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数学的プラトン主義とは、数学的実体は抽象的であり、時空間的性質や因果的性質を持たず、永遠不変であると主張する実在論の一形態である。これはしばしば、大多数の人々が数に対して抱いている見解であると主張される。
プラトン主義という用語が使われるのは、このような見解がプラトンのイデア論やプラトンの洞窟の寓話で説明されている「イデアの世界」（ギリシャ語: eidos (εἶδος)）と類似していると見なされるためである。つまり、日常の世界は不変の究極の現実を不完全に近似することしかできない。プラトンの洞窟とプラトン主義は、表面的なつながりだけでなく、意味のあるつながりも持っている。なぜなら、プラトンの思想は、古代ギリシャで絶大な人気を誇ったピタゴラス派に先行され、おそらく影響を受けており、ピタゴラス派は、世界は文字通り数によって生み出されると信じていたからである。[ 1 ]
数学的プラトン主義において検討される主要な問いの一つは、数学的実体は正確にはどこに、どのように存在するのか、そして私たちはどのようにしてそれらを知ることができるのか、という点である。私たちの物理的な世界とは完全に分離した、数学的実体が存在する世界は存在するのだろうか？私たちはどのようにしてこの分離した世界にアクセスし、実体に関する真実を発見できるのだろうか？一つの提案されている答えは「究極の集合体」であり、これは数学的に存在するすべての構造は、それぞれの宇宙において物理的にも存在すると仮定する理論である。
クルト・ゲーデルのプラトン主義[ 2 ]は、数学的対象を直接知覚することを可能にする特別な種類の数学的直観を仮定している。（この見解は、エドムント・フッサールが数学について述べた多くの事柄と類似しており、数学は総合的アプリオリであるというイマヌエル・カントの考えを支持している。）フィリップ・J・デイビスとルーベン・ハーシュは、1999年の著書『数学的経験』の中で、ほとんどの数学者はプラトン主義者であるかのように振る舞っているが、その立場を慎重に擁護するよう迫られると、形式主義に後退する可能性があると示唆している。
本格的なプラトン主義は、プラトン主義の現代版であり、採用する公理や推論規則（例えば、排中律や選択公理）によって、異なる数学的実体が存在することが証明できるという事実への反動として生まれたものである。本格的なプラトン主義は、すべての数学的実体が存在すると主張する。それらは、単一の一貫した公理の集合からすべてを導き出すことができない場合でも、証明可能である可能性がある。[ 3 ]
集合論的実在論（集合論的プラトン主義とも呼ばれる）[ 4 ]は、ペネロペ・マディが擁護する立場であり、集合論は単一の集合の宇宙に関するものであるという見解である。 [ 5 ]この立場（数学的プラトン主義の自然化されたバージョンであるため、自然化プラトン主義としても知られている）は、ポール・ベナセラフの認識論的問題に基づいてマーク・バラゲールによって批判されている。[ 6 ]
同様の見解は、後にスタンフォード・エドモントン学派によって擁護され、プラトン主義的自然主義と呼ばれた。この見解によれば、より伝統的なプラトン主義は自然主義と矛盾しない。彼らが擁護するより伝統的なプラトン主義は、抽象的な対象の存在を主張する一般的な原理によって区別される。[ 7 ]