接線成分と法線成分

より正式には、${\displaystyle S}$表面であり、${\displaystyle x}$表面上の点とする。${\displaystyle \mathbf {v} }$ベクトルになる${\displaystyle x}$そうすれば、独自に書くことができる${\displaystyle \mathbf {v} }$合計として $${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Parallel }+\mathbf {v} _{\perp }}$$ ここで、和の最初のベクトルは接線成分、2番目のベクトルは法線成分である。したがって、これら2つのベクトルは互いに直交することが直ちにわかる。

接線成分と法線成分を計算するには、表面に垂直な単位ベクトル、つまり単位ベクトルを考えます。${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$垂直に${\displaystyle S}$で${\displaystyle x}$。それから、 $$\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\left(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right){\hat {\mathbf {n} }}}$$ そしてこうして $${\displaystyle \mathbf {v} _{\Parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}$$ どこ "${\displaystyle \cdot }$は内積を表します。接線成分の別の公式は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {\mathbf {n} }}\times ({\hat {\mathbf {n} }}\times \mathbf {v} ),}$$

どこ "${\displaystyle \times }$「」は外積を表します。

これらの式は特定の単位法線に依存しない${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$（任意の表面上の特定の点には、反対方向を向いた2つの単位法線が存在するため、一方の単位法線はもう一方の単位法線の負の値となる）

より一般的には、多様体Mの部分多様体Nと点が与えられたとき${\displaystyle p\in N}$接空間を含む短い正確な数列が得られます。 $${\displaystyle T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N}$$ 商空間${\displaystyle T_{p}M/T_{p}N}$これは、法線ベクトルの一般化された空間である。

Mがリーマン多様体である場合、上記のシーケンスは分割され、pにおけるMの接空間は、 Nに接する成分とNに垂直な成分の直和として分解されます。 $${\displaystyle T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$$ したがって、すべての接線ベクトル${\displaystyle v\in T_{p}M}$分割として${\displaystyle v=v_{\Parallel }+v_{\perp }}$、どこ${\displaystyle v_{\parallel }\in T_{p}N}$そして${\displaystyle v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}$。