ラフセット

コンピュータサイエンスにおいて、ラフ集合は、ポーランドのコンピュータ科学者Zdzisław I. Pawlakによって初めて説明され、元の集合の下限近似と上限近似を与える 1 組の集合による、クリスプ集合(つまり、従来の集合)の形式的な近似です。Pawlak (1991) ^[1]で説明されているラフ集合理論の標準バージョンでは、下限近似集合と上限近似集合はクリスプ集合ですが、他のバリエーションでは、近似集合はファジー集合である場合があります。

次のセクションでは、Zdzisław I. Pawlakによって最初に提案されたラフ集合理論の基本的な枠組みの概要と、いくつかの重要な定義を示します。ラフ集合のより正式な特性と境界については、Pawlak (1991) および引用文献を参照してください。ラフ集合の初期の基本的な理論は、最近の拡張や一般化と区別するために、 「Pawlak ラフ集合」または「古典的なラフ集合」と呼ばれることがあります。

を情報システム (属性値システム)とします。ここで、 は空でない有限のオブジェクトの集合 (宇宙) であり、 は空でない有限の属性の集合であり、任意のに対して となります。は、属性が取る可能性のある値の集合です。情報テーブルは、宇宙 内の各属性とオブジェクトにからの値を割り当てます。 ${\displaystyle I=(\mathbb {U} ,\mathbb {A} )}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle I:\mathbb {U} \rightarrow V_{a}}$${\displaystyle a\in \mathbb {A} }$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {U} }$

いずれにも関連する同値関係があります: ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$

${\displaystyle \mathrm {IND} (P)=\left\{(x,y)\in \mathbb {U} ^{2}\mid \forall a\in P,a(x)=a(y)\right\}}$

この関係は-識別不可能関係と呼ばれます。 の分割はのすべての同値類の族であり、 (または)で表されます。 ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle \mathbb {U} /\mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

の場合、と は属性によって と区別できません(または区別できません) 。 ${\displaystyle (x,y)\in \mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$

-識別不可能関係の同値類はと表記されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$

たとえば、次の情報テーブルを考えてみましょう。

属性の完全なセットを考慮すると、次の 7 つの同値クラスがあることがわかります。 ${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4} \}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{件}}}$

したがって、最初の同値クラス内の 2 つのオブジェクトは、利用可能な属性に基づいて互いに区別することはできず、2 番目の同値クラス内の 3 つのオブジェクトは、利用可能な属性に基づいて互いに区別することはできません。残りの 5 つのオブジェクトは、それぞれ他のすべてのオブジェクトと識別可能です。 ${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$

異なる属性サブセットの選択は、一般に異なる識別不能クラスにつながることは明らかです。たとえば、属性のみを選択した場合、次のような、はるかに粗い同値クラス構造が得られます。 ${\displaystyle P=\{P_{1}\}}$

${\displaystyle {\begin{ケース}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{5},O_{7},O_{9},O_{10} \}\\\{O_{4},O_{6},O_{8}\}\end{件}}}$

を属性サブセットを使用して表現したいターゲット セットとします。つまり、任意のオブジェクト セットが1 つのクラスで構成され、このクラス (つまり、このサブセット) を属性サブセットによって誘導される同値クラスを使用して表現するとします。一般に、セットには属性に基づいて区別できないオブジェクトが含まれたり除外されたりする可能性があるため、正確に表現することはできません。 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {U} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

たとえば、ターゲット セット を考え、属性サブセット を、利用可能な機能の完全なセットとします。では、オブジェクトを識別できないため、セット を正確に表現することはできません。したがって、オブジェクトとを含み、それらを除外するセットを表現する方法はありません。 ${\displaystyle X=\{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}}$${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]_{P},}$${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle O_{7}}$${\displaystyle O_{10}}$

ただし、ターゲット セットは、の-下限近似値と-上限近似値を構築することで、に含まれる情報のみを使用して近似できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\subseteq X\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\cap X\neq \emptyset \}}$

-下近似、または正の領域は、がターゲット セットに含まれる（つまり、 がサブセットである）内のすべての同値クラスの和集合です。つまり、 の例では、 がターゲット セットに含まれる 2 つの同値クラスの和集合です。下近似は、 内のオブジェクトの完全なセットであり、 がターゲット セットに属すると明確に（つまり、明確に）分類できます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle {\underline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle \mathbb {U} /P}$${\displaystyle X}$

-上近似は、ターゲット セットと空でない交差を持つ 内のすべての同値クラスの和集合です。つまり、 の例では、ターゲット セットと空でない交差を持つ 内の 3 つの同値クラスの和集合です。上近似は、 内の、ターゲット セットの補集合( ) に属すると明確に (つまり、明確に) 分類できないオブジェクトの完全なセットです。言い換えると、上近似は、ターゲット セットのメンバーである可能性のあるオブジェクトの完全なセットです。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle {\overline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}\cup \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle \mathbb {U} /P}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

したがって、このセットは、ターゲット セットのメンバーとして明確に除外できるオブジェクトのセットを含む 負の領域を表します。${\displaystyle \mathbb {U} -{\overline {P}}X}$

集合の差によって与えられる境界領域は、ターゲット集合のメンバーとして含めることも除外することもできないオブジェクトで構成されます。 ${\displaystyle {\overline {P}}X-{\underline {P}}X}$${\displaystyle X}$

要約すると、ターゲット セットの下限近似は、セットのメンバーとして明確に識別できるオブジェクトのみで構成される保守的な近似です。(これらのオブジェクトには、ターゲット セットによって除外される識別できない「クローン」はありません。) 上限近似は、ターゲット セットのメンバーである可能性のあるすべてのオブジェクトを含むリベラルな近似です。(上限近似の一部のオブジェクトは、ターゲット セットのメンバーではない場合があります。) の観点から見ると、下限近似には確実にターゲット セットのメンバーであるオブジェクト (確率 = 1) が含まれ、上限近似には非ゼロの確率 (確率 > 0) でターゲット セットのメンバーであるオブジェクトが含まれます。 ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

下限近似と上限近似からなる組はラフ集合と呼ばれます。つまり、ラフ集合は 2 つのクリスプ集合から構成され、1 つはターゲット集合の下限を表し、もう 1 つはターゲット集合の上限を表します。 ${\displaystyle \langle {\underline {P}}X,{\overline {P}}X\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

集合の粗集合表現の精度は次のように 与えられる^{[1] 。}${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha _{P}(X)={\frac {\left|{\underline {P}}X\right|}{\left|{\overline {P}}X\right|}}}$

つまり、、、の粗集合表現の精度は、に確実に配置できるオブジェクトの数と、に配置できる可能性のあるオブジェクトの数の比です。これは、粗集合がターゲット セットにどれだけ近づいているかの尺度を提供します。明らかに、上限近似と下限近似が等しい (つまり、境界領域が空) 場合、、となり、近似は完璧です。反対に、下限近似が空の場合、精度はゼロになります (上限近似のサイズに関係なく)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha _{P}(X)}$${\displaystyle 0\leq \alpha _{P}(X)\leq 1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha _{P}(X)=1}$

ラフ集合論は不確実な（曖昧な）システムを分析するために使用できる多くの方法の1つですが、確率、統計、エントロピー、デンプスター・シェーファー理論などのより伝統的な方法ほど一般的ではありません。ただし、古典的なラフ集合論を使用することの主な違い、および独自の強みは、客観的な形式の分析を提供することです。^[2]上記の他の方法とは異なり、古典的なラフ集合分析では、集合のメンバーシップを決定するために追加情報、外部パラメーター、モデル、関数、グレード、または主観的な解釈を必要とせず、代わりに、指定されたデータ内に提示された情報のみを使用します。^[3] 優位性ベース、決定理論的、ファジーラフ集合などの最近のラフ集合理論の適応により、分析にさらに主観が導入されました。

一般に、上近似値と下近似値は等しくありません。このような場合、ターゲット セットは属性セット に対して定義不可能またはほぼ定義可能であると言います。上近似値と下近似値が等しい (つまり境界が空である) 場合、 ターゲット セットは属性セット に対して定義可能です。定義不可能性の次の特殊なケースを区別できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {P}}X={\underline {P}}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

• および の場合、 Set は内部的に定義できません。つまり、属性 set には、ターゲット set に属すると確信できるオブジェクトはありませんが、set から明確に除外できるオブジェクトは存在します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$${\displaystyle {\overline {P}}X\neq \mathbb {U} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• かつの場合、セットは外部的に定義できません。つまり、属性セットには、ターゲット セットに属すると確信できるオブジェクトは存在しますが、セットから明確に除外できるオブジェクトは存在しません。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {P}}X\neq \emptyset }$${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• および の場合、セット は完全に定義不可能です。つまり、属性セット には、ターゲット セット に属していると確信できるオブジェクトはなく、セット から明確に除外できるオブジェクトはありません。したがって、属性セット では、任意のオブジェクトが のメンバーであるかどうかを決定できません。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

興味深い疑問は、情報システム (属性値テーブル) に、同値クラス構造で表現される知識にとって他の属性よりも重要な属性があるかどうかです。多くの場合、データベース内の知識をそれ自体で完全に特徴付けることができる属性のサブセットがあるかどうか疑問に思います。このような属性セットは、縮約と呼ばれます。

正式には、縮約とは、次のような 属性のサブセットである。${\displaystyle \mathrm {RED} \subseteq P}$

• ${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }}$=つまり、縮小された属性セットによって誘導される同値クラスは、完全な属性セットによって誘導される同値クラス構造と同じです。${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle \mathrm {RED} }$${\displaystyle P}$
• 属性セットは、任意の属性に対してという意味で最小です。言い換えると、同値クラスを変更せずにセットから属性を削除することはできません。${\displaystyle \mathrm {RED} }$${\displaystyle [x]_{(\mathrm {RED} -\{a\})}\neq [x]_{P}}$${\displaystyle a\in \mathrm {RED} }$${\displaystyle \mathrm {RED} }$${\displaystyle [x]_{P}}$

縮約は、カテゴリ構造を表すのに十分な機能セットと考えることができます。上記の表の例では、属性セットが縮約です。これらの属性のみに投影された情報システムは、完全な属性セットによって表現されるものと同じ同値クラス構造を持ちます。 ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

属性セットは縮約です。これらの属性のいずれかを削除すると、同値クラス構造が崩壊し、結果として となるためです。 ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }\neq [x]_{P}}$

情報システムの縮約は一意ではありません。情報システムで表現される同値クラス構造 (つまり、知識) を保持する属性のサブセットが多数存在する可能性があります。上記の情報システムの例では、別の縮約は であり、 と同じ同値クラス構造を生成します。 ${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{5}\}}$${\displaystyle [x]_{P}}$

すべての縮約に共通する属性の集合は、コアと呼ばれます。コアは、すべての縮約が持つ属性の集合であり、したがって、同値クラス構造の崩壊を引き起こすことなく情報システムから削除することができない属性で構成されます。コアは、必要な属性の集合と考えることができます。つまり、カテゴリ構造を表現するために必要な属性です。例では、そのような属性は だけです。他の属性は、同値クラス構造を損なうことなく 1 つずつ削除できるため、これらはすべて不要です。ただし、削除するだけで同値クラス構造が変化するため、 はこの情報システムに不可欠な属性であり、したがってコア です。${\displaystyle \{P_{5}\}}$${\displaystyle \{P_{5}\}}$${\displaystyle \{P_{5}\}}$

コアが空である可能性があり、これは不可欠な属性がないことを意味します。つまり、そのような情報システム内の任意の単一の属性は、同値クラス構造を変更せずに削除できます。このような場合、クラス構造を表現するために必要な 必須または必要な属性はありません。

データベース分析やデータ取得の最も重要な側面の 1 つは、属性の依存関係の発見です。つまり、どの変数が他のどの変数と強く関連しているかを発見することです。一般的に、これらの強い関係はさらなる調査を正当化し、最終的には予測モデリングに役立ちます。

ラフ集合論では、依存性の概念は非常に簡単に定義されます。 2 つの (互いに素な) 属性集合 集合と 集合 を取り、それらの間の依存性の度合いを調べます。各属性集合は (識別不可能な) 同値類構造を誘導し、 によって誘導される同値類は によって与えられ、によって誘導される同値類はによって与えられます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle [x]_{Q}}$

を、属性集合 によって誘導される同値クラス構造から与えられた同値クラスとします。属性集合 の属性集合 への依存性は、次のように表されます。 ${\displaystyle [x]_{Q}=\{Q_{1},Q_{2},Q_{3},\dots ,Q_{N}\}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$

${\displaystyle \gamma _{P}(Q)={\frac {\sum _{i=1}^{N}\left|{\underline {P}}Q_{i}\right|}{\left|\mathbb {U} \right|}}\leq 1}$

つまり、の各同値クラスについて、 の属性によるその下側近似のサイズを合計します。つまり、 です。この近似値 (上記と同様、任意のセット について) は、属性セット でターゲット セット に属していると明確に識別できるオブジェクトの数です。 のすべての同値クラスにわたって加算された上記の分子は、属性セット に基づいて、属性 によって誘導される分類に従って明確に分類できるオブジェクトの合計数を表します。したがって、依存比は、そのような分類可能なオブジェクトの割合 (全体の中で) を表します。依存は、 「の属性の値を判断するために の属性の値を知るだけで十分な情報システム内のオブジェクトの割合として解釈できます」。 ${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle [x]_{Q}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\underline {P}}Q_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle [x]_{Q}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

依存関係を考えるもう 1 つの直感的な方法は、 によって誘導されるパーティションをターゲット クラス として取り、 をターゲット クラス を「再構築」するために使用する属性セット として考えることです。 を完全に再構築できる場合、 はに完全に依存します。の結果が の不十分でランダムな再構築になる場合、 はにまったく 依存しません。${\displaystyle Q}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

したがって、この依存性の尺度は、属性セットの属性セットに対する機能的（つまり決定論的）依存性の度合いを表現しており、対称的ではありません。この属性依存性の概念と、より伝統的な情報理論的（つまりエントロピー的）な属性依存性の概念との関係は、Pawlak、Wong、Ziarko（1988）、^[4] Yao & Yao（2002）、^[5] Wong、Ziarko、Ye（1986）、^[6]およびQuafafou & Boussouf（2000）など、多くの情報源で議論されています。^[7]${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

上で説明したカテゴリ表現はすべて、本質的に外延的です。つまり、カテゴリまたは複合クラスは、そのすべてのメンバーの合計にすぎません。カテゴリを表現するということは、そのカテゴリに属する​​すべてのオブジェクトをリストまたは識別できることです。ただし、外延カテゴリ表現は、新しい (これまでに見たことのない) オブジェクトがカテゴリのメンバーであるかどうかを判断するための洞察を提供しないため、実用性は非常に限られています。

一般的に望まれるのは、カテゴリの意図的な記述、つまりカテゴリの範囲を記述する一連のルールに基づいたカテゴリの表現です。このようなルールの選択は一意ではなく、そこに帰納的バイアスの問題があります。この問題の詳細については、 「バージョン空間」と「モデル選択」を参照してください。

ルール抽出法はいくつかある。まずはZiarko & Shan (1995)に基づくルール抽出手順から始める。^[8]

サンプルシステムを特徴付ける一貫したルール（論理的含意）の最小セットを見つけたいとします。条件属性のセットと決定属性の場合、これらのルールは、または、次のように記述する 必要があります。${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{1},P_{2},P_{3},\dots ,P_{n}\}}$${\displaystyle Q,Q\notin {\mathcal {P}}}$${\displaystyle P_{i}^{a}P_{j}^{b}\dots P_{k}^{c}\to Q^{d}}$

${\displaystyle (P_{i}=a)\land (P_{j}=b)\land \dots \land (P_{k}=c)\to (Q=d)}$

ここで、 はそれぞれの属性のドメインからの正当な値です。 これは相関ルールの典型的な形式であり、内の条件/前提に一致する項目の数はルールのサポートと呼ばれます。 Ziarko & Shan (1995) に示されているこのようなルールを抽出する方法は、決定属性 の個々の値に対応する決定マトリックスを形成することです。 非公式には、決定属性 の値の決定マトリックスは、とを持つオブジェクト間で異なるすべての属性と値のペアをリストします。 ${\displaystyle \{a,b,c,\dots \}}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle d}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle d}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q=d}$${\displaystyle Q\neq d}$

これは例を挙げて説明するのが一番です (例を挙げると多くの表記法を省くことができます)。上の表で、 を決定変数 (つまり、含意の右側の変数)、 を条件変数 (含意の左側の変数) とします。決定変数はという 2 つの異なる値を取ることに注意してください。各ケースを別々に扱います。 ${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{3}\}}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \{1,2\}}$

まず、 の場合を見て、 を持つオブジェクトと を持つオブジェクトに分けます。(この場合の を持つオブジェクトは単に を持つオブジェクトですが、一般に には以外のを持つすべてのオブジェクトが含まれ、そのようなオブジェクトのクラスが複数存在する場合があります( を持つオブジェクトなど)。) この場合、 を持つオブジェクトはであり、を持つオブジェクトは です。の決定行列には、を持つオブジェクトと を持つオブジェクトの違いがすべてリストされます。つまり、決定行列にはとの違いがすべてリストされます。「正の」オブジェクト( )を行に、「負の」オブジェクトを列に置きます。 ${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle P_{4}=2}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}=2,3,4,etc.}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$

この決定マトリックスを読むには、たとえば、セルに表示されている行と列の交点を見てください。これは、決定値に関して、オブジェクト は属性およびに関してオブジェクト と異なり、正のオブジェクト のこれらの属性の特定の値はおよび であることを意味します。これは、 を決定クラスに属するものとして正しく分類するには、属性および が必要であることを示しています。どちらか一方が不要である可能性はありますが、これらの属性の少なくとも 1 つは不要であることがわかります。 ${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle O_{6}}$${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle O_{6}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle P_{1}=2}$${\displaystyle P_{3}=0}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$

次に、各決定マトリックスから、マトリックスの各行に 1 つの式があるブール式のセットを作成します。各セル内の項目は分離的に集計され、個々のセルは結合的に集計されます。したがって、上記の表には次の 5 つのブール式があります。

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\end{cases}}}$

ここでの各ステートメントは、本質的には、対応するオブジェクトのクラスへの所属を規定する非常に具体的な (おそらく具体的すぎる) ルールです 。たとえば、オブジェクトに対応する最後のステートメントは、次のすべてが満たされる必要があると述べています。 ${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle O_{10}}$

1. どちらかの値が 2 であるか、 値が 0 であるか、またはその両方である必要があります。${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$
2. ${\displaystyle P_{2}}$値は 0 でなければなりません。
3. どちらかの値が 2 であるか、 値が 0 であるか、またはその両方である必要があります。${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$
4. いずれかの値が 2 であるか、値が 0 であるか、値が 0 であるか、またはそれらの組み合わせである必要があります。${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{3}}$
5. ${\displaystyle P_{2}}$値は 0 でなければなりません。

ここではかなりの冗長性があることは明らかであり、次のステップは伝統的なブール代数を使って簡略化することです。 オブジェクトに対応するステートメントはに簡略化され、次の含意が得られます。 ${\displaystyle (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})}$${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$${\displaystyle P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}}$

${\displaystyle (P_{1}=1)\lor (P_{2}=2)\to (P_{4}=1)}$

同様に、オブジェクトに対応するステートメントは に簡略化されます。これにより、次の含意が得られます。 ${\displaystyle (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})}$${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle P_{1}^{2}P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0}P_{2}^{0}}$

${\displaystyle (P_{1}=2\land P_{2}=0)\lor (P_{3}=0\land P_{2}=0)\to (P_{4}=1)}$

上記の意味は、次のルール セットとして記述することもできます。

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}=1)\to (P_{4}=1)\\(P_{2}=2)\to (P_{4}=1)\\(P_{1}=2)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\\(P_{3}=0)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\end{cases}}}$

最初の 2 つのルールのサポートはそれぞれ1 (つまり、前提が 2 つのオブジェクトに一致する) であるのに対し、最後の 2 つのルールのサポートはそれぞれ 2 であることがわかります。この知識システムのルール セットの記述を完了するには、 の場合に上記と同じ手順 (新しい決定マトリックスの記述から開始) を実行し、その決定値に対する新しい一連の含意 (つまり、 を結論とする一連の含意) を生成する必要があります。一般に、この手順は、決定変数の可能な値ごとに繰り返されます。 ${\displaystyle P_{4}=2}$${\displaystyle P_{4}=2}$

データシステムLERS（ラフ集合に基づく例からの学習）^[9]は、矛盾するデータ、つまり矛盾するオブジェクトを持つデータからルールを導き出すことができます。2つのオブジェクトは、すべての属性の値が同じであるが、異なる概念（クラス）に属している場合に矛盾します。LERSはラフ集合論を使用して、他の概念と矛盾する概念の下限近似値と上限近似値を計算し、その値を計算します。

概念の下側近似から誘導された規則は、概念を確かに記述するため、このような規則は「確実」と呼ばれます。一方、概念の上側近似から誘導された規則は、概念をおそらく記述するため、このような規則は「可能」と呼ばれます。規則誘導のために、LERS は LEM1、LEM2、および IRIM の 3 つのアルゴリズムを使用します。

LERSのLEM2アルゴリズムはルール誘導によく使われており、LERSだけでなくRSESなどの他のシステムでも使われています。^{[10] LEM2は}属性と値のペア の探索空間を探索します。入力データセットは概念の下側または上側近似であるため、入力データセットは常に一貫しています。一般に、LEM2は局所被覆を計算し、それをルールセットに変換します。LEM2アルゴリズムを説明するために、いくつかの定義を引用します。

LEM2アルゴリズムは、属性値ペアブロックというアイデアに基づいています。を、決定値ペアによって表される概念の空でない下限近似値または上限近似値とします。集合 が属性値ペアの集合に依存する のは、次の場合のみです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (d,w)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle t=(a,v)}$

${\displaystyle \emptyset \neq [T]=\bigcap _{t\in T}[t]\subseteq X.}$

集合 はの極小複体であるため、 はに依存し、 がに依存するようなの適切な部分集合は存在しません。は、属性と値のペアの空でない集合の空でないコレクションです。 は、次の 3 つの条件が満たされる場合のみ、 の局所被覆です。${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$

の各要素はの最小の複合体であり、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathbb {T} }[T]=X,}$

${\displaystyle \mathbb {T} }$最小限、つまりメンバーの数が可能な限り最小です。${\displaystyle \mathbb {T} }$

サンプル情報システムの場合、LEM2 は次のルールを誘導します。

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1},1)\to (P_{4},1)\\(P_{5},0)\to (P_{4},1)\\(P_{1},0)\to (P_{4},2)\\(P_{2},1)\to (P_{4},2)\end{cases}}}$

^{その他のルール学習法については、例えばPawlak(1991)、 [1]} Stefanowski(1998)、^[11] Bazan et al.(2004)、^[10]など に見られる。

ラフ集合論は、不完全なデータ セットからルールを誘導するのに役立ちます。このアプローチを使用すると、失われた属性値を 3 つのタイプに区別できます。失われた値(記録されたが現在は利用できない値)、属性概念値(これらの失われた属性値は、同じ概念に限定された任意の属性値に置き換えられる場合があります)、および「考慮しない」条件 (元の値は無関係でした) です。 概念(クラス) は、同じ方法で分類 (または診断) されたすべてのオブジェクトのセットです。

欠損属性値を持つ2つの特別なデータセットが広範囲に研究されました。最初のケースでは、欠損属性値はすべて失われ、^[12] 2番目のケースでは、欠損属性値はすべて「気にしない」条件でした。^[13]

欠損属性値の属性概念値解釈では、欠損属性値は、欠損属性値を持つオブジェクトが属する概念に制限された属性ドメインの任意の値に置き換えられる場合があります。^[14]たとえば、患者の属性温度の値が欠損しており、この患者はインフルエンザにかかっており、インフルエンザにかかっている残りのすべての患者の温度の値が高または非常に高い場合、欠損属性値の属性概念値としての解釈を使用すると、欠損属性値が高と非常に高いに置き換えられます。 さらに、特性関係、（たとえば、Grzymala-Busse & Grzymala-Busse（2007）を参照）を使用すると、失われた、 "do not care"条件、および属性概念値の3種類の欠損属性値すべてを同時に含むデータセットを処理できます。

ラフ集合法は、機械学習とデータマイニングのハイブリッドソリューションのコンポーネントとして適用できます。これらは、ルール誘導と特徴選択（意味を保持する次元削減）に特に有用であることがわかっています。ラフ集合ベースのデータ分析方法は、バイオインフォマティクス、経済と金融、医学、マルチメディア、Webとテキストマイニング、信号と画像処理、ソフトウェア工学、ロボット工学、工学（電力システムと制御工学など）でうまく適用されています。最近、ラフ集合の3つの領域は、受け入れ、拒否、延期の領域として解釈されています。これは、モデルによる3方向の意思決定アプローチにつながり、将来の興味深いアプリケーションにつながる可能性があります。

ラフ集合の考え方は、あいまいな概念を扱うための新しい数学的ツールとしてPawlak (1981) によって提案されました。 Comer、Grzymala-Busse、Iwinski、Nieminen、Novotny、Pawlak、Obtulowicz、および Pomykala は、ラフ集合の代数的性質を研究しました。 P. Pagliani、I. Duntsch、MK Chakraborty、M. Banerjee、および A. Mani によって、さまざまな代数的意味論が開発され、特に D. Cattaneo と A. Mani によって、より一般化されたラフ集合に拡張されました。 ラフ集合は、曖昧さ、あいまいさ、および一般的な不確実性を表すために使用できます。

ラフ集合の開発以来、拡張と一般化は進化し続けています。初期の開発は、ファジー集合との関係（類似点と相違点の両方）に焦点を合わせていました。一部の文献ではこれらの概念は異なると主張していますが、他の文献では、ラフ集合はファジー集合の一般化であり、ファジーラフ集合またはラフファジー集合のいずれかで表現されると考えています。Pawlak (1995) は、ファジー集合とラフ集合は互いに補完し合うものとして扱われ、不確実性と曖昧さのさまざまな側面に対処する必要があると考えました。

古典的なラフ集合の注目すべき拡張は次の 3 つです。

• 優位性に基づくラフ集合アプローチ（DRSA）は、グレコ、マタラッツォ、スウォウィンスキ（2001）によって導入された、ラフ集合理論を多基準決定分析（MCDA）に拡張したものです。 ^{[15]この古典的なラフ集合の拡張における主な変更点は、識別不能関係を}優位性関係に置き換えた点です。これにより、基準と優先順位付けされた決定クラスを考慮する際に典型的な矛盾を形式化で処理できます。
• 決定理論的ラフ集合（DTRS）は、Yao、Wong、Lingras（1990）によって導入されたラフ集合理論の確率的拡張である。^[16] これは、最小リスクの意思決定にベイズ決定手順を利用する。要素は、条件付き確率がしきい値とを超えているかどうかに基づいて、下限近似と上限近似に含められる。これらの上限と下限のしきい値は、要素の領域包含を決定する。このモデルは、しきい値自体が分類リスクを表す6つの損失関数のセットから計算されるため、ユニークで強力である。${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \beta }$
• ゲーム理論的ラフ集合（GTRS）は、ハーバートとヤオ（2011）によって導入されたラフ集合のゲーム理論に基づく拡張です。^[17]ゲーム理論的環境を利用して、ラフ集合に基づく分類や意思決定の特定の基準を最適化し、効果的な領域サイズを取得します。

一般化として、ラフ集合は、客観的近似の代わりにラフ メンバーシップ関数を使用して定義することもできます。ラフ メンバーシップ関数は、与えられたに属する条件付き確率を表します。これは、によって表現されるに関する情報に関して に属する次数として解釈できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$

ラフ メンバーシップは、ファジー セットの場合のように、一般に、集合の和集合と積集合のメンバーシップをその構成要素のメンバーシップから計算できないという点で、ファジー メンバーシップと主に異なります。この点で、ラフ メンバーシップはファジー メンバーシップの一般化です。さらに、ラフ メンバーシップ関数は、ファジー メンバーシップ関数の従来からの概念よりも確率に基づいています。

ラフ集合の一般化はいくつか導入され、研究され、問題解決に適用されてきました。これらの一般化のいくつかを次に示します。

• ラフ多重集合^[18]
• ファジィラフ集合は、ファジィ同値類の使用を通じてラフ集合の概念を拡張する^[19]
• アルファラフ集合論（α-RST） - ファジィ概念を用いた近似を可能にするラフ集合論の一般化^[20]
• 直観主義ファジィラフ集合^[21]
• 一般化ラフファジィ集合^{[22] [23]}
• 粗直観ファジィ集合^[24]
• ソフトラフファジィ集合とソフトファジィラフ集合^[25]
• 複合ラフ集合^[26]

• 代数的意味論
• 代替集合論
• アナログコンピュータ
• 説明ロジック
• ファジー論理
• ファジィ集合論
• 粒度計算
• 近接セット
• ラフファジーハイブリダイゼーション
• タイプ2ファジィ集合とシステム
• 決定理論的ラフ集合
• バージョン空間
• 優位性に基づくラフ集合アプローチ