍に制限されている同じステートメントと同等であり、イメージではなく 原イメージを使用していくつかの方法で言い換えることができます。

また、近傍を含むすべての集合も近傍であり、Xの最大のサブセットUであるため、この定義は次のように簡略化できます。 ${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$

関数が点において連続であるためには、Y における任意の近傍Vに対してが の近傍である必要があります。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

開集合はすべての点の近傍である集合であるため、関数がXのすべての点で連続するのは、連続関数である場合のみです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

XとY が距離空間である場合、すべての近傍ではなく、xを中心とする開球の近傍システムとf ( x ) を考慮することと同等です。これにより、距離空間のコンテキストでの連続性の上記の定義が再現されます。一般的な位相空間には、近さや距離の概念はありません。ただし、ターゲット空間がハウスドルフ空間である場合は、 x がa に近づくときのfの極限がf ( a )である場合に限り、 fがaで連続であることは依然として当てはまります。孤立した点で、すべての関数は連続です。 ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

マップがで連続である場合、かつその場合のみ、が上のフィルタでに収束し、 が と書き表されるとき、必ずで となる。 が の近傍フィルタを表す 場合、が で連続である場合、かつその場合のみ、^[16]となる。さらに、これは、プレフィルタがの近傍フィルタのフィルタ基底である場合に限り成り立つ^[16]。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$

位相構造には同等の定義が複数存在するため、連続関数を定義する同等の方法も複数存在します。

いくつかの文脈では、空間の位相は、極限点によって便宜的に指定される。これは、点がシーケンスの極限である場合を指定することによってしばしば達成される。それでも、ある意味で大きすぎる一部の空間では、点が、ネットと呼ばれる、有向集合によってインデックス付けされた、より一般的な点の集合の極限である場合も指定する。関数が (ハイネ) 連続となるのは、シーケンスの極限をシーケンスの極限に取る場合のみである。前者の場合、極限の保存も十分である。後者の場合、関数はシーケンスのすべての極限を保存するが、それでも連続ではない可能性があり、ネットの保存は必要かつ十分な条件である。

詳細には、関数が順次連続であるとは、内のシーケンスが極限に収束するときは 常に、シーケンスが に収束する場合です。したがって、順次連続関数は「順次極限を保存します」。すべての連続関数は順次連続です。 が第 1 可算空間であり、可算選択が成り立つ場合、逆も成り立ちます。つまり、順次極限を保存する任意の関数は連続です。特に、 が距離空間である場合、順次連続性と連続性は同値です。第 1 可算でない空間の場合、順次連続性は連続性よりも厳密に弱い可能性があります。(2 つの特性が同値である空間は、順次空間と呼ばれます。)これが、一般的な位相空間でシーケンスの代わりにネットを考慮する動機になります。連続関数はネットの極限を保存し、この特性が連続関数を特徴付けます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

例えば、実数値関数が1つの実変数を持つ場合を考えてみましょう。^[17]

内部作用素の観点から、位相空間間の関数が連続であるためには、任意の部分集合に対して${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$$

閉包演算子の用語では、任意の部分集合に対して が連続である場合、かつその場合に限ります。 つまり、部分集合の閉包に属する任意の要素が、の閉包に必ず属する場合です。ある点が の場合に部分集合に近いと宣言すると、この用語によって、連続性のわかりやすい英語による説明が可能になります。 が連続である場合、かつその場合に限ります。任意の部分集合に対して に近い点を に近い点に写像する場合です。同様に、 が固定された特定の点で連続である場合、かつその場合に限ります。が部分集合に近いときはいつでも がに近い場合です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

位相空間をその開部分集合で指定する代わりに、 上の任意の位相を閉包演算子または内部演算子によって決定することもできます。具体的には、位相空間の部分集合をその位相閉包に送る写像は、クラトフスキー閉包公理を満たします。逆に、任意の閉包演算子に対して、上の一意の位相(具体的には) が存在し、任意の部分集合に対して はの位相閉包 に等しくなります。集合と がそれぞれ閉包演算子 (どちらも で表記) に関連付けられている場合、写像が連続であるための必要十分条件は、任意の部分集合に対してである場合に限ります。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$${\displaystyle A\subseteq X.}$

同様に、のサブセットをその位相的内部に写像すると、内部演算子が定義される。逆に、任意の内部演算子は、（具体的には）上に一意の位相を誘導し、任意の に対して は におけるの位相的内部に等しい。集合と がそれぞれ内部演算子（両方とも で表記）に関連付けられている場合、写像が連続であるためには、任意のサブセットに対してが成り立つことが必要である^[18]${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$${\displaystyle B\subseteq Y.}$

連続性はフィルタの観点からも特徴付けられる。関数が連続的であるためには、フィルタが点に収束するときはいつでも、プレフィルタが点に収束する必要がある。この特徴は、「フィルタ」という単語を「プレフィルタ」に置き換えても成り立つ。^[16]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(x).}$

とが連続であれば、合成も連続である。が連続で、 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\to Z.}$${\displaystyle f:X\to Y}$

• Xがコンパクトであれば、f ( X ) はコンパクトです。
• Xが連結されている場合、f ( X ) は連結されています。
• X がパス接続されている場合は、f ( X ) もパス接続されています。
• X がリンデロフであれば、f ( X ) はリンデロフになります。
• X が分離可能であれば、f ( X ) も分離可能です。

固定された集合X上の可能な位相は部分的に順序付けられています。つまり、に関するすべての開部分集合が に関しても開いている場合、その位相は別の位相(表記: ) よりも粗いと言えます。この場合、恒等写像が 連続であるためには、次の条件を満たしている必要があります (位相の比較も参照)。より一般的には、連続関数は、 位相がより粗い位相に置き換えられた場合、および/またはより細かい位相に置き換えられた場合、 連続のままです。 ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}.}$ $${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)}$$${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$$${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)}$$${\displaystyle \tau _{Y}}$${\displaystyle \tau _{X}}$

連続写像の概念と対称なのは開写像であり、開集合の像は開写像である。開写像fに逆関数がある場合、その逆は連続であり、連続写像gに逆がある場合、その逆は開写像である。2つの位相空間間の全単射関数fが与えられた場合、逆関数は連続である必要はない。連続逆関数を持つ全単射連続関数は同相写像と呼ばれる。 ${\displaystyle f^{-1}}$

連続全単射がコンパクト空間をその定義域として持ち、その余域がハウスドルフである場合、それは同相写像である。

Xが位相空間で Sが集合（位相が指定されていない）である関数が与えられたとき 、 S上の最終的な位相は、 Sの開集合を、 Xにおいて開いているSの部分集合Aとすることによって定義されます。Sに既存の位相がある場合、既存の位相がS上の最終的な位相よりも粗い場合に限り、 f はこの位相に関して連続です。したがって、最終的な位相は、 f を連続にするS上の最も細かい位相です。fが全射の場合、この位相は、 fによって定義された同値関係の下で商位相と標準的に同一視されます。 $${\displaystyle f:X\to S,}$$${\displaystyle f^{-1}(A)}$

双対的に、集合Sから位相空間Xへの関数fに対して、S上の初期位相は、 Xの何らかの開部分集合Uに対してとなるSのすべての部分集合Aを開集合として指定することによって定義されます。S に既存の位相がある場合、f がこの位相に関して連続であるためには、既存の位相がS上の初期位相よりも細かい必要があります。したがって、初期位相は、f を連続にするS上の最も粗い位相です。fが単射の場合、この位相は、 Xのサブセットとして見たSの部分空間位相と標準的に同一視されます。 ${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$

集合S上の位相は、すべての位相空間Xへのすべての連続関数のクラスによって一意に決定される。双対的に、同様の考え方は写像にも適用できる。${\displaystyle S\to X}$${\displaystyle X\to S.}$

が位相空間の何らかの部分集合からの連続関数である場合、${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$から への連続拡張とは、任意の連続関数であって、任意の に対して となるものであり、これは とよく書かれる条件である。言葉で言えば、 は を に制限して となる任意の連続関数である。この概念は、例えば、ティーツェ拡張定理やハーン・バナッハの定理で使用されている。が連続でない場合、連続拡張を持つことはできない。 がハウスドルフ空間で稠密部分集合である、への連続拡張は、存在する場合、一意である。ブルームバーグの定理は、任意の関数である場合、制限のを述べている。言い換えれば、すべての関数は、それが連続する何らかの稠密部分集合に制限できる。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle F(s)=f(s)}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}.}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f{\big \vert }_{D}:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

さまざまな他の数学の分野では、連続性の概念が、異なるが関連する意味で使用されています。たとえば、順序理論では、特定の種類の半順序集合と間の順序保存関数が連続であるとは、の各有向部分集合に対して次が成り立つことです。ここで は、それぞれおよびの順序付けに関する上限です。この連続性の概念は、半順序集合にスコット位相が与えられたときの位相連続性と同じです。^{[19] [20]}${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}$${\displaystyle \,\sup \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

圏論では、 2 つの圏の間の関手が 小さな極限と可換である場合、その関手は連続的であると呼ばれます。つまり、 内のオブジェクトの任意の小さな (つまり、クラスではなく セットでインデックス付けされた)図に対して となります。 $${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$$${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$$${\displaystyle I,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

連続空間は距離空間と半順序集合の一般化であり^{[21] [22] 、}量子の概念を使用し、距離空間と領域の概念を統一するために使用できます。^[23]

• 方向保存関数- 離散空間における連続関数の類似物。

• ドゥグンジ、ジェームズ(1966)。トポロジー。ボストン: アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• 「連続関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]