転置

行列Aの転置行列は、A ^T、^{[ 3 ] T} A、A ^tr、^t AまたはA ^tと表記され、以下のいずれかの方法で構築できます。

1. 図形Aを主対角線（左上から右下へ走る線）に関して対称移動させると、 A ^{Tが得られる。}
2. Aの行を^ATの列として書きます
3. Aの列を^ATの行として書きます

形式的には、ATのi行j列目の要素^は、 Aのj行i列目の要素です。

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\text{T}}\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

Aがm × n行列である場合、AT^はn × m行列である。

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\text{T}}=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

AとBを行列、cをスカラーとする。

• $\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\mathbf {A} .}$

  転置演算は対合（自己逆）である。

• $\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\text{T}}=\mathbf {A} ^{\text{T}}+\mathbf {B} ^{\text{T}}.}$

  転置は加算を尊重します。

• ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\text{T}}=c(\mathbf {A} ^{\text{T}}).}$

  スカラーの転置は、元のスカラーと同じです。この性質と前述の性質を合わせると、転置はm × n行列の空間からn × m行列の空間への線形写像であることがわかります。

• $\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\text{T}}=\mathbf {B} ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}.}$

  因子の順序が逆転する。帰納法により、この結果は多重行列の一般の場合にも拡張されるため、

  ( A ₁ A ₂ ... A _{k −1} A _k ) ^T  = A _k ^T A _{k −1} ^T … A ₂ ^T A ₁ ^T 。

• ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)=\det(\mathbf {A} ).}$

  正方行列の行列式は、その転置行列の行列式と同じである。

• 2つの列ベクトルaとbの内積は、行列積の1つの要素として計算できます。$$\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\text{T}}\mathbf {b} .}$$
• A が実数のみの要素を持つ場合、 A ^T Aは正定値半行列です。
• $\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\text{T}}.}$

  可逆行列の転置行列もまた可逆であり、その逆行列は元の行列の逆行列の転置行列である。これらの等価な表現は、A ^−Tという表記で表されることがある。

• Aが正方行列の場合、その固有値は転置行列の固有値と等しくなります。これは、両者が同じ特性多項式を共有するためです。これは直接確認することもできます。 「転置行列の固有値」を参照してください。
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {b} \right)}$2つの列ベクトルについて${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$そして標準的なドット積。
• どのフィールドでも${\displaystyle k}$正方行列${\displaystyle \mathbf {A} }$に似ています$\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$。

  これは、${\displaystyle \mathbf {A} }$そして$\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$それらは同じ不変因子を持ち、それは最小多項式、特性多項式、固有値など、他の特性も共有していることを意味する。

  この性質の証明には、以下の2つの観察結果が用いられます。

  • させて${\displaystyle \mathbf {A} }$そして${\displaystyle \mathbf {B} }$なれ${\displaystyle n\times n}$ある基底体上の行列${\displaystyle k}$そして${\displaystyle L}$分野の拡張である${\displaystyle k}$。 もし${\displaystyle \mathbf {A} }$そして${\displaystyle \mathbf {B} }$は、${\displaystyle L}$すると、それらは似ている${\displaystyle k}$特にこれは、次のような場合に当てはまります。${\displaystyle L}$は代数的閉包である${\displaystyle k}$。
  • もし${\displaystyle \mathbf {A} }$が、ある基底に関してジョルダン標準形である代数的に閉じた体上の行列である場合、${\displaystyle \mathbf {A} }$に似ています$\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$これはさらに、次の場合に同じ事実を証明することに帰着します。${\displaystyle \mathbf {A} }$これは、ジョーダンブロックを1回行うという、簡単な練習問題です。

Aがm × n行列で、AT^がその転置行列である場合、これら 2 つの行列の行列乗算の結果は、2 つの正方行列AA ^Tがm × m行列、AT ^Aがn × n行列になります。さらに、これらの積は対称行列です。実際、行列積AA ^Tの要素は、Aの行とA ^Tの列の内積です。しかし、 ATの列は^Aの行なので、要素はAの 2 つの行の内積に対応します。積の要素がp _ijである場合、それはAの行iとjから得られます。要素p _jiもこれらの行から得られるので、p _ij = p _jiとなり、積行列 ( p _ij ) は対称行列です。同様に、積A ^T Aも対称行列です。

AA ^Tの対称性は、それが自身の転置であるという事実から簡単に証明できる。

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}.}$^{[ 4 ]}

コンピュータ上では、同じデータに異なる順序でアクセスするだけで、メモリ内で行列を明示的に転置する必要がなくなる場合がよくあります。例えば、BLASなどの線形代数用ソフトウェアライブラリでは、データの移動を不要にするために、特定の行列を転置した順序で解釈するように指定するオプションが通常提供されています。

しかしながら、メモリ内の行列を物理的に転置順序に並べ替えることが必要または望ましい状況は依然として数多く存在します。例えば、行優先順序で格納された行列の場合、メモリ内では行列の行は連続していますが、列は不連続です。高速フーリエ変換アルゴリズムなどで列に対して繰り返し演算を実行する必要がある場合、メモリ内で行列を転置（列を連続させる）することで、メモリの局所性が向上し、パフォーマンスが改善される可能性があります。

理想的には、最小限の追加ストレージで行列を転置したいところです。これは、n × m 行列をインプレースで転置し、O(1) の追加ストレージ、または最大でも mn よりはるかに少ないストレージで転置するという問題につながります。n ≠ mの場合、これはデータ要素の複雑な順列を伴い、インプレースで実装するのは容易ではありません。そのため、効率的なインプレース行列転置は、1950 年代後半からコンピュータ科学における数多くの研究論文の対象となっており、いくつかのアルゴリズムが開発されてきました。

R加群Xの代数的双対空間をX ^#で表す。XとYをR加群とする。u : X → Y が線形写像である場合、その代数的随伴または双対[ 5 ]は^{、 f ↦} f ∘ uで定義される写像u ^# : Y ^# → X ^#である。結果として得られる関数u ^# ( f )は、 uによるfの引き戻しと呼ばれる。次の関係は、 uの代数的随伴を特徴付ける^{[ 6 ]}  

⟨ u ^# ( f ), x ⟩ = ⟨ f , u ( x ) ⟩ は、すべてのf ∈ Y ^#およびx ∈ Xに対して成り立つ

ここで、⟨ • ​​, • ⟩は自然なペアリング(つまり、⟨ h , z ⟩  := h ( z )で定義される) である。この定義は、左加群およびベクトル空間にも変更なく適用される。^{[ 7 ]}

転置の定義は、随伴（下記参照）とは異なり、モジュール上の双線形形式に依存しないことがわかる。

位相ベクトル空間(TVS) Xの連続双対空間をX ′と表記する。X と Y が TVS である場合、線形写像u : X → Yは、 u ^# ( Y ′ ) ⊆ X ′の場合に限り弱連続となる。この場合、^t u : Y ′ → X ′ をu ^#のY ′への制限と定義する。写像^t uはuの転置^{[ 8 ]}と呼ばれる。  

行列A がVとWの基底に関する線形写像を表す場合、行列A ^{T は}双対基底に関するその線形写像の転置を表します。

双対空間u  : X → X ^#へのすべての線形写像は、関係B ( x , y ) = u ( x )( y )を持つ双線形形式B  : X × X → Fを定義します。この双線形形式の転置を、転置^t u : X ^## → X ^{#で定義される双線形形式t} B 、すなわち^t B ( y , x ) = ^t u (Ψ( y ))( x )として定義すると、 B ( x , y ) = ^t B ( y , x )となります。ここで、Ψ は、二重双対空間への自然な準同型写像X → X ^##です。 

ベクトル空間XとYがそれぞれ非退化双線形形式B _XとB _Yを持つ場合、転置と密接に関連する随伴と呼ばれる概念を定義できます。

u  : X → Y がベクトル空間XとYの間の線形写像である場合、 g : Y → X が以下の条件を満たすとき、 g をuの随伴写像と定義する。 

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$すべてのx ∈ Xおよびy ∈ Yについて。

これらの双線形形式は、XとX ^#の間、およびYとY ^#の間に同型性を定義し、その結果、 uの転置行列と随伴行列の間に同型性が生じます。写像の随伴行列が転置行列となるのは、基底が双線形形式に関して正規直交である場合に限ります。ただし、この文脈では、多くの著者が、ここで定義される随伴行列を指すのに転置という用語を使用しています。

随伴写像を用いることで、 g  : Y → Xがu ⁻¹  : Y → Xと等しいかどうかを判断できます。特に、これにより、二次形式を持つベクトル空間X上の直交群を、行列（およびその成分）を参照することなく、随伴写像が逆写像と等しくなるすべての線形写像X → Xの集合として定義できます。

複素ベクトル空間においては、双線形形式の代わりに、しばしば半双線形形式（一方の引数に関して共役線形）が用いられる。このような空間間の写像のエルミート随伴行列も同様に定義され、基底が正規直交であれば、エルミート随伴行列は共役転置行列によって与えられる。