ユークリッド空間

ユークリッド空間は、古代ギリシャ人が物理空間を抽象化したものとして導入しました。彼らの偉大な革新は、ユークリッドの『原論』に見られるように、物理世界から抽象化されたごく基本的な性質から出発して、すべての幾何学を構築し証明することでした。これらの性質は、より基本的なツールが不足しているため、数学的に証明することはできません。これらの性質は、現代の言葉で言えば公準、あるいは公理と呼ばれます。このユークリッド空間の定義方法は、現在でも総合幾何学という名称で用いられています。

1637年、ルネ・デカルトはデカルト座標系を導入し、これによって幾何学的な問題を数値を用いた代数計算に還元できることを示した。それまで実数は長さや距離によって定義されていたため、幾何学を代数に還元することは、視点の大きな転換点となった。

ユークリッド幾何学は19世紀まで3次元を超える空間には適用されませんでした。ルートヴィヒ・シュレーフリは、総合的方法と代数的方法の両方を用いて、ユークリッド幾何学をn次元の空間に一般化し、任意の次元のユークリッド空間に存在するすべての正多面体（プラトン立体の高次元版）を発見しました。^{[ 4 ]}

デカルトの手法（解析幾何学と呼ばれる）が広く用いられたにもかかわらず、ユークリッド空間の定義は19世紀末まで変わらなかった。抽象ベクトル空間の導入により、純粋に代数的な定義を用いてユークリッド空間を定義することが可能になった。この新しい定義は、幾何学的公理の観点から古典的な定義と等価であることが示された。現在、ユークリッド空間を導入する際に最もよく用いられるのは、この代数的な定義である。

ユークリッド平面を考える一つの方法は、距離と角度で表現できる特定の関係を満たす点の集合として考えることです。たとえば、平面上には2 つの基本的な操作 (運動と呼ばれる) があります。 1 つは平行移動で、これは平面を移動させてすべての点が同じ方向に同じ距離だけ移動することを意味します。 もう 1 つは平面上の固定点を中心とした回転で、平面上のすべての点がその固定点の周りを同じ角度だけ回転します。 ユークリッド幾何学の基本原則の 1 つは、平面上の2 つの図形(通常は部分集合とみなされる) が、平行移動、回転、および反射のシーケンス(下記参照)によって一方を他方に変換できる場合、それらは同等 (合同) であるとみなされるべきであるということです。

これらすべてを数学的に厳密にするためには、理論はユークリッド空間とは何か、そして距離、角度、並進、回転といった関連概念を明確に定義する必要がある。物理理論で使用される場合でも、ユークリッド空間は実際の物理的な場所、特定の基準系、測定機器などから切り離された抽象概念である。また、ユークリッド空間の純粋に数学的な定義は、長さの単位やその他の物理的次元の問題を無視している。つまり、「数学的」空間における距離は数値であり、インチやメートルで表されるものではない。

この記事の残りの部分で行われるように、ユークリッド空間を数学的に定義する標準的な方法は、実ベクトル空間が作用する点の集合、つまり内積を備えた並進空間として定義することです。^{[ 1 ]}並進の作用により、空間はアフィン空間となり、これにより直線、平面、部分空間、次元、平行性を定義することができます。内積により、距離と角度を定義することができます。

セット$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ドット積を備えたn組の実数の集合は、 n次元のユークリッド空間である。逆に、原点と呼ばれる点の選択と、並進空間の正規直交基底の選択は、 n次元のユークリッド空間と の間の同型を定義することと同等である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ユークリッド空間として捉える。

したがって、ユークリッド空間について言えることはすべて、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$そのため、多くの著者、特に初等レベルの著者は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$n次元の標準ユークリッド空間、^{[ 5 ]}または単にn次元のユークリッド空間。

ユークリッド空間のこのような抽象的な定義を導入し、$\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$の代わりに$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$その理由の一つは、座標系や原点に依存しない方法（つまり、特定の基底や原点を選択しない方法）で作業する方が望ましい場合が多いからです。もう一つの理由は、物理世界には標準的な原点も標準的な基底も存在しないからです。

Aユークリッドベクトル空間は、実数上の有限次元内積空間。 ^{[ 6 ]}

ユークリッド空間とは、実数上のアフィン空間であり、それに伴うベクトル空間がユークリッドベクトル空間となるような空間である。ユークリッド空間は、ユークリッドベクトル空間と区別するために、ユークリッドアフィン空間と呼ばれることもある。^{[ 6 ]}

Eがユークリッド空間である場合、その関連ベクトル空間 (ユークリッドベクトル空間) はしばしば次のように表記されます。${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$ユークリッド空間の次元は、それに対応するベクトル空間の次元である。

Eの要素は点と呼ばれ、一般的に大文字で表されます。${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$これらはユークリッドベクトルまたは自由ベクトルと呼ばれます。また、これらは平行移動とも呼ばれますが、厳密に言えば、平行移動とはユークリッドベクトルがユークリッド空間に作用することによって生じる幾何学的変換のことです。

点Pに対する平行移動vの作用により、点P + vが得られます。この作用は以下を満たします。

$${\displaystyle P+(v+w)=(P+v)+w.}$$

注：左辺の2番目の+はベクトルの加算を表します。その他の+は、ベクトルが点に作用することを示します。この表記は曖昧ではありません。+の2つの意味を区別するには、左辺の引数の性質を見れば十分です。

動作が自由かつ推移的であるということは、任意の点のペア( P , Q )に対して、 P + v = Qとなる変位ベクトルvがちょうど 1 つ存在することを意味します。このベクトルvはQ − Pまたは${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.}$

前述のとおり、ユークリッド空間の基本的な性質の一部は、アフィン空間の構造に由来します。これらは「 アフィン構造」およびその下位節で説明されています。内積に由来する性質は、「 距離構造」およびその下位節で説明されています。

Eをユークリッド空間とし、${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$それに関連するベクトル空間。

Eの平坦なユークリッド部分空間またはアフィン部分空間とは、Eの部分集合Fであって、

$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

Fの関連ベクトル空間は、${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$ユークリッド部分空間Fは、${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$関連ベクトル空間として。この線形部分空間${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$これはFの方向とも呼ばれます。

PがFの点である場合、

$${\displaystyle F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.}$$

逆に、PがEの点であり、${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$は、の線形部分空間である。${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$それから

$${\displaystyle P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}}$$

方向のユークリッド部分空間${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$（この部分空間に対応するベクトル空間は${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$）

ユークリッドベクトル空間${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$（つまり、ユークリッド空間で、${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$) には、ユークリッド部分空間と線形部分空間の 2 種類の部分空間があります。線形部分空間はユークリッド部分空間であり、ユークリッド部分空間が線形部分空間となるのは、それがゼロベクトルを含む場合に限ります。

ユークリッド空間において、直線は次元1のユークリッド部分空間である。次元1のベクトル空間は任意の非ゼロベクトルによって張られるので、直線は次の形式の集合である。

$${\displaystyle {\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ここで、PとQは、直線の一部であるユークリッド空間の2つの異なる点である。

したがって、2つの異なる点を通る（含む）直線はただ1本だけ存在する。これは、2つの異なる直線が最大で1点で交わることを意味する。

PとQを通る直線のより対称的な表現は次のようになります。

$${\displaystyle {\Bigl \{}O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ここで、Oは任意の点（必ずしも直線上にある必要はない）である。

ユークリッドベクトル空間では、通常、ゼロベクトルはOに選ばれます。これにより、前述の式を次のように簡略化できます。

$${\displaystyle {\bigl \{}(1-\lambda )P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.}$$

標準的な慣例では、この公式をすべてのユークリッド空間で使用できます。アフィン空間 § アフィン結合と重心を参照してください。

点PとQを結ぶ線分、または単に線分は、前述の式で0 ≤ 𝜆 ≤ 1を満たす点のサブセットです。これはPQまたはQPと表記されます。つまり、

$${\displaystyle PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ユークリッド空間における同じ次元の2つの部分空間SとTは、同じ方向（つまり、同じ関連ベクトル空間）を持つ場合に平行である。 ^{[ a ]}同様に、一方を他方に写像する並進ベクトルvが存在する場合も平行である。

$${\displaystyle T=S+v.}$$

点Pと部分空間Sが与えられたとき、 Pを含みSに平行な部分空間がちょうど 1 つ存在する。${\displaystyle P+{\overrightarrow {S}}.}$Sが直線（1次元の部分空間）である場合、この性質はプレイフェアの公理である。

したがって、ユークリッド平面においては、2つの直線は1点で交わるか、平行であるかのどちらかである。

平行部分空間の概念は、異なる次元の部分空間にも拡張されている。2つの部分空間は、一方の方向が他方の方向に含まれている場合に平行である。

ユークリッド空間の2点間の距離（より正確にはユークリッド距離）は、一方の点を他方の点に写像する並進ベクトルのノルムである。つまり、

$${\displaystyle d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

線分PQの長さは、その端点PとQの間の距離d ( P , Q )です。これはしばしば次のように表されます。${\displaystyle |PQ|}$。

この距離は、正定値で対称であり、三角不等式を満たすため、計量である。

$$d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q).$$

さらに、等号が成り立つのは、点Rが線分PQに属する場合に限る。この不等式は、三角形の任意の辺の長さが、他の辺の長さの合計よりも小さいことを意味する。これが三角形の不等式という用語の由来である。

ユークリッド距離を用いると、すべてのユークリッド空間は完備距離空間となる。

2 つの非ゼロベクトルuとvは${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$（ユークリッド空間Eの関連ベクトル空間）は、内積がゼロの場合、直交または垂直である。

$${\displaystyle u\cdot v=0}$$

2 つの線形部分空間${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$2つの線形部分空間は、一方の非零ベクトルが他方の非零ベクトルとすべて直交する場合に直交する。これは、線形部分空間の交点が零ベクトルに縮小されることを意味する。

2つの直線、より一般的には2つのユークリッド部分空間（直線は1つのユークリッド部分空間とみなすことができる）は、それらの方向（ユークリッド部分空間に対応するベクトル空間）が直交する場合に直交する。交差する2つの直交直線は垂直であると言われる。

共通の端点Aを共有する2 つの線分ABとAC は、ベクトルが次の条件を満たす場合に垂直または直角を形成します。${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$そして${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$それらは直交している。

ABとACが直角をなす場合、

$${\displaystyle |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}$$

これはピタゴラスの定理です。この文脈では証明は簡単で、内積を用いて表すと、内積の双線形性と対称性を用いて次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}}$$

ここ、${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}}$これら2つのベクトルは直交しているため、 が使用されます。

2 つの非ゼロベクトルxとyの間の(方向付けされていない)角度θは、${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$は

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)}$$

ここでarccos は逆余弦関数の主値です。コーシー・シュワルツの不等式により、逆余弦の引数は区間[ −1, 1 ]に含まれます。したがってθは実数であり、0 ≤ θ ≤ π (角度を度で測定する場合は0 ≤ θ ≤ 180 ) となります。

ユークリッド直線では角度は役に立ちません。なぜなら角度は0またはπしか取ることができないからです。

向き付けられたユークリッド平面では、2 つのベクトルの向き付けられた角度を定義できます。2 つのベクトルxとyの向き付けられた角度は、yとxの向き付けられた角度の反対になります。この場合、2 つのベクトルの角度は、2 πの整数倍を法とする任意の値をとることができます。特に、反射角π < θ < 2 πは、負の角度− π < θ − 2 π < 0に等しくなります。

2つのベクトルの角度は、正の数を掛けても変化しません。より正確には、xとyが2つのベクトルで、λとμが実数である場合、

$${\displaystyle \operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{if }}\lambda {\text{ and }}\mu {\text{ have the same sign}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

A、B、Cがユークリッド空間内の3点である場合、線分ABとACの角度はベクトルの角度になります。${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$そして${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$ベクトルを正の数で乗算しても角度は変わらないため、始点Aを持つ2つの半直線の角度は次のように定義できます。それは、線分ABとACのなす角であり、BとCはそれぞれの半直線上の任意の点です。あまり使われませんが、始点を共有しない線分や半直線の角度も同様に定義できます。

2 本の直線の角度は次のように定義されます。各直線上に 1 つずつある 2 つの線分の角度を θ とすると、各直線上に 1 つずつある他の 2 つの線分の角度は θ または π − θ のいずれかになります。これらの角度のうち1 つは区間[ 0 , π /2 ]に含まれ、もう 1 つは[ π /2, π ]に含まれます。2つの直線の向きのない角度は、区間[ 0, π /2 ]に含まれる角度です。向きのあるユークリッド平面では、 2 つの直線の向きのある角度は区間[ − π /2, π /2 ]に属します。

すべてのユークリッドベクトル空間には正規直交基底が存在する（実際には、1次元より高い次元では無限に多く、1次元では2つ存在する）。${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$単位ベクトルの（${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$）ペアごとに直交する（${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=0}$i ≠ jの場合）。より正確には、任意の基底が与えられた場合${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n}),}$グラム・シュミット法は、すべてのiに対して、線形スパンが${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{i})}$そして${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{i})}$等しい。^{[ 7 ]}

ユークリッド空間Eが与えられたとき、デカルトフレームは、正規直交基底からなるデータの集合である。${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$そして、 Eの点であり、原点と呼ばれ、しばしばOで表される。デカルト座標系${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$Eと​${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$以下の方法で。

ベクトルvのデカルト座標${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$は、正規直交基底におけるvの係数である。${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$例えば、ベクトルのデカルト座標${\displaystyle v}$正規直交性に基づいて${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$（それは次のように名付けられるかもしれない）${\displaystyle (x,y,z)}$慣例として）3次元ユークリッド空間では${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$もし${\displaystyle v=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}}$基底は正規直交であるため、i番目の係数は$\displaystyle \alpha _{i}}$は内積に等しい${\displaystyle v\cdot e_{i}.}$

Eの点Pのデカルト座標はベクトルのデカルト座標です${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

ユークリッド空間はアフィン空間であるため、その上にアフィンフレームを考えることができます。これは、基底が正規直交である必要がない点を除けば、ユークリッドフレームと同じです。これにより、アフィン座標が定義されます。基底ベクトルが互いに直交していないことを強調するために、スキュー座標と呼ばれることもあります。

n次元ユークリッド空間のアフィン基底とは、超平面に含まれないn +1個の点の集合である。アフィン基底は、すべての点の重心座標を定義する。

n次元のユークリッド空間E上には、次のようにして他の多くの座標系を定義できます。fを、 Eの稠密な開部分集合から の開部分集合への同相写像(または、より一般的には微分同相写像)とします。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$点Eの点xの座標は、関数f ( x )の成分です。このようにして、極座標系(2 次元) と球面座標系および円筒座標系 (3 次元) が定義されます。

関数fの定義域外にある点については、近傍点の座標の極限として座標が定義される場合もありますが、これらの座標は一意に定義されない場合があり、また、点の近傍で連続しない場合もあります。例えば、球面座標系では、経度は極では定義されず、対蹠線上では経度は –180° から +180° まで不連続に変化します。

この座標の定義方法は、他の数学的構造、特に多様体にも容易に拡張できます。

Eがユークリッド空間である場合、その関連ベクトル空間${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$はユークリッド空間とみなすことができる。すべての点O ∈ Eはユークリッド空間の等長変換を定義する。

$${\displaystyle P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

これはO をゼロベクトルに写像し、関連する線形写像として恒等写像を持ちます。逆等長写像は写像です。

$${\displaystyle v\mapsto O+v.}$$

ユークリッド座標系${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$マップを定義することを可能にします

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}}$$

これはユークリッド空間の等長変換です。逆等長変換は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}}$$

これは、同型写像を除いて、与えられた次元のユークリッド空間はただ一つしか存在しないことを意味する。

これは、多くの著者が$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$n次元のユークリッド空間として。

ユークリッド空間からそれ自身への等長変換は、ユークリッド等長変換、ユークリッド変換、または剛体変換と呼ばれます。ユークリッド空間の剛体変換は、（合成に関して）群を形成し、これをユークリッド群と呼び、しばしばE( n )と表記します。

最も単純なユークリッド変換は平行移動です

$${\displaystyle P\to P+v.}$$

これらはベクトルと一対一対応の関係にある。これが、平行移動の空間をユークリッド空間に関連付けられたベクトル空間と呼ぶ理由である。平行移動はユークリッド群の正規部分群を形成する。

ユークリッド空間Eのユークリッド等長変換fは線形等長変換を定義する${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$関連ベクトル空間の (線形等長変換とは、線形写像でもある等長変換を意味する) を次のように表す: Q − Pでベクトルを表す${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$OがEの任意の点である場合、

$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

これはOの選択に依存しない線形写像であることを証明するのは簡単である。

地図${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$は、ユークリッド群から線形等長変換群（直交群と呼ばれる）への群準同型写像である。この準同型写像の核は平行移動群であり、これはユークリッド群の正規部分群であることを示している。

与えられた点Pを固定する等長変換は、Pに関するユークリッド群の安定化部分群を形成します。上記の群準同型写像をこの安定化部分群に制限すると同型写像になります。したがって、与えられた点を固定する等長変換は、直交群と同型の群を形成します。

P を点、f を等長変換、t をPをf ( P )に写像する平行移動とする。等長変換は${\displaystyle g=t^{-1}\circ f}$Pを修正します。${\displaystyle f=t\circ g,}$そして、ユークリッド群は、並進群と直交群の半直積である。

特殊直交群は、直交群の正規部分群であり、旋回性を保持する。これは直交群の指数2の部分群である。群準同型による逆像${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$は、ユークリッド群の指数2の正規部分群であり、特殊ユークリッド群または変位群と呼ばれます。その要素は、剛体運動または変位と呼ばれます。

剛体運動には、恒等運動、並進運動、回転運動（少なくとも1点を固定する剛体運動）、およびねじ運動が含まれます。

剛体変換でありながら剛体運動ではないものの典型的な例としては、鏡映変換が挙げられる。鏡映変換は、超平面を固定する剛体変換であり、恒等変換ではない。また、ユークリッド座標系において、ある座標の符号を反転させる変換も鏡映変換である。

特殊ユークリッド群はユークリッド群の指数2の部分群であるため、反射rが与えられたとき、剛体運動ではないすべての剛体変換は、rと剛体運動の積となる。すべり反射は、剛体運動でも反射でもない剛体変換の一例である。

この節で検討した群はすべてリー群と代数群です。

ユークリッド空間は、計量を持つアフィン空間である。アフィン空間は数学において他にも多くの用途がある。特に、任意の体上で定義されるため、他の文脈で幾何学を扱うことを可能にする。

非線形な問題を扱う場合、一般的には、複素数上のアフィン空間をユークリッド空間の拡張として考えることが有効です。例えば、複素アフィン空間では、円と直線は常に2つの交点（必ずしも異なるとは限らない）を持ちます。そのため、代数幾何学の大部分は、複素アフィン空間と代数的に閉じた体上のアフィン空間で構築されています。これらのアフィン空間で代数幾何学において研究される図形は、アフィン代数多様体と呼ばれます。

有理数体上のアフィン空間、より一般的には代数体上のアフィン空間は、（代数）幾何学と数論を結びつける役割を果たします。例えば、フェルマーの最終定理は、「次数が2より大きいフェルマー曲線は、有理数体上のアフィン平面上に点を持たない」と表現できます。

有限体上のアフィン空間における幾何学も広く研究されてきた。例えば、有限体上の楕円曲線は暗号学において広く用いられている。

射影空間はもともと、ユークリッド空間、より一般的にはアフィン空間に「無限遠点」を追加することで導入され、「同一平面上の2つの直線はちょうど1点で交わる」という主張を成り立たせるために用いられました。射影空間は、ユークリッド空間やアフィン空間と同様に等方性という性質を持ちます。つまり、2つの点や2つの直線を区別できるような空間の性質は存在しません。そのため、より等方的な定義が一般的に用いられ、射影空間を次元が1つ多いベクトル空間におけるベクトル直線の集合として定義します。

アフィン空間と同様に、射影空間は任意の体上で定義され、代数幾何学の基本的な空間である。

非ユークリッド幾何学とは、通常、平行線公準が成り立たない幾何学的空間を指します。これには、三角形の内角の和が180°を超える楕円幾何学や、内角の和が180°未満となる双曲幾何学などが含まれます。19世紀後半にこれらの幾何学が導入され、その理論が（ユークリッド幾何学と矛盾しない限り）一貫していることが証明されたことは、20世紀初頭の数学における基礎的危機の根源にあるパラドックスの一つであり、数学における公理的理論の体系化を促すきっかけとなりました。

多様体とは、各点の近傍においてユークリッド空間に類似する空間のことである。専門的に言えば、多様体は位相空間であり、各点の近傍がユークリッド空間の開部分集合と同相である。多様体は、この「類似性」の度合いに応じて、位相多様体、微分可能多様体、滑らかな多様体、解析的多様体に分類できる。しかし、これらの「類似性」はいずれも、距離や角度を近似的にさえ尊重しない。

滑らかな多様体上では、多様体の点における接空間に滑らかに変化するユークリッド計量を与えることで、距離と角度を定義できます（これらの接空間はユークリッドベクトル空間です）。これにより、リーマン多様体が得られます。一般に、リーマン多様体には直線は存在しませんが、 2点間の「最短経路」である測地線がその役割を果たします。これにより、測地線に沿って測定される距離と、交点における接空間内の接線の角度である測地線間の角度を定義できます。したがって、リーマン多様体は、局所的には、曲げられたユークリッド空間のように振る舞います。

ユークリッド空間は自明にリーマン多様体である。これをよく示す例として、球面が挙げられる。この場合、測地線は大円弧であり、航海においては正射線と呼ばれる。より一般的には、非ユークリッド幾何学の空間もリーマン多様体として実現できる。

実ベクトル空間の内積は正定値双線形形式であり、正定値二次形式によって特徴付けられます。擬ユークリッド空間は、非退化二次形式（不定値である場合もある）を備えた実ベクトル空間が付随するアフィン空間です。

このような空間の基本的な例として、アインシュタインの特殊相対性理論における時空であるミンコフスキー空間が挙げられる。これは4次元空間であり、計量は2次式で定義される。

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$

ここで、最後の座標（t）は時間座標であり、他の3つの座標（x、y、z）は空間座標である。

重力を考慮に入れるために、一般相対性理論では、ミンコフスキー空間を接空間とする擬リーマン多様体を用いる。この多様体のある点における曲率は、その点における重力場の値の関数となる。