ベクトル投影

aのbへのスカラー射影は、次のスカラーに等しい。 $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ ここで、θはaとbの間の角度である。

スカラー投影は、対応するベクトル投影を計算するためのスケールファクターとして使用できます。

aのbへのベクトル射影は、大きさがaのbへのスカラー射影であり、 bと同じ方向を持つベクトルである。すなわち、次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$ どこ${\displaystyle a_{1}}$は、上記で定義した対応するスカラー射影であり、${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$bと同じ方向の単位ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

定義により、 bに対するaのベクトル棄却は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

したがって、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

上述のドット積の性質により、スカラー射影の定義は次のようになります。^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}}$$

2次元では、これは $${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

同様に、 aからbへのベクトル射影の定義は次のようになります。^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$ これは以下と同等です $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$ または^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

2次元では、スカラー除去は、aをに投影することに相当する。${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$それは${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$左に90°回転した。したがって、 $${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

このような内積は「垂直内積」と呼ばれます。

定義により、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

したがって、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

垂直内積を用いたスカラー除去法を用いると、

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

スカラーaからbへの射影は、 90 度< θ ≤ 180 度の場合に負の符号を持つスカラーです。角度が90°より小さい場合、ベクトル射影の長さ‖c‖と一致します。より正確には、次のようになります。

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ 0° ≤ θ ≤ 90°の場合、
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ if 90° < θ ≤ 180°。

ベクトルaからbへの射影は_、零ベクトルまたはbに平行なベクトルa1である。より正確には：

• a ₁ = 0はθ = 90°の場合です。
• 0° ≤ θ < 90°の場合、 a ₁とb は同じ方向になります。
• 90° < θ ≤ 180°の場合、 a ₁とb は反対方向になります。

bに対するaのベクトル棄却は、_零ベクトルまたはbに直交するベクトルa2である。より正確には：

• a ₂ = 0 はθ = 0°またはθ = 180°の場合です。
• 0 < θ < 180°の場合、 a _2はbに直交します。

場合によっては、内積はドット積と一致します。一致しない場合は、射影と棄却の正式な定義でドット積の代わりに内積が使用されます。 3 次元内積空間の場合、ベクトルの別のベクトルへの射影と、別のベクトルからの別のベクトルの棄却の概念は、ベクトルの平面への射影と、平面からのベクトルの棄却の概念に一般化できます。^{[ 4 ]}ベクトルの平面への射影は、その平面への直交射影です。ベクトルの平面からの棄却は、その平面に直交する直線への直交射影です。どちらもベクトルです。前者は平面に平行で、後者は直交しています。

与えられたベクトルと平面に対して、射影と棄却の和は元のベクトルに等しくなります。同様に、3 次元を超える内積空間では、ベクトルへの射影とベクトルからの棄却の概念は、超平面への射影と超平面からの棄却の概念に一般化できます。幾何代数では、これらはさらに、任意の可逆なkブレードへの、またはそこからの一般的な多重ベクトルの射影と棄却の概念に一般化できます。