ユニバーサルセット

集合論において、普遍集合とは、理論に含まれるすべての対象（集合自身を含む）を含む集合のことである。^{[ 1 ]}通常の定式化された集合論では、普遍集合が存在しないことは複数の方法で証明できる。しかし、集合論の非標準的な変種の中には、普遍集合を含むものもある。

存在しない理由

多くの集合論では、普遍集合の存在が認められていない。集合論における公理の選択の違いに基づき、普遍集合が存在しないとする様々な議論が存在する。

ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックスは、自身を含まない集合を要素とする集合の集合が存在しないことを問題としている。そのような集合が存在するとすれば、自身を含むことも（要素がすべて自身を含まないため）、自身を含まないこともできない（もし含むとすれば、その集合の要素の一つとして含まれるべきである）ことになる。^{[ 2 ]}このパラドックスは、ツェルメロの限定理解公理、あるいは正則性公理と対合公理のいずれかを含む集合論において、普遍集合の存在を妨げている。

規則性とペアリング

ツェルメロ＝フレンケル集合論では、正則性公理とペアリング公理により、いかなる集合もそれ自身を含むことができない。 $A$ セット $\{A\}$ （ペアリングを使用して構築）は必然的に、 $\{A\}$ 規則性により。その唯一の要素は $A$ 必ずそうであるはずだ $A$ は $\{A\}$ したがって、 $A$ 自身を含まない。普遍集合は必然的に自身を含むため、これらの公理の下では存在し得ない。^{[ 3 ]}

理解

ラッセルのパラドックスは、ツェルメロの制限された内包公理を含む集合論において普遍集合の存在を阻害する。この公理は、任意の論理式に対して、 $\varphi (x)$ および任意のセット $A$ 集合が存在する $\{x\in A\mid \varphi (x)\}$ まさにそれらの要素を含む $x$ の $A$ 満足する $\varphi$ [ ²^]

この公理が普遍集合に適用できるとしたら $A$ 、と $\varphi (x)$ 述語として定義される $x\notin x$ そうでなければ、ラッセルの逆説的集合の存在を主張することになり、矛盾が生じる。この矛盾が、理解公理が制限された形で述べられることにつながり、そこでは、与えられた式を満たすすべての集合の集合の存在ではなく、与えられた集合の部分集合の存在を主張する。^{[ 2 ]}

限定理解の公理が任意の集合に適用される場合 $A$ 述語付き $\varphi (x)\equiv x\notin x$ 要素のサブセットを生成します $A$ それ自体を含まない。それはメンバーになることはできない。 $A$ なぜなら、もしそうであれば、定義上、それ自体の一部として含まれてしまい、それ自体を包含できないという事実と矛盾するからである。このようにして、非普遍性に関する証拠を構築することができる。 $A$ 集合が自身を含むことを許容する集合論のバージョンにおいても、これは成り立つ。実際、これは述語的理解や直観主義論理においても成り立つ。

カントールの定理

普遍集合という概念におけるもう一つの難点は、すべての集合の集合の冪集合に関するものである。この冪集合は集合の集合であるため、両方が存在するならば、必然的にすべての集合の集合の部分集合となる。しかし、これは、任意の集合（無限集合か否かを問わず）の冪集合の濃度は常にその集合自体の濃度よりも厳密に高いというカントールの定理と矛盾する。

普遍性の理論

普遍集合に伴う困難は、包括公理を何らかの形で制限する集合論の変形を用いるか、集合とはみなされない普遍対象を用いることによって回避できる。

限定的な理解

普遍集合 $V$ が存在する(通常の集合論が無矛盾である場合) ことが知られている無矛盾な集合論があり、 $V\in V$ （が真である）。これらの理論では、ツェルメロの理解公理は一般には成り立たず、素朴集合論の理解公理は別の方法で制限される。普遍集合を含む集合論は必然的に非整礎集合論である。普遍集合を持つ最も広く研究されている集合論は、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインの『新基礎論』である。アロンゾ・チャーチとアーノルド・オーバーシェルプも、そのような集合論に関する研究を発表した。チャーチは、自分の理論がクワインの理論と整合する形で拡張できるかもしれないと推測したが、^{[ 4 ]}オーバーシェルプの理論では、単元関数が集合であることが証明されているため、これは不可能である。^{[ 5 ]}これは『新基礎論』のパラドックスに直結する。^{[ 6 ]}

もう一つの例は正集合論であり、そこでは内包公理は正式（否定を含まない式）に対してのみ成り立つように制限される。このような集合論は、位相幾何学における閉包の概念に触発されたものである。

集合ではない普遍的な対象

ツェルメロ＝フレンケル集合論において、普遍集合の概念は直感的に望ましいように思われる。特に、この理論のほとんどのバージョンでは、すべての集合に対して量化子を使用することが認められているからである（普遍量化子を参照）。普遍集合と同様の振る舞いをする対象をパラドックスを生じさせることなく許容する一つの方法は、 $V$ や同様の大きな集合を集合ではなく真のクラスとして記述することである。これらの理論では、内包公理はクラスではなく集合に対して作用するため、ラッセルのパラドックスは適用されない。

集合のカテゴリーは、それ自体は集合ではない普遍的な対象と考えることもできます。それはすべての集合を要素として持ち、またある集合から別の集合へのすべての関数を表す矢印も含みます。繰り返しますが、それ自体は集合ではないため、それ自体を含みません。

注記

↑フォースター (1995)、p. 1。
1 2 3アーバインとドイチュ (2021)。
↑ Cenzer et al. (2020)。
↑ Church (1974 、p. 308) 。Forster (1995 、p. 136)、 Forster (2001 、p. 17)、およびSheridan (2016)も参照。
↑オーバーシェルプ (1973)、p. 40。
↑ホームズ（1998）、110ページ。

参考文献

Cenzer, Douglas; Larson, Jean; Porter, Christopher; Zapletal, Jindrich (2020). Set Theory and Foundations of Mathematics: An Introduction to Mathematical Logic . World Scientific. p. 2. doi : 10.1142/11324 . ISBN 978-981-12-0192-9. S2CID 208131473 .
チャーチ、アロンゾ（1974）。「普遍集合を持つ集合論」。タルスキ・シンポジウム議事録：アルフレッド・タルスキの70歳の誕生日を記念して、1971年6月23日～30日にカリフォルニア大学バークレー校で開催された国際シンポジウム。純粋数学シンポジウム議事録。第25巻。ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会。pp. 297–308。MR 0369069 。
Forster, TE (1995).普遍集合を用いた集合論：型付けのない宇宙の探求. Oxford Logic Guides. Vol. 31. Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8。
Forster, Thomas (2001). 「普遍集合を持つチャーチの集合論」 . Anderson, C. Anthony; Zelëny, Michael (編) 『論理、意味、計算：アロンゾ・チャーチ追悼論文集』 . Synthese Library. Vol. 305. ドルドレヒト：Kluwer Academic Publishers. pp. 109–138 . MR 2067968 .
ホームズ、M. ランドール (1998)。普遍集合を使用した初歩的な集合理論。 Cahiers du Centre de Logique [論理センターの報告書]。 Vol. 10. ルーヴァン・カトリック大学、ルーヴァン・ラ・ヌーヴ哲学科。ISBN 2-87209-488-1. MR 1759289 .
アーバイン、アンドリュー・デイヴィッド、ドイチュ、ハリー（2021年春）。「ラッセルのパラドックス」。ザルタ、エドワード・N（編）。スタンフォード哲学百科事典。
オーバーシェルプ、アーノルド(1973)。クラスよりも理論を設定します。 Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne)。 Vol. 106. マテマティチュニー・ポルスキー・アカデミー・ナウク研究所。MR 0319758。
ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン（1937）「数学論理の新しい基礎」アメリカ数学月報44、70-80頁。
Sheridan, Flash (2016). "A variant of Church's set theory with a universal set in which the singleton function is a set" (PDF) . Logique et Analyse . 59 (233): 81– 131. JSTOR 26767819 . MR 3524800 .

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W. 「ユニバーサル・セット」。マスワールド。
参考文献：普遍集合を用いた集合論（ TE Forster によって創始され、Randall Holmes によって維持されている）。

[FOOTNOTEForster19951-1] フォースター (1995)、p. 1。

[FOOTNOTEIrvineDeutsch2021-2] 1 2 3アーバインとドイチュ (2021)。

[FOOTNOTECenzerLarsonPorterZapletal2020-3] Cenzer et al. (2020)。

[4] Church (1974 、p. 308) 。Forster (1995 、p. 136)、 Forster (2001 、p. 17)、およびSheridan (2016)も参照。

[FOOTNOTEOberschelp197340-5] オーバーシェルプ (1973)、p. 40。

[FOOTNOTEHolmes1998110-6] ホームズ（1998）、110ページ。

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