グループ活動

もし${\displaystyle G}$同一要素を持つグループです${\displaystyle e}$、 そして${\displaystyle X}$集合である場合、(左)群アクション${\displaystyle \alpha }$の${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$関数です

${\displaystyle \alpha :G\times X\to X}$

次の２つの公理を満たす：^{[ 1 ]}

すべての人々のために${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$で${\displaystyle G}$そしてすべて${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$。

グループ${\displaystyle G}$すると、${\displaystyle X}$（左から）一式${\displaystyle X}$行動とともに${\displaystyle G}$（左）と呼ばれる${\displaystyle G}$-セット。

動作をカリー化すると表記が便利になる場合がある${\displaystyle \alpha }$そのため、代わりに変換の集合が得られます${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$1つの変換で$\displaystyle \alpha _{g}}$各グループ要素について${\displaystyle g\in G}$同一性関係と適合性関係は次のようになる。 $$\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$$ そして $${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$$ 2番目の公理は、関数合成が群乗法と両立し、可換図式を形成することを述べている。この公理はさらに短縮して、次のように書くことができる。$\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$。

上記の理解から、書くことを避けることは非常に一般的です${\displaystyle \alpha }$完全に削除し、ドットまたは何も表示しないかのいずれかに置き換えます。したがって、${\displaystyle \alpha (g,x)}$短縮して${\displaystyle g\cdot x}$または${\displaystyle gx}$特に、その行為が文脈から明らかである場合。公理は次のようになる。 $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&e\cdot x=x\\&g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x\end{aligned}}\right.}$$

これら2つの公理から、任意の固定されたに対して、${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$関数は${\displaystyle X}$それ自体にマッピングする${\displaystyle x}$に${\displaystyle g\cdot x}$は全単射であり、逆全単射は に対応する写像である。${\displaystyle g^{-1}}$したがって、グループアクションを次のように定義することもできます。${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$群準同型として${\displaystyle G}$対称群へ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$すべての全単射から${\displaystyle X}$それ自体に対して。^{[ 2 ]}

同様に、右派集団の行動は${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$関数です

${\displaystyle \alpha :X\times G\to X,}$

これは類似の公理を満たします: ^{[ 3 ]}

（と${\displaystyle \alpha (x,g)}$しばしば短縮されて${\displaystyle xg}$または${\displaystyle x\cdot g}$検討されている行動が文脈から明らかである場合）

すべての人々のために${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$で${\displaystyle G}$そしてすべて${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$。

左動作と右動作の違いは、製品が${\displaystyle gh}$行動する${\displaystyle x}$左方向の動作の場合、${\displaystyle h}$まず行動し、続いて${\displaystyle g}$2番目。正しい行動のために、${\displaystyle g}$まず行動し、続いて${\displaystyle h}$2番目。その式のため${\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}$左作用は、右作用と群の逆作用を組み合わせることによって構成できます。また、群の右作用は${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$反対グループの左派の行動とみなすことができる${\displaystyle G^{\text{op}}}$の上${\displaystyle X}$したがって、単一の群作用の一般的な性質を確立するには、左作用のみを考慮すれば十分である。

の行動${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$と呼ばれる任意の2点について推移的である${\displaystyle x,y\in X}$存在する${\displaystyle g\in G}$となることによって${\displaystyle g\cdot x=y}$。

アクションは単純に他動詞（または鋭く他動詞、または正規) 推移的かつ自由である場合。これは、与えられた${\displaystyle x,y\in X}$ちょうど1つあります${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle g\cdot x=y}$。 もし${\displaystyle X}$グループによって単純に推移的に作用される${\displaystyle G}$するとそれは主同質空間と呼ばれる。${\displaystyle G}$または${\displaystyle G}$-トルソー。

整数の場合${\displaystyle n\geq 1}$アクションは${\displaystyle n}$-推移的${\displaystyle X}$少なくとも${\displaystyle n}$要素、そして任意のペアに対して${\displaystyle n}$-タプル${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}}$ペアごとに異なるエントリ (つまり、${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$、${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$いつ${\displaystyle i\neq j}$) 存在する${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle g\cdot x_{i}=y_{i}}$のために${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$言い換えれば、サブセットに対するアクションは${\displaystyle X^{n}}$重複のないタプルの推移性は成り立つ。${\displaystyle n=2,3}$これはしばしば二重推移性、あるいは三重推移性と呼ばれる。2-推移群（すなわち、作用が2-推移的な有限対称群の部分群）およびより一般的には多重推移群のクラスは、有限群論においてよく研究されている。

アクションとは鋭く${\displaystyle n}$-タプルに重複エントリがない場合、推移的${\displaystyle X^{n}}$非常に推移的である。

整数の場合${\displaystyle n\geq 1}$の作用${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$と呼ばれる${\displaystyle n}$-均質である場合${\displaystyle X}$少なくとも${\displaystyle n}$要素、そして任意のペアに対して${\displaystyle n}$-部分集合${\displaystyle S,T\subseteq X}$存在する${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle gS=T}$言い換えれば、セット上でのアクションは${\displaystyle n}$-サブセット${\displaystyle X}$推移的である。^{[ 4 ]}

アクションとは鋭く${\displaystyle n}$-作用が均質である場合${\displaystyle n}$-サブセット${\displaystyle X}$非常に推移的である。

1${\displaystyle n}$他動詞の動作も${\displaystyle n}$-同質性。1-部分集合、1-タプル、および点は同等であるため、1-同質性、1-推移性、および推移性の概念は一致します。

行動するグループ${\displaystyle n}$集合上で同次的に${\displaystyle X}$の${\displaystyle m}$要素も作用する ${\displaystyle (m-n)}$-均質に、${\displaystyle gS=T}$暗示する${\displaystyle g\left(X\setminus S\right)=X\setminus T}$。

の行動${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$分割がない場合、プリミティブと呼ばれます。${\displaystyle X}$すべての要素によって保存される${\displaystyle G}$自明な分割（単一の部分への分割とその双対、単一要素への分割）を除いて。

と仮定する${\displaystyle X}$は位相空間であり、${\displaystyle G}$同相写像によるものです。

アクションは、すべての${\displaystyle x\in X}$近隣地域がある${\displaystyle U}$有限個しか存在しない${\displaystyle g\in G}$と${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$[ ^{5 ]​}

より一般的に言えば、${\displaystyle x\in X}$は、作用の不連続点と呼ばれます。${\displaystyle G}$開集合が存在する場合${\displaystyle U\ni x}$有限個しか存在しない${\displaystyle g\in G}$と${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$作用の不連続領域は、すべての不連続点の集合である。言い換えれば、それは最大の不連続領域である。${\displaystyle G}$-安定な開部分集合${\displaystyle \Omega \subset X}$そのため、${\displaystyle G}$の上${\displaystyle \Omega }$はさまよっている。^{[ 6 ]}動的文脈では、これはさまよう集合とも呼ばれる。

アクションは、すべてのコンパクト部分集合に対して、${\displaystyle K\subset X}$有限個しかない${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle (g\cdot K)\cap K\neq \emptyset }$これは、放浪よりも厳密に強い。例えば、${\displaystyle \mathbb {Z} }$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$によって与えられた${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$さまよい、自由だが、厳密には不連続ではない。^{[ 7 ]}

普遍被覆上の局所的に単連結な空間の基本群のデッキ変換による作用は、さまよい自由である。このような作用は、次の性質によって特徴づけられる。${\displaystyle x\in X}$近隣地域がある${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle (g\cdot U)\cap U=\emptyset }$すべての${\displaystyle g\in G\backslash \{e_{G}\}}$^{[ 8 ]}この性質を持つアクションは、自由不連続と呼ばれることがあり、アクションが自由不連続となる最大のサブセットは、自由正則集合と呼ばれます。^{[ 9 ]}

集団の行動${\displaystyle G}$局所的にコンパクトな空間で${\displaystyle X}$コンパクト部分集合が存在する場合、それは共コンパクトと呼ばれる。${\displaystyle A\subset X}$そのため${\displaystyle X=G\cdot A}$適切に不連続な作用の場合、共コンパクト性は商空間のコンパクト性と同値である。${\displaystyle X/G}$。

ここで仮定すると${\displaystyle G}$は位相群であり、${\displaystyle X}$同相写像によって作用する位相空間。写像が連続である場合、その作用は連続であると言われる。${\displaystyle G\times X\rightarrow X}$積トポロジーに対して連続である。

その行動は地図が適切であれば${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X}$定義される${\displaystyle (g,x)\mapsto (x,g\cdot x)}$適切である。^{[ 10 ]}これは、与えられたコンパクト集合が${\displaystyle K,K'}$セット${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle (g\cdot K)\cap K'\neq \varnothing }$はコンパクトである。特に、これは以下の場合に適切な不連続性に相当する。${\displaystyle G}$は離散的なグループです。

近隣地域が存在する場合は、地域的に無料であると言われています。${\displaystyle U}$の${\displaystyle e_{G}}$そのため${\displaystyle g\cdot x\neq x}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle g\in U\setminus \{e_{G}\}}$。

軌道マップが${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$すべての${\displaystyle x\in X}$その名前が示唆するのとは裏腹に、これは動作の連続性よりも弱い特性である。

もし${\displaystyle G}$嘘のグループであり、${\displaystyle X}$微分可能な多様体の場合、作用の滑らかな点の部分空間は点の集合である。${\displaystyle x\in X}$つまり、地図は${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$は滑らかである。リー群作用、すなわち空間全体で滑らかな作用については、十分に発展した理論が存在する。

可換環上の加群に対してgが線形変換によって作用する場合、真の非零g不変部分加群が存在しないとき、その作用は既約であると言われる。また、既約作用の直和として分解できるとき、その作用は半単純であると言われる。

If ${\displaystyle Y}$ is a subset of ${\displaystyle X}$, then ${\displaystyle G\cdot Y}$ denotes the set ${\displaystyle \{g\cdot y\mid g\in G,y\in Y\}}$. The subset ${\displaystyle Y}$ is said to be invariant under ${\displaystyle G}$ if ${\displaystyle G\cdot Y=Y}$ (which is equivalent ${\displaystyle G\cdot Y\subseteq Y}$). In that case, ${\displaystyle G}$ also operates on ${\displaystyle Y}$ by restricting the action to ${\displaystyle Y}$. The subset ${\displaystyle Y}$ is called fixed under ${\displaystyle G}$ if ${\displaystyle g\cdot y=y}$ for all ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ and all ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Y}$. Every subset that is fixed under ${\displaystyle G}$ is also invariant under ${\displaystyle G}$, but not conversely.

Every orbit is an invariant subset of ${\displaystyle X}$ on which ${\displaystyle G}$ acts transitively. Conversely, any invariant subset of ${\displaystyle X}$ is a union of orbits. The action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ is transitive if and only if all elements are equivalent, meaning that there is only one orbit.

A ${\displaystyle G}$-invariant element of ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle x\in X}$ such that ${\displaystyle g\cdot x=x}$ for all ${\displaystyle g\in G}$. The set of all such ${\displaystyle x}$ is denoted ${\displaystyle X^{G}}$ and called the ${\displaystyle G}$-invariants of ${\displaystyle X}$. When ${\displaystyle X}$ is a ${\displaystyle G}$-module, ${\displaystyle X^{G}}$ is the zeroth cohomology group of ${\displaystyle G}$ with coefficients in ${\displaystyle X}$, and the higher cohomology groups are the derived functors of the functor of ${\displaystyle G}$-invariants.

Given ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ with ${\displaystyle g\cdot x=x}$, it is said that "${\displaystyle x}$ is a fixed point of ${\displaystyle g}$" or that "${\displaystyle g}$ fixes ${\displaystyle x}$". For every ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$, the stabilizer subgroup of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle x}$ (also called the isotropy group or little group^[11]) is the set of all elements in ${\displaystyle G}$ that fix ${\displaystyle x}$: $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$ This is a subgroup of ${\displaystyle G}$, though typically not a normal one. The action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ is free if and only if all stabilizers are trivial. The kernel ${\displaystyle N}$ of the homomorphism with the symmetric group, ${\displaystyle G\rightarrow \operatorname {Sym} (X)}$, is given by the intersection of the stabilizers ${\displaystyle G_{x}}$ for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$. If ${\displaystyle N}$ is trivial, the action is said to be faithful (or effective).

Let ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ be two elements in ${\displaystyle X}$, and let ${\displaystyle g}$ be a group element such that ${\displaystyle y=g\cdot x}$. Then the two stabilizer groups ${\displaystyle G_{x}}$ and ${\displaystyle G_{y}}$ are related by ${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}}$.

Proof: by definition, ${\displaystyle h\in G_{y}}$ if and only if ${\displaystyle h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x}$. Applying ${\displaystyle g^{-1}}$ to both sides of this equality yields ${\displaystyle (g^{-1}hg)\cdot x=x}$; that is, ${\displaystyle g^{-1}hg\in G_{x}}$.

An opposite inclusion follows similarly by taking ${\displaystyle h\in G_{x}}$ and ${\displaystyle x=g^{-1}\cdot y}$.

The above says that the stabilizers of elements in the same orbit are conjugate to each other. Thus, to each orbit, we can associate a conjugacy class of a subgroup of ${\displaystyle G}$（つまり、部分群のすべての共役の集合）。${\displaystyle (H)}$の共役類​​を表す${\displaystyle H}$すると軌道が${\displaystyle O}$型を持つ${\displaystyle (H)}$スタビライザー${\displaystyle G_{x}}$いくつか/どれでも${\displaystyle x}$で${\displaystyle O}$に属する${\displaystyle (H)}$最大軌道タイプは、しばしば主軌道タイプと呼ばれます。

軌道と安定化要素は密接に関連しています。X内の固定されたxに対して、 g ↦ g ⋅ xで与えられる写像f : G → Xを考えます。定義により、この写像の像f ( G )は軌道G ⋅ xです。2 つの要素が同じ像を持つための条件は、  $${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$ 言い換えれば、f ( g ) = f ( h )は、 gとh が安定化部分群G _xの同じ剰余類に含まれる場合に限り 成り立つ。したがって、G ⋅ x内の任意のy上のfのファイバーf ⁻¹ ({ y })は、そのような剰余類に含まれ、そのような剰余類はすべてファイバーとしても現れる。したがって、f は安定化部分群の剰余類の集合G / G _xと軌道G ⋅ xの間に全単射を誘導し、 gG _x ↦ g ⋅ xを写す。^{[ 12 ]}この結果は軌道安定化定理として知られている。

Gが有限であれば、軌道安定化定理とラグランジュの定理により、 $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$ 言い換えれば、xの軌道の長さにその安定化群の位数を掛けたものが群の位数となる。特に、これは軌道の長さが群の位数の約数であることを意味する。

例

G を素数位数pの群とし、集合Xにk個の要素が作用するとする。各軌道には1 個またはp個の要素が含まれるため、長さ1のG不変要素となる軌道は少なくともk mod p個存在する。より具体的には、kとG不変要素の数は法pに関して合同である。^{[ 13 ]}

この結果は、引数の数を数える際に利用できるため、特に有用である（通常、Xが有限である場合にも適用される）。

例

軌道安定化定理を用いてグラフの自己同型を数えることができます。図に示すような立方体グラフを考え、その自己同型群をGとします。すると、G は頂点集合{1, 2, ..., 8}に作用し、立方体の中心周りの回転を合成することでわかるように、この作用は推移的です。したがって、軌道安定化定理により、| G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ |となります。ここで、安定化群G ₁にこの定理を適用すると、 | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ |が得られます。 1 を固定するGの要素は、2を 2、4、または 5 のいずれかに送らなければなりません。このような自己同型の例として、1 と 7 を通る対角軸の周りの 2π/3 の回転を考えます。これは 2、4、5 と 3、6、8 を入れ替え、1 と 7 を固定します。したがって、| ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3です。定理を 3 回適用すると、| ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ |となります。1 と 2 を固定するGの要素は、3 を 3 または 6 のいずれかに送らなければなりません。1、2、7、8 を通る平面で立方体を反射することは、3 を 6 に送るこのような自己同型であり、したがって| (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 |となります。 = 2。また、(( G ₁ ) ₂ ) _{3 は}恒等自己同型のみから構成されていることがわかります。なぜなら、 1、2、3 を固定するGの任意の要素は、1、2、3 との隣接によって決定される他のすべての頂点も固定しなければならないからです。上記の計算を組み合わせると、| G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48が得られます。。

軌道安定化定理と密接に関連する結果として、バーンサイドの補題がある。 $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$ ここで、X ^gはgによって固定される点の集合です。この結果は主にGとX が有限である場合に役立ち、次のように解釈できます。軌道の数は、群の要素ごとに固定される点の平均数に等しくなります。

群Gを固定すると、有限G集合の形式的差の集合は、 Gのバーンサイド環と呼ばれる環を形成し、加算は非交和に対応し、乗算はデカルト積に対応します。