数学的概念
数学 において 、 7 次元クロス積は、 7 次元ユークリッド空間 の ベクトル に対する 双線型演算 です 。これは、 内の任意の 2 つのベクトル a 、 b に、 内の ベクトル a × b を割り当てます。 [1] 3 次元の クロス積 と同様に 、7 次元積は 反可換 であり、 a × b は a と b の両方に直交します。3 次元とは異なり、 ヤコビ恒等式 を満たさず、3 次元クロス積は符号を除いて一意ですが、7 次元クロス積は多数存在します。7 次元クロス積は、3 次元積が 四元数との 関係 にあるのと同様に、 八元数との関係にあります 。
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
7次元クロス積は、クロス積を3次元以外の次元に一般化する1つの方法であり、ベクトル値、直交、3Dの場合と同じ大きさを持つ2つのベクトルの唯一の他の双線形積です。 [2] 他の次元では、これらの条件を満たす3つ以上のベクトルのベクトル値積と、双 ベクトル 結果を持つバイナリ積があります。
九九表 積は、ここで示すような乗算表で表すことができます。この表は、ケイリー [3] [4] によるもので、1から7までの各 i 、 j に対する正規直交基底ベクトル e i と e j の積を示します。たとえば、表から
e
1
×
e
2
=
e
3
= −
e
2
×
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}}
この表は、任意の2つのベクトルの積を計算するために使用できます。たとえば、 x × y の e 1成分を計算するには、 e 1を 生成するために乗算される基底ベクトルを 選択して、次のようにします。
（
x × ええ
）
1
=
x
2
ええ
3
−
x
3
ええ
2
+
x
4
ええ
5
−
x
5
ええ
4
+
x
7
ええ
6
−
x
6
ええ
7
。
{\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_ {5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}.}
他の 6 つのコンポーネントについてもこれを繰り返すことができます。
任意の直交基底ベクトルの集合に対して、このような表が480個存在し、定義を満たす各積に対して1つずつ存在し、表の各項目は基底の単一要素で表現できる。 [5] この表は、次の関係式で要約できる [4]。
e
私
×
e
じゅう
=
ε
私 じゅう け
e
け
、
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k},}
ここで、は レヴィ・チヴィタ記号 であり、 ijk = 123、145、176、246、257、347、365
のときに正の値 +1 を持つ完全に反対称なテンソルです。
ε
私 じゅう け
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
この表の左上 3 × 3 コーナーは、3 次元の外積を示します。
意味 ユークリッド空間 V 上の外積は、 V × V から V への 双線型写像 であり、 V 内のベクトル x と y を 、同じく V 内の別のベクトル x × y に 写す もの で ある 。ここで、 x × y は 以下の性質を持つ [1] [6]
直交性 :
x
⋅
(
x
×
y
)
=
(
x
×
y
)
⋅
y
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0,}
大きさ :
|
x
×
y
|
2
=
|
x
|
2
|
y
|
2
−
(
x
⋅
y
)
2
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}
ここで、( x · y ) はユークリッド 内積 、| x | は ユークリッドノルム である。最初の性質は積がその引数に対して垂直であることを示し、2番目の性質は積の大きさを与える。ベクトル間の 角度 θ に関する同等の表現は [7] である
|
x
×
y
|
=
|
x
|
|
y
|
sin
θ
,
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,}
これは、 2つのベクトルを辺とする x と y の平面における 平行四辺形 の面積である。 [9] 大きさの条件の3番目の記述は
|
x
×
y
|
=
|
x
|
|
y
|
if
(
x
⋅
y
)
=
0
,
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{if}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0,}
x × x = 0が 別の公理として仮定される。 [10]
定義特性の結果 双線性、直交性、大きさの特性を考慮すると、非ゼロのクロス積は3次元と7次元でのみ存在します。 [2] [10] これは、クロス積に必要な特性を仮定し、次元が0、1、3、または7の場合にのみ満たされる方程式を導き出すことで示せます。ゼロ次元ではゼロベクトルのみが存在し、1次元ではすべてのベクトルが平行であるため、どちらの場合も積は必ずゼロになります。
0、1、3、7次元への制限は、 ノルム除算代数は 1、2、4、8次元でのみ可能である という ハーヴィッツの定理に関連しています。外積は、ノルム除算代数の積を代数の虚数次元0、1、3、7に制限することによって形成され、3次元と7次元でのみ非ゼロの積を与えます。 [11]
3 次元の外積は一意である (符号は別として) のに対し、 7 次元では 2 値外積が多数存在します。これを理解する 1 つの方法は、 x と y が張る平面に垂直な 5 次元空間で、任意のベクトル x と y のペアと、大きさが | v | = | x || y | sin θ である任意のベクトル v が与えられている場合 、 x × y = v と なる よう な 乗算 表 ( および関連する基底ベクトルのセット) を持つ外積を見つけることができることです。3 次元とは異なり、 x × y = a × b は a と b が x と y と 同じ 平面 に ある こと を意味しません 。
∈
R
7
{\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}
定義から、次の恒等式を含むさらなる特性が得られます。
反可換性 :
x
×
y
=
−
y
×
x
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} }
スカラー三重積 :
x
⋅
(
y
×
z
)
=
y
⋅
(
z
×
x
)
=
z
⋅
(
x
×
y
)
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
マルチェフのアイデンティティ ：
(
x
×
y
)
×
(
x
×
z
)
=
(
(
x
×
y
)
×
z
)
×
x
+
(
(
y
×
z
)
×
x
)
×
x
+
(
(
z
×
x
)
×
x
)
×
y
{\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} }
x
×
(
x
×
y
)
=
−
|
x
|
2
y
+
(
x
⋅
y
)
x
.
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} .}
その他の特性は3次元の場合のみ成り立ち、7次元のクロス積では満たされない。特に、
ベクトル三重積 :
x
×
(
y
×
z
)
=
(
x
⋅
z
)
y
−
(
x
⋅
y
)
z
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} }
ヤコビ恒等式 :
x
×
(
y
×
z
)
+
y
×
(
z
×
x
)
+
z
×
(
x
×
y
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0}
ヤコビ恒等式のおかげで、3 次元クロス積は リー代数 の構造を与え、これは 3 次元回転群 のリー代数 と 同型です。ヤコビ恒等式は 7 次元では成立しないため、7 次元クロス積は リー代数の構造
を与えません。
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
s
o
(
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
座標式 特定の外積を定義するには、 正規直交基底 { e j } を選択し、すべての積 { e i × e j } を決定する乗算表を用意します。 1 つの可能な乗算表は「乗算表」のセクションで説明されていますが、これは一意ではありません。 [5] 3 次元とは異なり、単位ベクトルのすべてのペアは他の 5 つの単位ベクトルに垂直であるため、各外積に多くの選択肢があり、多くの表があります。
掛け算の表を作成したら、 x と y を 基底で 表し、双線型性によって x × y を展開することで、これを一般のベクトルx と y に適用します。
基底ベクトルとしてe 1 から e 7 を 使用すると 、導入部とは異なる乗算表が得られ、異なる外積が得られる。これは
e
1
×
e
2
=
e
4
,
e
2
×
e
4
=
e
1
,
e
4
×
e
1
=
e
2
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},}
e
2
×
e
3
=
e
5
,
e
3
×
e
5
=
e
2
,
e
5
×
e
2
=
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},}
e
3
×
e
4
=
e
6
,
e
4
×
e
6
=
e
3
,
e
6
×
e
3
=
e
4
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},}
e
4
×
e
5
=
e
7
,
e
5
×
e
7
=
e
4
,
e
7
×
e
4
=
e
5
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},}
e
5
×
e
6
=
e
1
,
e
6
×
e
1
=
e
5
,
e
1
×
e
5
=
e
6
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},}
e
6
×
e
7
=
e
2
,
e
7
×
e
2
=
e
6
,
e
2
×
e
6
=
e
7
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},}
e
7
×
e
1
=
e
3
,
e
1
×
e
3
=
e
7
,
e
3
×
e
7
=
e
1
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}.}
この規則はより簡潔に次のように記述できる。
e
i
×
e
i
+
1
=
e
i
+
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}}
ここで i = 1, ..., 7 は 7 を 法 として、添え字 i 、 i + 1 、 i + 3 は 均等に並べ替えることができます。反可換性と合わせて、これは積を生成します。この規則は、表のゼロの対角線に直接隣接する 2 つの対角線を直接生成します。また、結果のサブセクションの恒等式から、
e
i
×
(
e
i
×
e
i
+
1
)
=
−
e
i
+
1
=
e
i
×
e
i
+
3
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}\ ,}
これにより、さらに外側に対角線が生成されます。
外積 x × y のe j 成分は、表内の e j のすべての出現を選択し、 左の列から xの対応する成分 を 、上行からy の対応する成分を収集することによって得られます。結果は次のとおりです。
x
×
y
=
(
x
2
y
4
−
x
4
y
2
+
x
3
y
7
−
x
7
y
3
+
x
5
y
6
−
x
6
y
5
)
e
1
+
(
x
3
y
5
−
x
5
y
3
+
x
4
y
1
−
x
1
y
4
+
x
6
y
7
−
x
7
y
6
)
e
2
+
(
x
4
y
6
−
x
6
y
4
+
x
5
y
2
−
x
2
y
5
+
x
7
y
1
−
x
1
y
7
)
e
3
+
(
x
5
y
7
−
x
7
y
5
+
x
6
y
3
−
x
3
y
6
+
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
e
4
+
(
x
6
y
1
−
x
1
y
6
+
x
7
y
4
−
x
4
y
7
+
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
e
5
+
(
x
7
y
2
−
x
2
y
7
+
x
1
y
5
−
x
5
y
1
+
x
3
y
4
−
x
4
y
3
)
e
6
+
(
x
1
y
3
−
x
3
y
1
+
x
2
y
6
−
x
6
y
2
+
x
4
y
5
−
x
5
y
4
)
e
7
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}.\end{aligned}}}
外積は双線型なので、演算子 x × – は行列として表すことができ、次の形式となる [ 引用が必要 ]
T
x
=
[
0
−
x
4
−
x
7
x
2
−
x
6
x
5
x
3
x
4
0
−
x
5
−
x
1
x
3
−
x
7
x
6
x
7
x
5
0
−
x
6
−
x
2
x
4
−
x
1
−
x
2
x
1
x
6
0
−
x
7
−
x
3
x
5
x
6
−
x
3
x
2
x
7
0
−
x
1
−
x
4
−
x
5
x
7
−
x
4
x
3
x
1
0
−
x
2
−
x
3
−
x
6
x
1
−
x
5
x
4
x
2
0
]
.
{\displaystyle T_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&-x_{4}&-x_{7}&x_{2}&-x_{6}&x_{5}&x_{3}\\x_{4}&0&-x_{5}&-x_{1}&x_{3}&-x_{7}&x_{6}\\x_{7}&x_{5}&0&-x_{6}&-x_{2}&x_{4}&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&x_{6}&0&-x_{7}&-x_{3}&x_{5}\\x_{6}&-x_{3}&x_{2}&x_{7}&0&-x_{1}&-x_{4}\\-x_{5}&x_{7}&-x_{4}&x_{3}&x_{1}&0&-x_{2}\\-x_{3}&-x_{6}&x_{1}&-x_{5}&x_{4}&x_{2}&0\end{bmatrix}}.}
外積は次のように表される。
x
×
y
=
T
x
y
.
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =T_{\mathbf {x} }\mathbf {y} .}
さまざまな掛け算表 ここで使用される2つの掛け算表のファノ平面 この記事では2つの異なる掛け算表が使用されていますが、他にもあります。 [5] [12]これらの掛け算表は ファノ平面 [13] [14] によって特徴付けられ 、 ここで使用されている2つの表の図に示されています。上はサビニン、スビトネヴァ、シェスタコフによって記述されたもので、下はルネストによって記述されたものです。ファノ図（図の線の集合）の下の数字は、それぞれの場合の7つの独立した積のインデックスのセットを示しており、 ijk → e i × e j = e k と解釈されます。ファノ図から掛け算表を取得するには、任意の3点を結ぶ直線、または矢印で示される符号の付いた中央の円をたどります。たとえば、 上記のリストで e 1 になる乗算の最初の行は、下のファノ図で e 1に接続されている 3 つのパス、つまり円形パス e 2 × e 4 、対角パス e 3 × e 7 、およびエッジ パス e 6 × e 1 = e 5 を、上記の恒等式の 1 つを使用して次のように並べ替えることで得られます。
e
6
×
(
e
6
×
e
1
)
=
−
e
1
=
e
6
×
e
5
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5},}
または
e
5
×
e
6
=
e
1
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},}
また、直線上の任意の 2 つの単位ベクトルは、矢印に応じた符号 (単位ベクトルを順序付ける順列の符号) で、その直線上の 3 番目の単位ベクトルに乗算によって接続されるという規則を使用して、図から直接取得されます。
単位ベクトルの名前を変更し、中心の単位ベクトルの向きを変えるだけで、両方の乗法規則が同じファノ図から得られることがわかります。基底のすべての可能な順列を考慮すると、480の乗算表があり、したがってこのような積は480個あります。 [14]
幾何代数の使用 積は、正定値の二次形式 を持つ 7 次元ベクトル空間の 幾何代数 を使用して計算することもできます 。積は 、 2 つのベクトルの 双ベクトル値の積で ある外積 から始まります。
B
=
x
∧
y
=
1
2
(
x
y
−
y
x
)
.
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).}
これは双線形で、交代的で、目的の大きさを持ちますが、ベクトル値ではありません。ベクトル、つまり外積は、この双ベクトルと三 ベクトル の縮約から得られます。3 次元では、スケール係数まで、三ベクトルは 1 つだけ、つまり空間の 擬似スカラー であり、上記の双ベクトルと 2 つの単位三ベクトルの 1 つとの積は、ベクトル結果、つまり 双ベクトルの
双対を与えます。
同様の計算は7次元でも行われますが、3ベクトルは35次元空間を形成するため、使用できる3ベクトルは多数ありますが、どの3ベクトルでも構いません。上記の座標変換と同じ積を与える3ベクトルは、
v
=
e
124
+
e
235
+
e
346
+
e
457
+
e
561
+
e
672
+
e
713
.
{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}.}
これを外積と組み合わせると外積が得られる。
x
×
y
=
−
(
x
∧
y
)
⌟
v
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} }
ここで、は幾何代数の 左縮約 演算子である 。 [15]
⌟
{\displaystyle \lrcorner }
八元数との関係 3次元のクロス積が四元数 で表現できるのと同様に、7次元のクロス積は 八元 数で表現できます。R 7 を 虚八元数（ O の実部の 直交補数 ）と同一視した後 、クロス積は八元数の乗算で次のように表されます
。
x
×
y
=
I
m
(
x
y
)
=
1
2
(
x
y
−
y
x
)
.
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).}
逆に、 V が 与えられた外積を持つ 7 次元ユークリッド空間であると仮定します。その場合、 R ⊕ V 上の双線型乗算を次のように定義できます。
(
a
,
x
)
(
b
,
y
)
=
(
a
b
−
x
⋅
y
,
a
y
+
b
x
+
x
×
y
)
.
{\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} ).}
この乗算 を伴う空間 R⊕V は 八元数と同型である。 [16]
外積は3次元と7次元にのみ存在する。なぜなら、上記のように1つ高い次元の空間上では常に乗算を定義でき、この空間は ノルム除算代数 であることが示されるからである。 フルヴィッツの定理 によれば、そのような代数は1、2、4、8次元にのみ存在するため、外積は0、1、3、7次元でなければならない。0次元と1次元の積は自明であるため、自明でない外積は3次元と7次元にのみ存在する。 [17] [18]
7次元のクロス積がヤコビ恒等式を満たさないのは、八元数の非結合性に関係している。実際、
x
×
(
y
×
z
)
+
y
×
(
z
×
x
)
+
z
×
(
x
×
y
)
=
−
3
2
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}
ここで、[ x , y , z ]は 関連付け子 です。
回転 3次元では、クロス積は回転群 SO(3) の作用に対して不変であるため、回転後の x と y のクロス積は回転による x × y の像となる。しかし、この不変性は7次元では当てはまらない。つまり、クロス積は7次元の回転群 SO(7) に対して不変ではない。その代わり、SO(7)のサブグループである例外的なリー群 G 2 に対して不変である。 [16]
一般化 非ゼロの二項積は、3次元と7次元にのみ存在する。二項積でなければならないという制約を外すと、さらに積が可能になる。 [20] 積は、 多重線形 、 交互 、ベクトル値、および各入力ベクトル a i に直交していることが求められる。直交性の要件は、 n次元では n − 1 個を超えるベクトルは使用できないことを意味する。積の大きさは、ベクトルを辺とする 平行四辺形 の体積に等しく、 グラム行列式 を使用して計算できる 。条件は以下のとおりである。
直交性: i = 1, ..., k の場合 。
(
a
1
×
⋯
×
a
k
)
⋅
a
i
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0}
グラムの決定因子:
|
a
1
×
⋯
×
a
k
|
2
=
det
(
a
i
⋅
a
j
)
=
|
a
1
⋅
a
1
a
1
⋅
a
2
⋯
a
1
⋅
a
k
a
2
⋅
a
1
a
2
⋅
a
2
⋯
a
2
⋅
a
k
⋮
⋮
⋱
⋮
a
k
⋅
a
1
a
k
⋅
a
2
⋯
a
k
⋅
a
k
|
{\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}}
グラム行列式は、 a 1 、...、 a k を 辺と
する平行四辺形の体積の二乗です。
これらの条件では、非自明な外積のみが存在します。
3次元と7次元のバイナリ製品として n ≥ 3次元の n − 1個 のベクトル の積として 、 ベクトルの外積の ホッジ双対である。 8次元の3つのベクトルの積として 8 次元の 3 つのベクトルの積の 1 つのバージョンは、次のように与えられます
。
ここで、 v は 7 次元で使用されるのと同じ 3 ベクトルであり、 再び左縮約であり、 w = − ve 12...7 は 4 ベクトルです。
a
×
b
×
c
=
(
a
∧
b
∧
c
)
⌟
(
w
−
v
e
8
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})}
⌟
{\displaystyle \lrcorner }
自明な積もあります。すでに述べたように、2 次元積は 7、3、1、0 次元にのみ存在し、最後の 2 つはゼロです。さらに自明な「積」は偶数次元で発生します。これは、単一のベクトルを取り、適切な 2 ベクトルとの左収縮によって、そのベクトルに直交する同じ大きさのベクトルを生成します。2 次元では、これは直角の回転です。
さらに一般化すると、多重線性と大きさの要件を緩和し、一般的な連続関数 V d → V (ここで、 V は ユークリッド内積を持つ R nで、 d ≥ 2 ) を考えることができます。これは、次の 2 つの特性を満たすことのみを必要とします。
外積は常にすべての入力ベクトルに対して直交します。 入力ベクトルが線形独立である場合、外積はゼロ以外になります。 これらの要件の下では、外積は(I) n = 3、 d = 2 、(II) n = 7、 d = 2 、(III) n = 8、 d = 3 、(IV)任意の d = n − 1の 場合にのみ存在する。 [1]
別の方向では、ベクトル積代数は任意の体 上で定義されており 、標数2でない任意の体に対しては、次元は0、1、3、または7でなければなりません。実際、この結果はさらに一般化されており、例えば、2が キャンセル可能な 任意の可換環上で作用し、2x = 2yであればx = yであることを意味します。 [21]
参照
注記
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![{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf { z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1df21788077be1f4fa1af5ce928cb33af23730)
