ポイントクラス

数学の記述的集合論の分野において、点クラスは点の集合の集まりであり、点は通常、ある完全なポーランド空間の要素であると理解される。実際には、点クラスは通常、ある種の定義可能性特性によって特徴付けられる。たとえば、ポーランド空間のある固定された集合内のすべての開集合の集合は、点クラスである。(開集合は、純粋に任意の点の集合ではあり得ないため、ある意味で定義可能であると見なすことができる。集合内の任意の点について、その点に十分近いすべての点も集合内になければならない。)

点クラスは、集合論や実解析からの多くの重要な原理や定理を定式化する際に応用されています。強力な集合論的原理は、さまざまな点クラスの決定性の観点から述べることができます。これは、それらの点クラス（または場合によってはより大きな点クラス）の集合が、ルベーグ測定可能性（さらには普遍測定可能性）、ベールの特性、完全集合特性などの規則性特性を持つことを意味します。

実際には、記述的集合論者は、固定されたポーランド空間、例えばベール空間や時にはカントール空間で作業することによって問題を単純化することが多い。これらのポーランド空間はいずれも、ゼロ次元であり、その有限または可算な冪に同相であるという利点があり、そのため次元の考慮は決して生じない。 ヤニス・モスコバキスは、基礎となるポーランド空間のコレクション（すべての自然数の集合、すべての実数の集合、ベール空間、およびカントール空間を含む）を一度で完全に固定し、それ以外は読者が望む完全なポーランド空間を投げ入れられるようにすることで、より大きな一般性を提供している。次に、彼は積空間をこれらの基礎となる空間の任意の有限直積として定義する。すると、たとえば、すべての開集合の点類は、これらの積空間のいずれかのすべての開部分集合のコレクションを意味する。このアプローチは、適切なクラスになることを防ぎながら、検討されている特定のポーランド空間に関する過度の特異性を回避します（焦点は、空間自体ではなく、開集合のコレクションであるという事実にある場合）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$

ボレル階層、およびより複雑な射影階層における点クラスは、太字フォントの下付きおよび上付きギリシャ文字で表されます。たとえば、はすべての閉集合の点クラス、はすべてのF _σ集合の点クラス、は同時に F _σかつG _δであるすべての集合のコレクション、はすべての解析集合の点クラスです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{2}^{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\デルタ }}_{2}^{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{1}}$

このようなポイントクラスのセットは、ある点までしか「定義可能」でなくてもかまいません。たとえば、ポーランド空間のすべてのシングルトン セットは閉じているため、 となります。したがって、すべてのセットがポーランド空間の任意の要素 (任意の実数、または任意の可算な自然数列など) よりも「より定義可能」である必要はありません。ただし、太字のポイントクラスでは、クラス内のセットが、神託 として取られる何らかの実数に対して定義可能であることを要求する場合があります (実際には通常そうなります) 。その意味で、太字のポイントクラスのメンバーシップは、絶対的な定義可能性ではなく、定義不可能な可能性のある実数に関してのみ定義可能であるとしても、定義可能性プロパティです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$

太字の点クラス、または少なくとも通常考慮される点は、ワッジ還元可能性に関して閉じています。つまり、点クラス内の集合が与えられた場合、連続関数（積空間から、与えられた集合が部分集合である空間への）によるその逆像も、与えられた点クラス内にあります。したがって、太字の点クラスは、ワッジ次数の下向きに閉じた和集合です。

ボレル階層と射影階層には、定義可能性の特性が神託に対して相対化されずに絶対化された有効記述集合論における類似物がある。例えば、ある基本的な開近傍の集合（例えば、ベール空間において、固定された有限の自然数列sごとに{ x ∈ω ^ω sはxの初期セグメントである} という形式の集合の集合）を固定すると、開集合、つまり集合は、基本的な開近傍のすべての（任意の）和集合として特徴付けられる。ライトフェイス を持つ類似の集合は、もはやそのような近傍の任意の和集合ではなく、それらの計算可能な和集合である。つまり、集合が ライトフェイス （有効に開いているとも呼ばれる）であるとは、有限の自然数列の計算可能な集合Sが存在し、その集合がS内のsに対して集合 { x ∈ω ^ω sはxの初期セグメントである}の和集合となる場合である。 ${\displaystyle \mid}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}_{1}^{0}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \mid}$

ある集合が lightface であるとは、それが集合の補集合である場合です。したがって、各集合には少なくとも 1 つのインデックスがあり、これはその集合を構成する基本開集合を列挙する計算可能な関数を記述します。実際、このようなインデックスは無限にあります。同様に、集合Bのインデックスは、Bの補集合内の基本開集合を列挙する計算可能な関数を記述します。 ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$

集合Aがライトフェイスである とは、集合の計算可能なシーケンスの和集合である場合（つまり、集合のインデックスの計算可能な列挙があり、A がこれらの集合の和集合である場合）、その集合はライトフェイスである。ライトフェイス集合とそのインデックスの関係は、再帰的順序数を介してライトフェイス Borel 階層を超限に拡張するために使用される。これにより、Borel 階層のライトフェイス類似体である超算術階層が生成されます。（超算術階層の有限レベルは算術階層として知られています。） ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$

同様の処理は射影階層にも適用できます。その簡易版は分析階層として知られています。

各クラスは、少なくともその上位のクラスと同じ大きさです。

• モスコヴァキス、ヤニス・N. (1980)。記述的集合論。ノースホランド。ISBN 0-444-70199-0。