接線成分と法線成分

数学では、曲線上の点にあるベクトルが与えられた場合、そのベクトルは 2 つのベクトルの和として一意に分解できます。1 つは曲線に接するベクトルの接線成分と呼ばれ、もう 1 つは曲線に垂直なベクトルの法線成分と呼ばれます。同様に、表面上の点にあるベクトルも同じ方法で分解できます。

より一般的には、多様体Mの部分多様体 Nと、Nの点におけるMの接空間内のベクトルが与えられた場合、それはNに接する成分とNに垂直な成分に分解できます。

より正式には、を面とし、 を面上の点とします。を におけるベクトルとします。すると、 は一意に和として 表すことができます。 ここで、和の最初のベクトルは接線成分で、2 番目のベクトルは法線成分です。この 2 つのベクトルは互いに垂直であることがすぐにわかります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$$

接線成分と法線成分を計算するには、表面に対する単位法線、つまり でに垂直な単位ベクトルを考えます 。すると、 となり、 となります 。 ここで「 」はドット積を表します。接線成分の別の式は、 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\Parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$$${\displaystyle \cdot}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),}$$

ここで、 " " は外積を表します。 ${\displaystyle \times }$

これらの式は、使用される特定の単位法線に依存しません(特定の点の任意の表面に対して、反対方向を指す 2 つの単位法線が存在するため、単位法線の 1 つは、もう 1 つの単位法線の負になります)。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

より一般的には、多様体Mの部分多様体 Nと点が与えられると、接空間を含む短い完全列が得られます。 商空間は、法線ベクトルの一般化された空間です。 ${\displaystyle p\in N}$$${\displaystyle T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N}$$ ${\displaystyle T_{p}M/T_{p}N}$

Mがリーマン多様体の場合、上記のシーケンスはを分割し、pにおけるMの接空間はNに接する成分とNに垂直な成分の直和として分解されます。 したがって、すべての接ベクトルはとして分割されます。ここで、および です。 $${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp}}$$ ${\displaystyle v\in T_{p}M}$${\displaystyle v=v_{\Parallel }+v_{\perp }}$${\displaystyle v_{\parallel }\in T_{p}N}$${\displaystyle v_{\perp}\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp}}$

N が非退化方程式によって与えられる と仮定します。

N がパラメトリック方程式(パラメトリック曲線など)を介して明示的に与えられている場合、導関数は接線バンドルの張集合を与えます (パラメトリック化が浸漬である場合に限り、それは基底になります)。

N が（上記の曲面の説明のように、またはより一般的には超曲面として）暗黙的に与えられている場合、の勾配は正規空​​間を張り ます。${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$

どちらの場合も、ドット積を使用して計算できます。ただし、外積は 3 次元に特有です。

• ラグランジュ乗数: 制約付き臨界点は、全導関数の接線成分が消える場所です。
• 表面法線
• フレネ・セレ式
• 曲面の微分幾何学 § 接線ベクトルと法線ベクトル

• ロジャンスキー、ウラジミール（1979）。電磁場と電磁波。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-63834-0。
• クロウェル、ベンジャミン（2003）。光と物質。