方向余弦

解析幾何学では、ベクトルの方向余弦（または方向余弦）は、ベクトルと 3 つの正の座標軸の間の角度の余弦です。同様に、方向余弦は、その方向の単位ベクトルに対する基底の各成分の寄与です。

vが3次元ユークリッド空間内のユークリッドベクトルである場合、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$$

ここで、e _x、e _y、e _zは直交座標の標準基底であり、方向余弦は

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$$

それぞれの式を二乗して結果を足すと

$${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}$$

ここで、α、β、γ は単位ベクトル の方向余弦と直交座標であり、a、b、c はベクトルvの方向角です。 ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}},}$

方向角a、b、c は鋭角または鈍角、つまり0 ≤ a ≤ π、0 ≤ b ≤ π、0 ≤ c ≤ πであり、vと単位基底ベクトルe _x、e _y、e _zとの間に形成される角度を表します。

より一般的には、方向余弦は、任意の 2 つのベクトル間の角度の余弦を指します。方向余弦は、1 つの正規直交基底ベクトルのセットを別のセットで表現する方向余弦行列を作成したり、既知のベクトルを別の基底で表現したりするのに役立ちます。簡単に言えば、方向余弦は、直交座標系でベクトルの方向を表す簡単な方法を提供します。

ベクトルuとv がそれぞれ方向余弦( α _u、β _u、γ _u )と( α _v、β _v、γ _v )を持ち、それらの間の 角度がθである場合、それらの単位ベクトルは

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {u}} &={\frac {1}{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}}\left(u_{x}\mathbf {e} _{x}+u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z}\right)=\alpha _{u}\mathbf {e} _{x}+\beta _{u}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{u}\mathbf {e} _{z}\\\mathbf {\hat {v}} &={\frac {1}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\left(v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}\right)=\alpha _{v}\mathbf {e} _{x}+\beta _{v}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{v}\mathbf {e} _{z}.\end{aligned}}}$$これら 2 つの単位ベクトルの ドット積 をとると、次の式が得られます。 ここで、θ は2 つの単位ベクトル間の角度であり、uとv間の角度でもあります。 $${\displaystyle \mathbf {{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}} =\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}=\cos \theta ,}$$

θは幾何学的な角度であり、決して負の値にはなりません。したがって、ドット積の正の値のみが取られ、最終結果は次のようになります。

$${\displaystyle \theta =\arccos \left(\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}\right).}$$

• 直交テンソル
• オイラー角

• ワシントンDC、ケイ（1988年）。テンソル微積分。シャウムの概要。マグロウヒル。18 ～ 19ページ 。ISBN 0-07-033484-6。
• シュピーゲル氏、MR。リプシュッツ、S.スペルマン、D. (2009)。ベクトル解析。シャウムの概要 (第 2 版)。マグロウヒル。 15、25ページ。ISBN 978-0-07-161545-7。
• Tyldesley, JR (1975)。エンジニアと応用科学者のためのテンソル解析入門。ロングマン。p. 5。ISBN 0-582-44355-5。
• Tang, KT (2006).エンジニアと科学者のための数学的手法. 第2巻. Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9。
• Weisstein、Eric W.「方向余弦」。MathWorld。