基本グループ

数学の代数的位相幾何学 の分野において、位相空間の基本群は、空間に含まれるループのホモトピーの下での同値類の群である。これは、位相空間の基本的な形状、つまり穴に関する情報を記録します。基本群は、最初で最も単純なホモトピー群です。基本群はホモトピー不変量であり、ホモトピー同値である位相空間(またはより強い同相の場合)は、同型の基本群を持ちます。位相空間の基本群は で表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi_{1}(X)}$

空間 (たとえば、面) とその中のある点、そしてこの点で始まり、終わるすべてのループ (この点から始まり、周囲を歩き回り、最終的に開始点に戻るパス) から始めます。2 つのループは、明らかな方法で組み合わせることができます。つまり、最初のループに沿って進み、次に 2 番目のループに沿って進みます。2 つのループは、一方が壊れることなく他方に変形できる場合、同等であると見なされます。この組み合わせ方法とそれらの間のこの同値性を持つすべてのループの集合は、その特定の空間の基本群です。

アンリ・ポアンカレは1895年に論文「位置解析」で基本群を定義しました。^{[1]この概念は、}ベルンハルト・リーマン、ポアンカレ、フェリックス・クラインの研究におけるリーマン面の理論で生まれました。これは複素数値関数のモノドロミー特性を記述し、閉曲面の完全な位相的分類を提供します。

この記事全体を通じて、X は位相空間です。典型的な例は、右に示すような表面です。また、X内の点は基点と呼ばれます。(以下で説明するように、その役割はむしろ補助的です。) ホモトピー群の定義の考え方は、X上の曲線が (大まかに言えば) いくつ互いに変形できるかを測定することです。正確な定義は、最初に説明するループのホモトピーの概念に依存します。 ${\displaystyle x_{0}}$

位相空間Xが与えられたとき、を基点とするループは${\displaystyle x_{0}}$連続関数（連続写像とも呼ばれる） として定義される。

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

開始点と終了点が両方とも に等しくなるようにします。 ${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (1)}$${\displaystyle x_{0}}$

ホモトピーは2つのループ間の連続補間である。より正確には、2つのループ間のホモトピー（同じ点を基準とする）は連続写像である。 ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

そのような

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$つまり、ホモトピーの開始点はすべてのt (時間パラメータとしてよく考えられている) に対して同じです。${\displaystyle t\in [0,1],}$${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$つまり、同様に、終点はすべてのtに対して のままです。${\displaystyle t\in [0,1],}$${\displaystyle x_{0}}$
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)}$すべてに対して。${\displaystyle r\in [0,1]}$

このようなホモトピーh が存在する場合、およびはホモトピックであると言われます。関係「は にホモトピックである」は同値関係であるため、同値類の集合は次のように考えることができます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma '}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{すべてのループ}}\gamma {\text{ }}x_{0}\}/{\text{ホモトピー}}}に基づく$。

この集合（以下に説明する群構造を持つ）は、基点 における位相空間Xの基本群と呼ばれます。ホモトピーまでのループの同値類を、すべてのループの集合（いわゆるXのループ空間）ではなく考察する目的は、後者がさまざまな目的に役立つ一方で、かなり大きくて扱いにくいオブジェクトであるためです。対照的に、上記の商は、多くの場合、より管理しやすく計算可能です。 ${\displaystyle x_{0}}$

上記の定義によれば、は単なる集合である。ループの連結によって、は群になる（したがって、基本群という名前にふさわしい）。より正確には、2つのループ が与えられた場合、それらの積はループ として定義される。 ${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

したがって、ループは最初に「2 倍の速度」でループに従い、次に「2 倍の速度」でループに従います。 ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma_{0}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$

ループの 2 つのホモトピー類の積はと定義されます。この積は代表の選択に依存せず、したがって集合 に対する明確に定義された演算を与えることが示されます。この演算はグループになります。その中立要素は定数ループで、すべての時間tで に留まります。 (a のホモトピー類の) ループの逆は同じループですが、反対方向に走査されます。より正式には、 ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$${\displaystyle [\gamma _{1}]}$${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$。

3つの基底ループがある場合、積 ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

これらのループを連結したもので、4倍の速度で移動し、その後2倍の速度で移動します。比較すると、 ${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

同じ経路を（同じ順序で）通過しますが、速度は2倍、速度は4倍です。速度が異なるため、2つの経路は同一ではありません。結合性公理 ${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

したがって、パスがホモトピーまで考慮されるという事実に決定的に依存します。実際、上記の両方の合成は、たとえば、3 つのループすべてを 3 倍の速度で通過するループに対してホモトピックです。したがって、上記の操作を備えた、ホモトピーまでの基底ループのセットはグループになります。 ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

一般に基本群は基底点の選択に依存するが、同型性（実際には内部同型性さえも）まで、空間Xが経路連結である限り、この選択は影響を及ぼさないことが分かる。したがって、経路連結空間の場合、多くの著者は代わりに次のように書く。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}).}$

このセクションでは、基本群の基本的な例をいくつか挙げます。まず、ユークリッド空間( ) またはの任意の凸部分集合にはループのホモトピー類が 1 つだけ存在するため、基本群は1 つの要素を持つ自明な群です。より一般的には、任意の星型領域(さらにより一般的には任意の収縮可能空間) には自明な基本群があります。したがって、基本群はそのような空間を区別しません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

基本群が自明な経路連結空間は、単連結と呼ばれます。たとえば、右側に描かれた2 次元球面や、すべての 高次元球面 は単連結です。図は、特定のループを定数ループに縮約するホモトピーを示しています。この考え方は、 の像にない点が存在するすべてのループに適用できます。ただし、 となるループ (たとえば、ペアノ曲線から構築)が存在するため、完全な証明には、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理や細胞近似定理などの代数位相幾何学のツールを使用したより注意深い分析が必要です。 ${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$

円（ 1球とも呼ばれる）

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

は単連結ではない。代わりに、各ホモトピー類は、円の周りを指定された回数（巻き方向に応じて正または負になる）巻き付けるすべてのループで構成される。m 回巻き付けるループと n 回巻き付けるループの積は、 m + n回巻き付けるループである。したがって、円の基本群は整数の加法群と同型である。この事実は、ブラウワー不動点定理^[2]と次元 2 のボルスク・ウラム定理^[3]の証明に使用できる。${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$

8の字の基本群は、2つの文字の自由群です。これを証明するアイデアは次のとおりです。2つの円が交わる点（右の図で黒の点）を基点にすると、任意のループは次のように分解できます。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

ここで、aとb は、図に示されているように、図形の各半分を囲む 2 つのループであり、指数は整数です。8の字の基本群とは異なり、8 の字はアーベル的ではありません。つまり、 aとbを構成する 2 つの方法は、互いにホモトピックではありません。 ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1}),}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

より一般的には、 r円のブーケの基本群はr文字上の自由群です。

2つの経路連結空間XとYのくさび和の基本群は、個々の基本群の 自由積として計算できます。

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

これは、8 の字が 2 つの円のくさびの合計であるため、上記の観察を一般化したものです。

n点で穴があけられた平面の基本群は、n 個の生成元を持つ自由群でもあります。 i番目の生成元は、他の穴を回ることなくi番目の穴を回るループの類です。

基本群は離散構造に対しても定義できます。特に、V内の指定された頂点v _0を持つ連結 グラフ G = ( V , E )を考えます。 G内のループは、v ₀で開始および終了するサイクルです。^[4] T をGの全域木とします。 G内のすべての単純ループには、E \ T内のエッジが 1 つだけ含まれます。 G内のすべてのループは、このような単純ループの連結です。したがって、グラフの基本群は自由群であり、その生成子の数はE \ T内のエッジの数と正確に等しくなります。この数は| E | − | V | + 1に等しくなります。^[5]

たとえば、G に16 個の頂点があり、各頂点が 4 列に並んでおり、辺が水平または垂直に隣接する頂点を接続しているとします。この場合、 G には全体で 24 個の辺があり、各スパニング ツリーの辺の数は16 − 1 = 15なので、 Gの基本群は9 個の生成元を持つ自由群です。^[6] Gには9 個の「穴」があり、これは同じ基本群を持つ 9 個の円の花束に似ていること に注意してください。

結び目群は、定義により、に埋め込まれた結び目の補集合の基本群ですたとえば、三つ葉結び目の結び目群は、非可換基本群の別の例となる組紐群として知られています。Wirtingerによるプレゼンテーションでは、結び目の図に基づいて、生成元と関係の観点から結び目群を明示的に説明しています。したがって、結び目群は、結び目理論で結び目を区別するために何らかの用途があります。 が別の結び目 の別の結び目群と同型でない、を に変換することはできません。したがって、三つ葉結び目を円 (アンクットとも呼ばれる) に連続的に変換することはできません。これは、後者が結び目群 を持っているためです。ただし、互いに変形できないが、同型の結び目群を持つ結び目もあります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle B_{3},}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

種数nの向き付け可能な曲面の基本群は、生成元と関係式を使って次のよう に計算できる。

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

これにはトーラスが含まれ、これは種数1の場合であり、その基本群は

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$

位相群 Xの基本群（基点が中立元である場合）は常に可換である。特に、リー群の基本群は可換である。実際、 X上の群構造は別の群構造を付与する。つまり、 Xに2 つのループとが与えられている場合、X の群乗法を使用して別のループを定義できる。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

このループ全体の二項演算は、上で説明したものとは先験的に独立している。しかし、エックマン・ヒルトンの議論は、それが実際には上記のループの連結と一致し、さらに結果として得られる群構造がアーベル的であることを示している。^{[7] [8]}${\displaystyle \star }$

証明を調べると、より一般的には、任意のH 空間Xに対して がアーベル的であることが分かります。つまり、乗法は逆を持つ必要はなく、結合的である必要もありません。たとえば、これは別の位相空間 Y のループ空間の基本群がアーベル的であることを示しています。関連するアイデアは、ハインツ・ホップによるリー群のコホモロジーの計算につながります。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$

が連続写像で のとき、の基点を持つすべてのループはで合成でき、の基点を持つループが得られる。この操作はホモトピー同値関係およびループの合成と互換性がある。結果として得られる群準同型 は誘導準同型と呼ばれ、次のように書かれる。または、より一般的には、 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y_{0}\in Y}$${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{0}.}$${\displaystyle \pi (f)}$

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

連続写像から群準同型へのこの写像は写像と恒等写像の合成と互換性がある。圏論の用語では、位相空間にその基本群を関連付ける形成は、したがって関手である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

を基点とともに位相空間のカテゴリから群のカテゴリへ変換します。この関数は、基点に対してホモトピックな写像を区別しないことがわかります。が を持つ連続写像で、fとgが { x ₀ }に対してホモトピックな場合、 f _∗ = g _∗です。結果として、ホモトピー同値な2 つのパス連結空間には同型の基本群があります。 ${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}}$

${\displaystyle X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

例えば、穴の開いた平面に円を含める

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

はホモトピー同値であり、したがってそれらの基本群の同型性をもたらします。

基本群関数は積を積に、余積を余積に結び付ける。つまり、XとYが経路連結であれば、

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})}$

そして、それらが局所的に収縮可能である場合、

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

(後者の式では、 は尖った位相空間のくさび和と群の自由積を表します。) 後者の式は、基本群関数がプッシュアウトへの包含に沿った プッシュアウトを取ることを述べている、 Seifert–van Kampen の定理の特殊なケースです。${\displaystyle \vee }$${\displaystyle *}$

上で述べたように、比較的単純な位相空間の基本群を計算することでさえ、完全に自明ではなく、代数的位相幾何学のいくつかの手法が必要になります。

基本群のアーベル化は、空間の最初のホモロジー群と同一視できます 。

ヒューレヴィッツの定理の特別なケースは、第一特異ホモロジー群は 、口語的に言えば、アーベル群による基本群への最も近い近似であると主張する。より詳細には、各ループのホモトピー類をループのホモロジー類にマッピングすると、群準同型が得られる。${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

位相空間Xの基本群からその第一特異ホモロジー群へこの準同型は一般に同型ではない。なぜなら、基本群は非可換群かもしれないが、ホモロジー群は定義により常に可換群だからである。しかし、この違いは唯一のものである。Xがパス連結であれば、この準同型は射影的であり、その核は基本群の交換子部分群であるため、基本群の可換化と同型である。 ^[9]${\displaystyle H_{1}(X).}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

上記のステートメントを一般化すると、経路連結な空間の族に対して、基本群は^[10]の基本群の自由積である。この事実は、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理の特別な場合であり、より一般的には、他の空間から貼り合わされた空間の基本群を計算することを可能にする。たとえば、2 次元球面は、わずかに重なり合う半球のコピーを 2 つ、赤道の近傍に沿って貼り合わせることで得られる。この場合、2 つの半球は収縮可能であり、したがって基本群が自明であるため、定理から は自明となる。前述のように、曲面の基本群もこの定理を使用して計算できる。 ${\displaystyle X_{i},}$${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$

圏論の用語では、この定理は、基本群関数が（位相空間の圏における）プッシュアウトを（群の圏における）プッシュアウトへの包含に沿って取ると簡潔に述べることができる。 ^[11]

位相空間Bが与えられたとき、連続写像

${\displaystyle f:E\to B}$

Bの任意の点bが開近傍Uを許容し、 Uの原像とUのコピーの互いに素な和集合（ある集合Iでインデックス付けされる）との間に同相写像が存在するとき、EはB の被覆と呼ばれ、

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

標準的な投影図^[12]${\displaystyle \pi \circ \varphi }$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$

被覆は、前述の条件に加えてE が単連結である場合に普遍被覆と呼ばれる。 ^[13] E内の点を適切に特定することで他のすべての被覆を構成できるという意味で普遍的である。普遍被覆を知ることは、

${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\to X}$

位相空間Xの は、その基本群を理解する上でいくつかの点で役立ちます。まず、 はデッキ変換の群、つまり、 Xへの写像と可換な同相写像の群と同一視されます。つまり、 基本群とのもう 1 つの関係は、 がファイバーと同一視できることです。たとえば、写像 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle p^{-1}(x).}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},\,t\mapsto \exp(2\pi it)}$

（または、同値として）は普遍被覆である。デッキ変換は、の写像である。これは、特に上記の主張を証明する同一視と一致している。${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]}$${\displaystyle t\mapsto t+n}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} .}$

任意のパス連結、局所パス連結、局所単連結な位相空間Xには普遍被覆が存在する。^{[14]抽象的構成は、ペア (} x、 γ )を取ることによって基本群と同様に進められる。ここでx はX内の点であり、 γ はx _0からxへのパスのホモトピー類である。位相空間から普遍被覆への移行は、 Xの幾何学を理解する際に使用できる。たとえば、均一化定理は、任意の単連結なリーマン面はまたは上半平面に（同型に）あることを示している。^{[15]一般のリーマン面は、これら 3 つの面に対する}群作用の商として生じる。 ${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

離散群Gの単連結空間Yへの自由作用の商は基本群を持つ

${\displaystyle \pi _{1}(Y/G)\cong G.}$

一例として、実n次元実射影空間は、 をに送る群の反対称作用によるn次元単位球面の商として得られます。はn ≥ 2に対して単に接続されているため、これらの場合には の普遍被覆であり、これはn ≥ 2 に対して を意味します。${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle -x.}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})\cong \mathbb {Z} /2}$

Gを連結かつ単連結なコンパクトリー群、例えば特殊ユニタリ群SU( n ) とし、 Γ をGの有限部分群とする。すると、同次空間 X  =  G /Γ は基本群 Γ を持ち、これは普遍被覆空間Gに対して右乗法で作用する。この構成の多くのバリエーションの中で最も重要なものの 1 つは、局所対称空間 X  = Γ \ G / Kによって与えられる。ここで

• Gは非コンパクトな単連結な連結リー群（多くの場合半単純）であり、
• KはGの最大コンパクト部分群である
• Γ はGの離散可算な 捩れのない部分群です。

この場合、基本群は Γ であり、普遍被覆空間G / Kは実際には収縮可能です(リー群の カルタン分解によって)。

例として、G  = SL(2, R )、K = SO(2)、Γをモジュラー群SL(2, Z )の 任意のねじれのない合同部分群としてとります。

明示的な実現から、パス連結位相群 Hの普遍被覆空間は、やはりパス連結位相群Gであることがわかります。さらに、被覆写像は、核 Γ ( Gの閉じた離散正規部分群)を持つ、 GのHへの連続開準同型です。

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

G は離散群 Γ への共役による連続作用を持つ連結群であるため、自明に作用するはずであり、したがって Γ はGの中心の部分群でなければならない。特に、 π ₁ ( H ) = Γ はアーベル群であり、これも被覆空間を使用せずに直接簡単に見ることができる。群GはHの 普遍被覆群と呼ばれる。

普遍被覆群が示唆するように、位相群の基本群と群の中心の間には類似点があります。これは被覆群の格子で詳しく説明されています。

ファイバ化はホモトピー群を計算するための非常に強力な手段を提供する。いわゆる全空間と基底空間Bのファイバ化は、特に、そのすべてのファイバがホモトピー同値であり、したがってBがパス接続されていれば、基本群（および高次のホモトピー群）を使用して区別できないという^{特性を持つ。 [16]}したがって、空間Eは、基底空間Bとファイバの「ねじれ積」と見なすことができます。ホモトピー群の計算におけるファイバ化の重要性は、長い正確なシーケンスに由来します。${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

ただし、Bはパス連結である。^[17]はBの第二ホモトピー群であり、BからBへの写像のホモトピー類の集合として定義され、${\displaystyle \pi _{2}(B)}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}.}$

もしEが経路連結かつ単連結であれば、この列は同型となる。

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

これは、普遍被覆に関する上記の事実を一般化したものである（つまり、ファイバーFも離散的である場合）。代わりにFが連結かつ単連結である場合、それは同型に帰着する。

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

さらに、このシーケンスは左側で3 つの空間の高次のホモトピー群に継続することができ、これにより、同様の方法でそのような群を計算するためのアクセスが提供されます。 ${\displaystyle \pi _{n}}$

このようなファイバー列は、次のような特殊ユニタリ群のようなコンパクト古典リー群の基本群を帰納的に計算するために使用できる。この群は単位球面内で推移的に作用する。球面上の点の安定子はに同型である。すると[ ^18]からファイバー列が得られること が示される。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$${\displaystyle n\geq 2.}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

球面は少なくとも3次元な ので、${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle S^{2n-1}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2n-1})\cong \pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

長完全列は同型性を示す

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

は単一の点なので、は自明であり、これは、すべての点について単に接続されていることを示しています。${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle n.}$

非コンパクトリー群の基本群は、その最大コンパクト部分群に同型であるため、コンパクトな場合に還元することができる。^[19]これらの方法により、次の結果が得られる。^[20]

基本群を計算する2番目の方法は、すべての連結コンパクトリー群に適用され、最大トーラスと関連するルートシステムの仕組みを使用します。具体的には、連結コンパクトリー群の最大トーラスを とし、のリー代数を とします。指数写像${\displaystyle T}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle T.}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {t}}\to T}$

はファイバリングであり、したがってその核は写像 と同一視される。${\displaystyle \Gamma \subset {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle \pi _{1}(T).}$

${\displaystyle \pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)}$

は、コルートの整数線形結合の集合Iによって与えられる核を持つ射影的であることが示され^[21]、これにより計算が導かれる。

${\displaystyle \pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.}$^[22]

この方法は、例えば、関連するルートシステムが型${\displaystyle G_{2}}$である連結コンパクトリー群はどれも単連結であることを示します。^[23]したがって、（同型を除いて） 型のリー代数を持つ連結コンパクトリー群は 1 つだけ存在し、この群は単連結であり、中心は自明です。 ${\displaystyle G_{2}}$

位相空間が単体複体に同相である場合、その基本群は生成元と関係によって明示的に記述できます。

Xが連結された単体複体である場合、 Xのエッジパスは、 Xのエッジによって連結された頂点のチェーンとして定義されます。 2 つのエッジパスは、X内の三角形の 2 つの反対のエッジとエッジとを連続的に切り替えることによって、一方が他方から取得できる場合、エッジ同等であると言われます。v がX内の固定された頂点である場合、vでのエッジループは、 v で始まり、 vで終わるエッジパスです。エッジパス グループE ( X、  v ) は、 vでのエッジループのエッジ同等クラスのセットとして定義され、積と逆はエッジループの連結と反転によって定義されます。

エッジパス群は、Xの幾何学的実現| X |の基本群π 1 (| X |, v )と自然に同型です。[ 24 ]  Xの₂スケルトンX  2  (つまり^、Xの頂点、^エッジ、三角形) のみに依存するため、群π ₁ (| X  |, v )とπ ₁ (| X ² |,  v )は同型です。

エッジパス群は、生成元と関係を用いて明示的に記述できる。TがXの1 スケルトンの最大全域木である場合、E ( X ,  v ) は、生成元 ( Tには現れないXの有向エッジパス) と関係 ( Xの三角形に対応するエッジ同値) を持つ群と標準同型である。 T をXの任意の単連結な(特に縮約可能な)部分複体に置き換えた場合も、同様の結果が成り立つ。これは、基本群を計算する実用的な方法となることが多く、有限に提示された群はすべて有限単体複体の基本群として生じることを示すために使用できる。これは、基本群によって分類される 位相面に使用される古典的な方法の 1 つでもある。

有限連結単体複体Xの普遍被覆空間は、エッジパスを使用して単体複体として直接記述することもできます。その頂点はペア ( w ,γ) です。ここで、wはXの頂点、 γ はvからwへのパスのエッジ同値クラスです。 ( w ,γ)を含むk単体は、 wを含むk単体に自然に対応します。 k単体の新しい各頂点u はエッジwu を提供し、したがって、連結により、 vからuへの新しいパス γ _{u を}提供します。点 ( w ,γ) と ( u , γ _u ) は、普遍被覆空間内の「転送された」単体の頂点です。エッジパス群は、連結によって自然に機能し、単体構造を保存し、商空間はXです。

この方法は、任意の位相空間の基本群を計算するのにも使えることはよく知られている。これは間違いなくエドゥアルト・チェフとジャン・ルレーも知っていたし、アンドレ・ヴェイユの論文にも明示的に言及されていた。^{[25]ロレンツォ・カラビ、}ウー・ウェンツュン、ノダール・ベリカシビリなど他のさまざまな著者も証明を発表している。最も単純なコンパクト空間Xが有限開被覆を持ち、その被覆内の開集合の空でない有限交差がすべて縮約可能である場合、基本群は被覆の神経に対応する単体複体のエッジパス群と同一視できる。

• すべてのグループは、2 次元 (またはそれ以上) の連結 CW 複合体の基本グループとして実現できます。ただし、前述のように、1 次元 CW 複合体 (つまりグラフ) の基本グループとして出現できるのは自由グループだけです。
• 有限に提示された群はすべて、コンパクトで連結な、次元 4 以上の滑らかな多様体の基本群として実現できます。しかし、低次元多様体の基本群としてどの群が発生するかについては厳しい制限があります。たとえば、階数 4 以上の自由アーベル群は、次元 3 以下の多様体の基本群として実現できません。測定可能な基数が存在しない場合に限り、すべての群がコンパクトハウスドルフ空間 の基本群として実現できることが証明できます。^[26]

大まかに言えば、基本群は空間の 1 次元の穴構造を検出しますが、2 次元球面のような高次元の穴は検出しません。このような「高次元の穴」は、 からXへの (基点保存) 写像のホモトピー類で構成されると定義される高次ホモトピー群 を使用して検出できます。たとえば、Hurewicz の定理は、 n次元球面のすべてのn次ホモトピー群に対して、 ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^[27]

上で古典リー群の計算で述べたように、高次ホモトピー群は基本群の計算にも関連することがあります。 ${\displaystyle \pi _{1}}$

コンパクトな開位相を持つ尖端空間 X内の基底付きループの集合（そのまま、つまりホモトピーまでとられていないもの）はループ空間と呼ばれ、次のように表記される。Xの基本群は、そのループ空間のパス成分の集合と一対一である。 ^[28]${\displaystyle \Omega X.}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

基本群は、基点の選択が望ましくない状況で役立つ基本群の変形である。これは、まず連続関数 における経路のカテゴリを考慮することによって定義される。${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$、

ここで、r は任意の非負の実数である。このアプローチでは長さr は可変であるため、このようなパスはそのまま連結することができ（つまり、ホモトピーに達しない）、したがってカテゴリが得られる。^[29]同じ端点と長さr、それぞれr' を持つ2 つのパスは、端点に対してホモトピックであるような実数が存在する場合、同等であるとみなされる。ここで、 ^{[30] [31]}${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$${\displaystyle u,v\geqslant 0}$${\displaystyle r+u=r'+v}$${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$

この同値関係に至る経路のカテゴリは と表記される。の各射は同型であり、その逆は反対方向にたどった同じ経路によって与えられる。このようなカテゴリは群体 と呼ばれる。これは基本群を再現する。 ${\displaystyle \Pi (X).}$${\displaystyle \Pi (X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$。

より一般的には、状況の幾何学に従って選択された基点の集合A上の基本群を考えることができる。例えば、交差が 2 つの要素を持つ 2 つの連結した開集合の和集合として表される円の場合、各要素で 1 つの基点を選択できる。ファン・カンペンの定理は、基本群に対するバージョンを許容し、例えば^{[32]の基本群 (oid) を計算する別の方法を与える。}${\displaystyle S^{1}.}$

一般的に言えば、表現は、他の数学的対象、多くの場合ベクトル空間への作用によって群の特徴を示すのに役立つことがあります。基本群の表現は非常に幾何学的な意味を持っています。つまり、任意の局所システム（つまり、X上の任意の点の十分に小さい近傍U内で局所的にFの制限が形式の定数層であるという性質を持つX上の層 ）は、いわゆるモノドロミー表現、つまりn次元ベクトル空間上の基本群の表現を生じます。逆に、パス連結空間X上のそのような表現は、このようにして生じます。^{[33] の}表現と局所システム間のカテゴリの同値性は、たとえば、クニジニク–ザモロドチコフ方程式などの微分方程式の研究で使用されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

代数幾何学では、いわゆるエタール基本群が基本群の代わりに使用される。^[34]代数多様体またはスキームX上のザリスキ位相は、例えば、その中の開部分集合の位相よりもはるかに粗いので、区間からXへの連続写像を考えることはもはや意味がない。代わりに、グロタンディークによって開発されたアプローチは、Xのすべての有限エタール被覆を考慮して構築することである。これらは、有限ファイバーによる被覆の代数幾何学的類似物として役立つ。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$

これにより、例えば有限体上で定義された多様体など、古典的な位相的直観がまったく利用できない状況に適用できる理論が生まれる。また、体のエタール基本群はその（絶対）ガロア群である。一方、複素数上の滑らかな多様体Xの場合、エタール基本群は古典的な基本群に固有の情報の多くを保持している。前者は後者のprofinite完備化である。 ^[35]

ルート系の基本群は、リー群の計算と同様に定義されます。^[36]これにより、半単純線型代数群 Gの基本群を定義して使用することができ、これは線型代数群の分類に役立つ基本的なツールです。^[37]

単体集合 Xの 1 単体間のホモトピー関係は、X がKan 複体であれば同値関係となるが、一般には必ずしもそうではない。^[38]したがって、Kan 複体のは、 1 単体のホモトピー類の集合として定義できる。任意の単体集合Xの基本群は、その位相的実現のホモトピー群、すなわち、 Xの単体集合構造によって規定される位相的単体を接着することによって得られる位相空間として定義される。^[39]${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle |X|,}$

• オービフォールド基本群
• 基本的なグループスキーム

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• ニコラス・デラヌーによる基本群を紹介するアニメーション
• 基点集合と基本群: mathoverflow の議論
• 数学における群論