原点O 、極軸A 、長手方向軸L を持つ円筒座標系。点は、半径方向距離ρ =4φ =130°z =4円筒座標系は 、主軸（選択された有向線 ）と補助軸（基準線 ）を中心とした点の位置を指定する3次元 座標系 です。3つの円筒座標 は、主軸からの点の垂直距離 ρ 、選択された原点 から主軸に沿った点の符号付き距離 z 、および基準平面（原点を通り主軸に垂直な平面）への点の投影 の平面角 φです。
主軸は円筒軸 または縦 軸とも呼ばれる。補助軸は極軸 と呼ばれ、基準平面上にあり、原点から始まり基準方向を指す。縦軸に垂直なその他の方向は放射状線 と呼ばれる。
軸からの距離は半径距離 または半径 と呼ばれ、角度座標は角度位置 または方位角 と呼ばれることがあります。半径と方位角は、基準面に平行な点を通る平面内の2次元極座標系に対応するため、まとめて 極座標と呼ばれます。3番目の座標は、 高さ または高度 （基準面が水平であるとみなされる場合）、縦方向位置 [ 1 ] 軸方向位置 [ 2 ]
円筒座標は、円形断面の直線パイプ内の水の流れ、金属円筒 内の熱分布、長い直線状の導線に流れる電流 によって発生する電磁場 、天文学における降着円盤など、縦軸を中心とした 回転 対称性を持つ物体や現象に関連して有用です。
これらは円筒極座標 [ 3 ] 極円筒座標 [ 4 ] 銀河中心円筒極座標 ）[ 5 ] 。
意味 点P の3つの座標（ρ φ z ）は次のように定義されます。
半径方向距離 ρは、 z 軸から点Pまでの ユークリッド距離 です。 方位角 φは 、選択された平面上の基準方向と、原点から平面上の点Pの投影点までの線との間の角度である。 軸方向座標 または高さ z は、選択した平面から点P までの符号付き距離です。
固有の円筒座標 極座標と同様に、円筒座標( ρ , φ , z ) を持つ同じ点には、( ρ , φ ± n ×360°, z ) および(− ρ , φ ± (2 n + 1)×180°, z ) という無限に多くの等価な座標が存在します。ここで、 n は任意の整数です。さらに、半径ρ がゼロの場合、方位角は任意です。
各点に固有の座標セットが必要な場合、半径を非負 （ρ ≥ 0φを [−180°,+180°] や[0,360°] のような 360° にわたる特定の区間 内に収めることができます。
慣例 円筒座標の表記法は統一されていません。ISO規格 80000-2:2019 では、( ρ , φ , z ) を推奨しています。ここで、 ρ は半径座標、φ は方位角、zは 高さです。しかし、半径はr またはs 、方位角はθ またはt 、3番目の座標はh または（円筒軸が水平とみなされる場合）x 、あるいは文脈に応じた任意の文字で表されることもよくあります。
円筒座標( ρ 、 φ 、 z ) の座標面 。赤い円筒は ρ = 2 の点、青い平面は z = 1 の点、黄色の半平面はφ = −60° の点を示しています。z軸は垂直で、x 軸 は緑色で強調表示されています。3 つの面は、これらの座標を持つ点P (黒い球で表示) で交差します。Pの デカルト座標は おおよそ (1.0、−1.732、1.0) です。 円筒座標面。3つの直交成分、ρ （緑）、φ （赤）、z （青）はそれぞれ一定の割合で増加します。点は、これら3つの色の面の交点にあります。 具体的な状況や多くの数学的な例において、正の角度座標は、正の高さを持つ任意の点から見た反時計回りに測定されます。
座標系の変換 円筒座標系は、数ある三次元座標系の一つです。これらの座標系間の変換には、以下の式を用いることができます。
デカルト座標 円筒座標とデカルト座標の変換では、前者の基準面がデカルト座標のxy 平面 (方程式z = 0z 軸であると仮定すると便利です。すると、両方のシステムでz 座標は同じになり、円筒座標( ρ 、φ 、z ) とデカルト座標( x 、y 、z ) の対応関係は極座標の場合と同じになります。 x = ρ コス φ y = ρ 罪 φ z = z {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}} ρ = x 2 + y 2 φ = { 不確定 もし x = 0 そして y = 0 arcsin （ y ρ ） もし x ≥ 0 − arcsin （ y ρ ） + π もし x < 0 そして y ≥ 0 − arcsin （ y ρ ） − π もし x < 0 そして y < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{不確定}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{if }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}} 逆正弦関数は 正弦 関数の逆関数であり、 [− π / 2 π / 2 = [−90°, +90°] の範囲の角度を返すものと想定されます。これらの式から、方位角φ は [−180°, +180°] の範囲になります。
逆正接 関数は[− π / 2 π / 2 = [−90°, +90°] の範囲の角度も返すので、次のように計算することもできます。φ {\displaystyle \varphi } ρ {\displaystyle \rho } φ = { 不確定 もし x = 0 そして y = 0 π 2 y | y | もし x = 0 そして y ≠ 0 アークタン （ y x ） もし x > 0 アークタン （ y x ） + π もし x < 0 そして y ≥ 0 アークタン （ y x ） − π もし x < 0 そして y < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{不確定}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}} その他の公式については、 「極座標系」の 記事を参照してください。
多くの最新のプログラミング言語には、上記のようなケース分析を行う必要なく、 x とy が与えられたときに(−π, π) の範囲内で正しい方位角φ を計算する関数が用意されています。たとえば、この関数はC 言語ではatan2 ( y , x ) 、Common Lisp では(atan y x ) で呼び出されます。
球面座標 球面座標 （半径r 、仰角または傾斜角θ 、方位角φ ）は、 θ が 仰角を表すか傾斜角を表すかに応じて、以下の方法で円筒座標に変換したり、円筒座標から変換したりできます。
線とボリュームの要素 円筒座標を用いた多くの問題では、線要素と体積要素を知っておくと便利です。これらは、経路や体積に関する問題を解くための積分に用いられます。
線要素 は d r = d ρ ρ ^ + ρ d φ φ ^ + d z z ^ 。 {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}
体積要素 は d V = ρ d ρ d φ d z 。 {\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}
一定半径ρ の表面（垂直円筒） の表面要素は d S ρ = ρ d φ d z 。 {\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}
一定の方位角φ を持つ表面（垂直半平面）の表面要素は d S φ = d ρ d z 。 {\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}
高さz が一定の表面（水平面） の表面要素はd S z = ρ d ρ d φ 。 {\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}
このシステムにおけるdel演算子は、 勾配 、発散 、回転 、ラプラシアン について以下の式をもたらします。 ∇ f = ∂ f ∂ ρ ρ ^ + 1 ρ ∂ f ∂ φ φ ^ + ∂ f ∂ z z ^ ∇ ⋅ A = 1 ρ ∂ ∂ ρ （ ρ A ρ ） + 1 ρ ∂ A φ ∂ φ + ∂ A z ∂ z ∇ × A = （ 1 ρ ∂ A z ∂ φ − ∂ A φ ∂ z ） ρ ^ + （ ∂ A ρ ∂ z − ∂ A z ∂ ρ ） φ ^ + 1 ρ （ ∂ ∂ ρ （ ρ A φ ） − ∂ A ρ ∂ φ ） z ^ ∇ 2 f = 1 ρ ∂ ∂ ρ （ ρ ∂ f ∂ ρ ） + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}
運動学 円筒座標系では、粒子の位置は次のように表すことができます[ 6 ] r = ρ ρ ^ + z z ^ 。 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.} v = d r d t = ρ ˙ ρ ^ + ρ φ ˙ φ ^ + z ˙ z ^ 、 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},} ρ φ ˙ φ ^ {\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}} d ρ ^ d t = φ ˙ z ^ × ρ ^ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}} [ 6 ] 1 = d v d t = （ ρ ¨ − ρ φ ˙ 2 ） ρ ^ + （ 2 ρ ˙ φ ˙ + ρ φ ¨ ） φ ^ + z ¨ z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}
参考文献 ↑ Krafft, C.; Volokitin, AS (2002年1月1日). "共鳴電子ビームと複数の低域ハイブリッド波との相互作用" . Physics of Plasmas . 9 (6): 2786– 2797. Bibcode : 2002PhPl....9.2786K . doi : 10.1063/1.1465420 . ISSN 1089-7674 . 2013年 2月9日 取得 . ...円筒座標 ( r , θ , z ) ... および Z = v bz t は縦方向の位置です... {{cite journal}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)↑ Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "粘弾性クエット流における孤立渦対". Physical Review Letters . 78 (8): 1460–1463 . arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721. ... ここで、 r 、 θ 、 z は円筒座標であり、軸方向位置の関数として... ↑ Szymanski, JE (1989). 電子工学のための基礎数学：モデルと応用 . 電子工学チュートリアルガイド（第16巻）. Taylor & Francis. p. 170. ISBN 978-0-278-00068-1 。↑ Nunn, Robert H. (1989). Intermediate Fluid Mechanics . Taylor & Francis. p. 3. ISBN 978-0-89116-647-4 。↑ スパーク、リンダ・シボーン ;ギャラガー、ジョン・シル (2007)。 宇宙の銀河: 入門 (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。 p. 37.ISBN 978-0-521-85593-8 。1 2 Taylor, John R. (2005). Classical Mechanics . Sausalito, California: University Science Books. p. 29.
さらに読む モース、フィリップ・M. 、フェシュバッハ、ハーマン （ 1953）。理論物理学の方法、第1部 。ニューヨーク市 ：マグロウヒル 。656-657 頁。ISBN 0-07-043316-X 。LCCN 52011515。 マルゲナウ、ヘンリー ；マーフィー、ジョージ・M.（1956）。物理学と 化学の数学 9780882754239 . LCCN 55010911 . OCLC 3017486 . Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7. ロバート・ザウアー。イシュトヴァーンのサボー (1967)。Ingenieurs の数学 。ニューヨーク市: Springer-Verlag 。 p. 95.LCCN 67025285。 ズウィリンガー、 ダニエル（1992）。統合ハンドブック 。ボストン ：ジョーンズ・アンド・バートレット出版 。p. 113。ISBN 0-86720-293-9 . OCLC 25710023 . Moon, P.; Spencer, DE (1988). 「円筒座標 (r, ψ, z)」. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed.). New York City: Springer-Verlag. pp. 12–17 , Table 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2 。
外部リンク 「円筒座標」、数学百科事典 EMS Press 、2001 [1994] MathWorldにおける円筒座標の説明 円筒座標系 アニメーション（フランク・ワッテンバーグ作）
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }}} }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83defb6183acc79213d062ed3734d4c6f691bbf)
