ニュートンの運動の法則

ニュートンの運動の法則は、物体の運動とそれに作用する力の関係を説明する3 つの物理法則です。ニュートン力学の基礎となるこれらの法則は、次のように言い換えることができます。

1. 物体は、力が作用している場合を除き、静止しているか、直線上で一定の速度で運動しています。
2. どの瞬間においても、物体に働く正味の力は、物体の加速度にその質量を掛けたもの、つまり物体の運動量が時間とともに変化する速度に等しくなります。
3. 2つの物体が互いに力を及ぼす場合、これらの力は同じ大きさですが、方向が反対になります。^{[1] [2]}

運動の三法則は、アイザック・ニュートンが1687年に出版した『自然哲学の数学的原理』で初めて提唱されました。 ^[3]ニュートンはこれらの法則を用いて、多くの物理的物体やシステムの運動を研究し、説明しました。ニュートン以来、エネルギーの概念を中心に新たな洞察が生まれ、彼の基礎の上に古典力学の分野が築かれました。ニュートンの法則の限界も発見されており、物体が非常に高速で運動している場合 (特殊相対性理論)、非常に質量が大きい場合 (一般相対性理論)、非常に小さい場合 (量子力学) には新しい理論が必要になります。

ニュートンの法則は、しばしば点または粒子の質量、つまり体積が無視できる物体について述べられる。これは、内部部品の運動を無視でき、物体間の距離が各物体の大きさよりもはるかに大きい場合、実際の物体に対して妥当な近似である。たとえば、地球と太陽は、前者が後者の周りを回る軌道を考えると、どちらも点状として近似できるが、地球は表面での活動を考えると点状ではない。^{[注 1]}

運動の数学的記述、すなわち運動学は、数値座標を使用して位置を指定するという考え方に基づいています。動きは、時間とともに変化するこれらの数値によって表されます。物体の軌道は、すべての位置座標の値を時間変数の各値に割り当てる関数によって表されます。最も単純なケースは 1 次元、つまり物体が直線に沿ってのみ移動するように制約されている場合です。その場合、その位置は、選択された参照点に対する相対的な位置を示す単一の数値によって指定できます。たとえば、物体は左から右に走るトラックに沿って自由にスライドできるため、その位置は、都合の良いゼロ ポイント、つまり原点からの距離によって指定できます。負の数は左の位置を示し、正の数は右の位置を示します。物体の位置が時間の関数として である場合、から までの時間間隔での平均速度は^[6]です。ここで、ギリシャ文字(デルタ) は、伝統的に「 での変化」を意味するために使用されます。平均速度が正であることは、位置座標が当該区間にわたって増加することを意味し、平均速度が負であることは、当該区間にわたって純減することを示し、平均速度がゼロであることは、物体が時間区間を開始したのと同じ場所で終了することを意味する。微積分学は、瞬間速度を定義する手段を与える。瞬間速度は、区間全体ではなく、単一の瞬間における物体の速度と移動方向の尺度である。瞬間速度の表記法の 1 つは、記号 に置き換えることである。たとえば、これは、瞬間速度が時間に関する位置の導関数であることを示す。これは、おおよそ、位置の微小な変化と、それが生じる微小な時間区間との比と考えることができる。 ^{[7]より慎重に、速度と他のすべての導関数は、}極限の概念を使用して定義することができる。^[6]関数は、との差をに十分近い入力を選択することで任意に小さくすることができる場合、与えられた入力値においての極限を持つ。瞬間速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて平均速度が制限されるものとして定義できます。加速度は速度に対して、速度は位置に対して、つまり時間に対する速度の微分です。^{[注 2]}加速度も同様に制限として定義できます。したがって、加速度は${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d}$$${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$$${\displaystyle ds}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$$${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$ $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$位置の2次導関数^[7]は、しばしば と表記されます。 ${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$

位置は、原点からの変位として考えた場合、ベクトル、つまり大きさと方向の両方を持つ量です。^{[9] : 1}速度と加速度もベクトル量です。ベクトル代数の数学的ツールは、2次元、3次元、またはそれ以上の次元での動きを記述する手段を提供します。ベクトルは、 のように矢印で示される か、 のように太字で示されます。多くの場合、ベクトルは矢印として視覚的に表され、ベクトルの方向は矢印の方向であり、ベクトルの大きさは矢印の長さで示されます。数値的には、ベクトルはリストとして表すことができます。たとえば、物体の速度ベクトルは であり、水平軸に沿って毎秒3メートル、垂直軸に沿って毎秒4メートルで移動していることを示します。異なる座標系で記述された同じ動きは異なる数値で表され、ベクトル代数を使用してこれらの代替数値を変換できます。^{[9] : 4}${\displaystyle {\vec {s}}}$${\displaystyle {\bf {s}}}$${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

力学の研究は、エネルギーなどのよく使われる言葉が技術的な意味で使われているという事実によって複雑になっています。 ^[10]さらに、日常会話では同義語となっている言葉が物理学ではそうではありません。例えば、力は力や圧力と同じではなく、質量は重さとは異なる意味を持っています。^{[11] [12] ：150}物理学における力の概念は、押す、引くという日常的な概念を定量化します。ニュートン力学における力は、弦やロープ、摩擦、筋肉の働き、重力などによって生じることが多いです。変位、速度、加速度と同様に、力はベクトル量です。

ニュートンの第一法則はラテン語から翻訳すると、

すべての物体は、加えられた力によってその状態を変えることを強いられる場合を除き、静止状態または直線上の等速運動の状態を維持します。^{[注 3]}

ニュートンの第一法則は慣性の原理を表しています。物体の自然な動作は、一定の速度で直線上を移動することです。物体の運動は現状を維持しますが、外部の力によってこれが乱される可能性があります。

ニュートンの第 1 法則に関する現代の理解は、慣性観測者が他の観測者より優位に立つことはないというものです。慣性観測者の概念は、運動の影響を感じないという日常的な考えを定量化します。たとえば、地上に立って列車が通り過ぎるのを見ている人は慣性観測者です。地上の観測者が列車が一定の速度で直線上を滑らかに動いているのを見ている場合、列車に座っている乗客も慣性観測者になります。つまり、列車の乗客は運動を感じません。ニュートンの第 1 法則で表現されている原理は、どの慣性観測者が「実際に」動いていて、どの慣性観測者が「実際に」静止しているかを判断する方法はないということです。ある観測者の静止状態は、別の観測者の直線上の均一な運動状態であり、実験によってどちらの視点が正しいか間違っているかを判断できるものではありません。静止の絶対的な基準はありません。^{[17] [14] : 62–63  [18] : 7–9}ニュートン自身は絶対的な空間と時間が存在すると信じていたが、実験で測定できる空間や時間の唯一の尺度は相対的なものであった。^[19]

物体の運動の変化は加えられた力に比例し、力が加えられた直線の方向に生じる。^{[14] : 114}

ニュートンが「運動」と呼んだのは、現在では運動量と呼ばれる量であり、これは物体に含まれる物質の量、物体が動く速度、および物体が動く方向によって決まる。^[20]現代の表記では、物体の運動量はその質量と速度の積である。 ここで、3つの量はすべて時間とともに変化する可能性がある。ニュートンの第二法則は、現代の形では、運動量の時間微分が力であると述べている。 質量が時間とともに変化しない場合、微分は速度にのみ作用し、したがって力は質量と速度の時間微分、つまり加速度の積に等しい。^[21] 加速度は時間に関する位置の2次微分であるため、これは次のようにも書ける。 $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} \,.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}.}$$

物体に作用する力はベクトルとして加算されるため、物体にかかる力の合計は、個々の力の大きさと方向の両方によって決まります。物体にかかる正味の力がゼロの場合、ニュートンの第 2 法則により、物体は加速せず、力学的平衡状態にあると言われます。物体の位置がわずかに変化したときに物体がその平衡状態付近に留まる場合、力学的平衡状態は安定しています。そうでない場合、平衡は不安定です。

協調して作用する力の一般的な視覚的表現は自由体図であり、これは関心のある物体と外部の影響によってそれに加えられる力を図式的に表す。^{[22]たとえば、}傾斜面上に置かれたブロックの自由体図は、重力、垂直力、摩擦、弦の張力の組み合わせを示すことができる。^{[注 4]}

ニュートンの第二法則は、力の定義として提示されることもある。つまり、慣性観測者が物体が加速しているのを見たときに存在する力である。これがトートロジー（加速は力を意味し、力は加速を意味する）以上のものとなるためには、力に関する他の記述もなされなければならない。例えば、ニュートンの万有引力の法則のように、力を詳述する方程式が特定されるかもしれない。ニュートンの第二法則にそのような表現を挿入することで、予測力のある方程式を書くことができる。^{[注 5]}ニュートンの第二法則は、物理学の研究計画を定めたものともみなされており、この分野の重要な目標は自然界に存在する力を特定し、物質の構成要素を分類することであると確立している。^{[14] : 134  [25] : 12-2}${\displaystyle \mathbf {F} }$

あらゆる作用には常に等しい反作用があり、あるいは、二つの物体の相互作用は常に等しく、反対の方向に向けられている。^{[14] : 116}

第三法則を「作用は反作用に等しい」のように簡潔に言い換えると、何世代にもわたって学生の間で混乱を招いたかもしれない。「作用」と「反作用」は異なる物体に適用される。たとえば、テーブルの上に置かれた本を考えてみよう。地球の重力が本を下に引っ張る。その「作用」に対する「反作用」は、本を支えるテーブルからの支持力ではなく、地球に作用する本の重力である。^{[注 6]}

ニュートンの第 3 法則は、より基本的な原理である運動量保存則と関係しています。後者は、ニュートンの命題が当てはまらない場合でも、たとえば力場と物質が運動量を持つ場合や、量子力学でも運動量が適切に定義されている場合でも真です。^{[注 7]}ニュートン力学では、2 つの物体がそれぞれ運動量とを持つ場合、そのペアの合計運動量は であり、 の変化率はです。ニュートンの第 2 法則により、第 1 項は最初の物体にかかる力の合計であり、第 2 項は 2 番目の物体にかかる力の合計です。2 つの物体が外部の影響から隔離されている場合、最初の物体にかかる力は 2 番目の物体からの力のみであり、その逆も同様です。ニュートンの第 3 法則により、これらの力は大きさが等しく方向が反対であるため、足すと打ち消し合い、 は定数です。あるいは、 が定数であることがわかっている場合は、力は大きさが等しく方向が反対であることがわかります。 ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {p} _{2}}{dt}}.}$$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

古典力学で使用されている他の考え方をニュートンの法則の地位にまで高める提案がさまざまな情報源からなされている。たとえば、ニュートン力学では、2 つの小さな物体を合わせた物体の総質量は、それぞれの質量の合計である。フランク・ウィルチェクは、この仮定を「ニュートンのゼロ法則」と名付けて注目を集めることを提案した。^[33]「ゼロ法則」のもう 1 つの候補は、物体はどの瞬間にも、その瞬間に適用される力に反応するという事実である。^[34]同様に、力は同様のベクトルを加える (言い換えれば重ね合わせの原理に従う) という考えと、力が物体のエネルギーを変えるという考えは、どちらも「第 4 法則」と呼ばれている。^{[注 8]}

ニュートンの法則を用いた質量体の挙動の研究は、ニュートン力学として知られています。ニュートン力学におけるいくつかの例題は、概念的または歴史的な理由から特に注目に値します。

物体が地球の表面近くで静止状態から落下する場合、空気抵抗がなければ、物体は一定の割合で加速します。これは自由落下として知られています。自由落下中に到達する速度は経過時間に比例し、移動距離は経過時間の2乗に比例します。^[39]重要なのは、加速度はすべての物体で同じであり、その質量とは無関係であるということです。これは、ニュートンの運動の第二法則と万有引力の法則を組み合わせることで得られます。後者は、地球から物体に作用する重力の大きさは であるとしています。ここで、は落下物体の質量、は地球の質量、はニュートン定数、 は地球の中心から物体の位置までの距離で、これは地球の半径に非常に近い値です。これを と等しくすると、物体の質量は方程式の両辺から打ち消され、 、、に依存する加速度が残り、一定と見なすことができます。この特定の加速度値は、通常 と表されます。 $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

物体が静止状態から解放されず、上方および/または水平方向に非ゼロの速度で発射された場合、自由落下は投射運動になります。^[40]空気抵抗が無視できる場合、重力は物体の垂直方向の動きには影響し、水平方向の動きには影響しないため、投射物は放物線状の軌道を描きます。投射物の軌道のピークでは、垂直方向の速度はゼロですが、加速度は常に下向きです。間違ったベクトルをゼロに設定することは、物理学の学生の間でよくある混乱です。^[41]${\displaystyle g}$

物体が等速円運動をしているとき、物体に働く力は運動の方向を変えますが、速度は変えません。半径 の円内を一定速度 で運動する物体の場合、加速度の大きさは で、円の中心に向けられます。^{[注 9]}この加速度を維持するために必要な力は向心力と呼ばれ、円の中心に向けられ、大きさ を持ちます。地球の周りを回る月などの多くの軌道 は、等速円運動で近似できます。このような場合、向心力は重力であり、ニュートンの万有引力の法則により大きさ を持ちます。ここで は、周回している大きな物体の質量です。したがって、物体の質量は、その周りを周回する別の物体の観測から計算できます。^{[43] : 130}${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$${\displaystyle mv^{2}/r}$${\displaystyle GMm/r^{2}}$${\displaystyle M}$

ニュートンの砲弾は、投射運動と等速円運動を補間する思考実験である。高い崖の端から弱々しく投げ出された砲弾は、静止状態から落下した場合と同じ時間で地面に着地する。これは、重力が砲弾の運動量に及ぼす影響は下方向のみであり、水平方向の動きによってその影響が減じられないためである。砲弾がより大きな初期水平速度で発射された場合、砲弾は地面に着地するまでに長い距離を移動するが、それでも同じ時間で地面に着地する。しかし、砲弾がさらに大きな初期速度で発射された場合、地球の曲率が顕著になり、地面自体が落下する砲弾から遠ざかる方向に曲がる。非常に高速な砲弾は、その下で地球が曲がるのと同じ速度で慣性直線軌道から遠ざかる。言い換えれば、砲弾は軌道上にある（空気抵抗や障害物によって減速されないと仮定）。^[44]

軸に沿って移動できる質量の物体を考えてみましょう。また、平衡点が位置 にあると仮定します。つまり、 では、物体にかかる正味の力はゼロベクトルであり、ニュートンの第 2 法則により、物体は加速しません。物体にかかる力が平衡点からの変位に比例し、平衡点に向けられている場合、物体は単振動運動を行います。力を と書くと、ニュートンの第 2 法則は次のようになります。 この微分方程式には、 周波数が に等しいときに 解が存在します 。また、定数 およびは、たとえば、物体が特定の時間に持つ位置と速度 のように、知れば計算できます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F=-kx}$$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.}$$$${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle t=0}$

調和振動子が概念的に重要な例である理由の 1 つは、安定した機械的平衡に近い多くのシステムの良い近似となることです。^{[注 10]}たとえば、振り子は垂直位置で安定した平衡状態にあります。そこで動かなければ、振り子はそこに留まり、少し押すと前後に揺れます。空気抵抗と軸の摩擦を無視すると、振り子にかかる力は重力であり、ニュートンの第 2 法則は次のようになります。ここで、は振り子の長さ、は垂直からの角度です。角度が小さい場合、の正弦はにほぼ等しくなります(テイラー級数を参照)。そのため、この式は、周波数 の単純な調和振動子の式に簡略化されます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

調和振動子は摩擦や粘性抵抗によって減衰することが多く、その場合エネルギーが振動子から漏れ出し、振動の振幅は時間の経過とともに減少します。また、調和振動子は加えられた力によって駆動され、共鳴現象を引き起こす可能性があります。^[46]

ニュートン物理学では、物質は生成も破壊もされないが、再配置される可能性があるとみなされる。対象物体に物質が加えられたり除去されたりすることで、質量が増加したり減少したりすることが起こり得る。このような状況では、ニュートンの法則を個々の物質に適用し、どの部分が対象物体に属しているかを時間の経過とともに追跡することができる。たとえば、質量 のロケットが速度 で移動し、ロケットに対して相対的な 速度 で物質を放出する場合、正味の外力 (たとえば、惑星の重力) はどこ にあるのか。 ^{[23] : 139}${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}-\mathbf {u} {\frac {dM}{dt}}\,}$$${\displaystyle \mathbf {F} }$

物理学者はニュートンの時代以降にエネルギーの概念を発展させたが、これは「ニュートン」物理学とみなされるものの不可分な一部となっている。エネルギーは、物体の運動による運動エネルギーと、物体の他の位置に対する位置による位置エネルギーに大まかに分類できる。熱流によって運ばれる熱エネルギーは、物体の巨視的運動とは関係なく、物体を構成する原子や分子の運動に関連する運動エネルギーの一種である。仕事-エネルギー定理によれば、物体が力の方向に沿って動いているときに物体に力が作用すると、その力は物体に対して仕事をし、仕事の量は物体の運動エネルギーの変化に等しい。^{[注 11]}興味深い多くのケースでは、物体が閉ループ (ある点から出発し、ある軌道に沿って移動し、最初の点に戻る) で動くときに力によって行われる正味の仕事はゼロである。この場合、力はスカラーポテンシャルと呼ばれる関数の勾配で表すことができます。^{[42] : 303} これは、重力を含む多くの力に当てはまりますが、摩擦には当てはまりません。実際、力学の教科書にある摩擦を含まないほとんどすべての問題は、この方法で表現できます。^{[45] : 19}力がこのように表せるという事実は、エネルギー保存則から理解できます。物体のエネルギーを熱に消散させる摩擦がなければ、物体のエネルギーは、総量が一定のまま、位置エネルギーと（非熱）運動エネルギーの形の間で交換されます。物体にかかる正味の力が物体をより高い速度に加速するときに発生する運動エネルギーの増加は、位置エネルギーの損失を伴わなければなりません。したがって、物体にかかる正味の力は、位置エネルギーが減少する方法によって決まります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

剛体とは、無視できないほどの大きさがあり、時間が経っても形状が変わらない物体のことです。ニュートン力学では、剛体の運動は、物体の質量中心の運動と質量中心の周りの運動に分けて理解されることが多いです。

拡張された物体の運動の重要な側面は、その物体の質量が質量中心と呼ばれる一点に集中していると想像することで理解できます。物体の質量中心の位置は、その物体の物質がどのように分布しているかによって異なります。位置 に質量を持つ点状の物体の集合の場合、質量中心は に位置し、は集合の総質量です。純外力がない場合、質量中心は直線上を一定の速度で動きます。これは、たとえば 2 つの物体の衝突に当てはまります。^[49]総外力がゼロでない場合、質量中心は質量 の点体であるかのように速度を変えます。これは、集合内の内部力、つまり物体が互いに及ぼす力が、ニュートンの第 3 法則によってバランスの取れたペアで発生するという事実から生じます。一方が他方よりはるかに質量が大きい 2 つの物体のシステムでは、質量中心はより質量が大きい物体の位置とほぼ一致します。^{[18] : 22–24}${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ニュートンの法則を回転する拡張物体に適用すると、元の法則で呼び出されたものと類似した新しい量が得られます。質量に相当するのは慣性モーメント、運動量に相当するのは角運動量、力に相当するのはトルクです。

角運動量は、基準点を基準として計算されます。^[50]基準点から物体への変位ベクトルが で、物体が運動量 である場合、その点に関する物体の角運動量は、ベクトル外積 を用いて、 となります。角運動量の時間微分を取ると、次の式が得られます。と は同じ方向を向いているため、最初の項はゼロになります。残りの項はトルクです。トルクがゼロのとき、角運動量は一定であり、力がゼロのときに運動量が一定であるのと同じです。^{[18] : 14–15}物体が基準点 ( ) にある場合、または力と変位ベクトルが同じ線に沿っている 場合は、力がゼロでなくてもトルクがゼロになることがあります。${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m\mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

質点の集合、つまり拡張された物体の角運動量は、各質点からの寄与を加算することによって求められます。これは、個々の部分の角運動量を加算することによって、軸の周りの物体の回転を特徴付ける手段を提供します。結果は、選択された軸、物体の形状、および回転速度によって異なります。^{[18] : 28}

ニュートンの万有引力の法則によれば、どの物体も他の物体を、それらを結ぶ直線に沿って引き寄せます。引きつける力の大きさは、それらの質量の積に比例し、それらの間の距離の二乗に反比例します。反二乗の力の法則によって生成される軌道の形状を見つけることは、ケプラーの問題として知られています。ケプラーの問題は、ラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトルが一定であることを証明すること、^[51]や、2次元調和振動子に双対変換を適用することなど、複数の方法で解決できます。^[52]どのように解決しても、結果として軌道は円錐曲線、つまり楕円（円を含む）、放物線、または双曲線になります。軌道の離心率、つまり円錐曲線の種類は、軌道を回る物体のエネルギーと角運動量によって決まります。惑星は太陽から脱出するのに十分なエネルギーを持っていないため、その軌道はほぼ楕円形になります。ただし、惑星は互いに引っ張り合うため、実際の軌道は正確には円錐曲線にはなりません。

3 つ目の質量が追加されると、ケプラー問題は 3 体問題になりますが、これは一般に閉じた形では正確な解がありません。つまり、ニュートンの法則によって暗示される微分方程式から始めて、有限の標準的な数学的操作のシーケンスの後に、3 つの物体の時間的運動を表す方程式を得る方法はありません。^{[53] [54]} 数値的手法を適用して、3 体問題に対して、近似的ではあっても有用な結果を得ることができます。^{[55]物体の位置と速度は、コンピューターのメモリ内の}変数に格納できます。ニュートンの法則は、短い時間間隔で速度がどのように変化するかを計算するために使用され、速度がわかれば、その時間間隔での位置の変化を計算できます。このプロセスは、物体の軌道を近似的に計算するためにループされます。一般的に、時間間隔が短いほど、近似は正確になります。^[56]

ニュートンの運動の法則はカオスの可能性を許容する。^{[57] [58]}つまり、定性的に言えば、ニュートンの法則に従う物理システムは、初期条件に対して敏感な依存性を示す可能性がある。つまり、システムの一部の位置や速度がわずかに変化すると、システム全体が短時間で根本的に異なる動作をする可能性があります。注目すべき例としては、三体問題、二重振り子、動的ビリヤード、フェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題などがある。

ニュートンの法則は、流体が微小な断片で構成され、各断片が隣接する断片に力を及ぼしていると考えることで、流体に適用できます。オイラーの運動量方程式は、ニュートンの第二法則を流体力学に適用したものです。^{[59] [60]}流体は速度場、つまり、空間と時間の各点に速度ベクトルを割り当てる関数によって記述されます。流体の流れに運ばれる小さな物体は、2 つの理由で速度を変えることができます。1 つ目は、その位置での速度場が時間の経過とともに変化するため、2 つ目は、速度場の値が異なる新しい場所に移動するためです。その結果、ニュートンの第二法則を流体の微小部分に適用すると、加速度には 2 つの項、つまり総微分または物質微分と呼ばれる組み合わせが含まれます。微小部分の質量は流体の密度に依存し、流体圧力が一方から他方へと変化すると、正味の力が加わります。したがって、は 密度、は圧力、は重力のような外部の影響を表します。粘性の効果を組み込むと、オイラー方程式はナビエ・ストークス方程式になります。 ここで、は動粘性です。^[59]${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \nu }$

ニュートンの法則に従って運動する質点の集合が、有限の時間内にその一部が勢いよく飛び出し、無限に飛んでいくことは数学的に可能である。^[61]この非物理的な動作は「非衝突特異点」と呼ばれ、^[54]質量が点状であり、互いに任意に接近できることと、ニュートン物理学に相対論的な速度制限が存在しないことに起因している。 ^[62]

オイラー方程式とナビエ・ストークス方程式が、最初は滑らかな解が有限時間で「爆発」するという類似の挙動を示すかどうかはまだわかっていません。ナビエ・ストークス解の存在と滑らかさの問題は、ミレニアム懸賞問題の1つです。^[63]

古典力学は、「ニュートン」記述（もちろん、ニュートン以前と以後の他の人の貢献を取り入れている）以外にも、さまざまな方法で数学的に定式化できます。これらのさまざまな定式化の物理的内容はニュートンと同じですが、異なる洞察を提供し、異なるタイプの計算を容易にします。たとえば、ラグランジアン力学は、対称性と保存則の関係を明らかにするのに役立ち、曲線の軌道や球面上を移動するように制限された質量など、制約された物体の運動を計算するときに役立ちます。^{[18] ：48} ハミルトン力学は統計物理学に便利であり、^{[64] [65] ：57}対称性についてのさらなる洞察につながり、^{[18] ：251}摂動論の洗練された手法に発展させることができます。^{[18] : 284}これらのトピックは広範囲にわたるため、ここでの議論は、ニュートンの運動の法則をどのように定式化するかについての簡潔な扱いに限定されます。

ラグランジアン力学は、物体の運動を一瞬間に予測するのではなく、軌道全体を一度に考慮する点でニュートン力学の定式化と異なる。^{[18] : 109}ラグランジアン力学では、位置を で表し、速度を で表すのが伝統的である。最も単純な例は質量のある点粒子であり、そのラグランジアンはその運動 エネルギー と位置エネルギーの差として表すことができる。ここで、運動エネルギーは であり、位置エネルギーは位置 の何らかの関数である。粒子が開始点と終了点の間で取る物理的な経路は、ラグランジアン積分が「定常」である経路である。つまり、物理的な経路には、小さな摂動が最初の近似でラグランジアン積分を変えないという性質がある。変分法は、この経路を見つけるための数学的なツールを提供する。^{[42] : 485}経路を見つける作業に変分法を適用すると、粒子の オイラー・ラグランジュ方程式が得られます。ラグランジアンの 偏微分 を評価すると 、ニュートンの第2法則を言い換えた次の式が得られます。左辺は運動量の時間微分であり、右辺は位置エネルギーで表される力です。^{[9] : 737}${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}}$$${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$${\displaystyle V(q)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{f}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {q}})=-{\frac {dV}{dq}},}$$

ランダウとリフシッツは、ラグランジアン定式化はニュートンの法則から始めるよりも古典力学の概念的内容をより明確にすると主張している。^[26]ラグランジアン力学は、対称性と保存則を関連付けるノイマンの定理を証明するための便利な枠組みを提供している。 ^[66]運動量保存則は、ノイマンの定理を多粒子系のラグランジアンに適用することで導くことができるため、ニュートンの第3法則は仮定ではなく定理である。^{[18] : 124}

ハミルトン力学では、システムのダイナミクスはハミルトニアンと呼ばれる関数によって表され、多くの場合、システムの全エネルギーに等しくなります。^{[9] : 742}ハミルトニアンは、システムを構成するすべての物体の位置と運動量の関数であり、時間に明示的に依存することもあります。位置と運動量変数の時間微分は、ハミルトン方程式を介したハミルトニアンの偏微分によって与えられます。^{[18] : 203}最も単純な例は、ポテンシャルの影響下で直線上に移動するように制約された質点です。位置座標を 、物体の運動量を と書くと、ハミルトニアンは 次のようになります。 この例では、ハミルトン方程式は 次のようになります 。 これらの偏微分を評価する と 、前者 の方程式は次のようになります。 これは、 物体の運動量がその質量と速度の積であるというよく知られた声明を再現します。運動量の時間微分は 、ポテンシャルの負の微分を力と同一視すると、再びニュートンの第二法則となる。^{[57] [9] : 742}${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {p}{m}},}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {dV}{dq}},}$$

ラグランジアン形式と同様に、ハミルトン力学では運動量保存則はノイマンの定理を用いて導くことができ、ニュートンの第三法則は仮定ではなく演繹される考え方となる。^{[18] : 251}

標準的な入門物理学のカリキュラムを改革する提案の中には、力の概念よりも先にエネルギーの概念を教える、本質的には「入門ハミルトン力学」というものがある。^{[67] [68]}

ハミルトン・ヤコビ方程式は古典力学のさらに別の定式化を提供し、数学的には波動光学に類似しています。^{[18] : 284  [69]}この定式化もハミルトン関数を使用しますが、上記の定式化とは異なる方法で行われます。物体または物体の集合がたどる経路は、位置と時間の関数 から演繹されます。ハミルトニアンは、の微分方程式であるハミルトン・ヤコビ方程式に組み込まれています。物体は、その軌道が定数 の面に対して垂直になるように時間の経過とともに移動します。これは、光線が波面に対して垂直な方向に伝播するのと類似しています。これは、単一の質点の場合に最も簡単に表現できます。ここでは関数 であり、質点は が最も急激に変化する方向に動きます。言い換えれば、質点の運動量はの勾配です。 質点に対するハミルトン・ヤコビ方程式は ニュートンの法則との関係は、時間に依存しないポテンシャル 内を移動する質点を考えることによって見ることができます。この場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は次のようになります。 両辺の勾配を取ると、次のようになります 。 左辺の偏微分順序を入れ替え、右辺の第 1 項に べき乗則と連鎖律を適用すると、 の勾配に依存する項をまとめると、 これはニュートンの第 2 法則の別の再表現です。^{[70]括弧内の式は、前述のように}全微分または物質微分であり、^[71]最初の項は微分されている関数が固定された場所で時間の経過とともにどのように変化するかを示し、2 番目の項は移動する粒子が場所から場所へと移動するときにその関数のさまざまな値をどのように認識するかを示します。 ${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$$${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {d}{dt}}.}$$

統計物理学では、気体の運動論はニュートンの運動法則を多数の（典型的にはアボガドロ数程度の）粒子に適用する。運動論は、例えば、気体が容器に及ぼす圧力を、それぞれが微量の運動量を与える多数の原子の衝突の集合体として説明することができる。^{[65] : 62}

ランジュバン方程式はニュートンの第二法則の特殊なケースであり、確率的にさらに小さな物体に衝突される小さな物体を記述するために適応されたものである。^{[72] : 235 と}書くことができる。ここで は抗力係数、 は瞬間ごとにランダムに変化する力であり、周囲の粒子との衝突の正味の影響を表す。これはブラウン運動をモデル化するのに使用される。^[73]$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

ニュートンの 3 つの法則は、微妙な点や注意点はあるものの、 電気と磁気に関わる現象にも適用できます。

2つの静止した電荷を帯びた物体間の電気力に関するクーロンの法則は、ニュートンの万有引力の法則とほぼ同じ数学的形式を持っています。力は電荷の積に比例し、それらの間の距離の2乗に反比例し、それらの間の直線に沿って方向付けられます。電荷が電荷に及ぼすクーロン力は、電荷に及ぼす力と大きさが等しく、正反対の方向を向いています。したがって、クーロンの法則はニュートンの第3法則と一致しています。^[74]${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$

電磁気学では、力を電荷に作用する場によって生じる力として扱う。ローレンツ力の法則は、荷電物体に働く力を表す式であり、これをニュートン力学の第2法則に代入して加速度を計算することができる。^{[75] : 85}ローレンツ力の法則によれば、電場内の荷電物体は、その場の方向に、その電荷と電場の強さに比例した力を受ける。さらに、磁場内で移動する荷電物体は、磁場と物体の運動方向の両方に垂直な方向に、電荷に比例した力を受ける。ベクトル積を使用すると、${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

電場が消失すると（）、上で考察した等速円運動の場合と同様に、力は電荷の運動に対して垂直になり、電荷はサイクロトロン周波数で磁力線の周りを円を描くように（より一般的にはらせん状に）動きます。^{[72] : 222}質量分析法は、移動する電荷に電場や磁場を印加し、その結果生じる加速度を測定することで機能し、ローレンツ力の法則により質量電荷比 が得られます。^[76]${\displaystyle \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \omega =qB/m}$

荷電物体の集合はニュートンの第三法則に必ずしも従うわけではない。つまり、ある物体の運動量が変化し、別の物体の運動量が補償的に変化しないことがある。この矛盾は電磁場自体が運ぶ運動量によって説明される。電磁場の単位体積あたりの運動量はポインティングベクトルに比例する。^{[77] : 184  [78]}

電磁気学とニュートンの第一法則の間には微妙な概念的矛盾がある。マクスウェルの電磁気学理論は、電磁波が一定の一定の速度で空間を進むと予測している。したがって、一部の慣性観測者は、他の観測者、つまり光の速度を測定してそれがマクスウェル方程式によって予測される値であると発見した観測者よりも特権的な地位にあるように見える。言い換えれば、光は速度の絶対的な基準を提供するが、慣性の原理はそのような基準は存在しないとしている。この緊張は特殊相対性理論で解決され、この理論は空間と時間の概念を改訂して、すべての慣性観測者が真空中の光の速度に同意するようにする。^{[注 12]}

特殊相対論では、ウィルチェクが「ニュートンの第 0 法則」と呼んだ規則が崩れ​​る。複合物体の質量は、個々の部分の質量の合計ではない。^{[81] : 33}ニュートンの第 1 法則、慣性運動は依然として正しい。ニュートンの第 2 法則の一種である、力は運動量の変化率であるという法則も、運動量保存則と同様に成立する。しかし、運動量の定義は修正される。その結果、物体が速く動くほど加速しにくくなり、そのため、どれだけ力を加えても、物体を光速まで加速することはできない。問題によっては、特殊相対論における運動量は 3 次元ベクトル として表すことができる。ここで、は物体の静止質量、 は物体の速度に依存するローレンツ因子である。あるいは、運動量と力は4 次元ベクトルとして表すことができる。^{[82] : 107}${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

ニュートンの第 3 法則は特殊相対性理論では修正される必要がある。第 3 法則は、同じ瞬間に 2 つの物体の間に働く力に関するもので、特殊相対性理論の重要な特徴は同時性が相対的であることだ。ある観測者にとって同時に起こる出来事は、別の観測者にとっては異なる時間に起こる可能性がある。したがって、ある観測者の基準フレームでは、作用と反作用は正確に反対ではない可能性があり、相互作用する物体の全運動量は保存されない可能性がある。運動量の保存は、物体の相互作用を記述する場に蓄えられた運動量を含めることで回復される。^{[83] [84]}

ニュートン力学は、関係する速度が光速に比べて小さい場合には特殊相対性理論の良い近似となる。^{[85] : 131}

一般相対性理論は、ニュートンの重力理論を発展させたものである。一般相対性理論では、ニュートン力学の重力が時空の曲率として再考されている。ニュートン力学で重力に起因するとされる軌道のような曲がった経路は、物体を理想的な直線経路から逸らす力の結果ではなく、物体が他の質量の存在によって曲がった背景を自由に落下しようとする試みの結果である。物理学者の間でことわざとなっているジョン・アーチボルド・ホイーラーの発言は、この理論を次のように要約している。「時空は物質にどのように動くかを伝え、物質は時空にどのように曲がるかを伝える。」^{[86] [87]}ホイーラー自身は、この相互関係をニュートンの第3法則の現代的で一般化された形と考えていた。^[86]物質の分布と時空の曲率の関係は、テンソル計算によって表現されるアインシュタインの場の方程式によって与えられる。^{[81] : 43  [88]}

ニュートンの重力理論は、重力の効果が弱く、物体が光速に比べてゆっくりと動いている場合には、一般相対性理論の予測をよく近似している。^{[79] : 327  [89]}

量子力学は、もともと分子、原子、素粒子のスケールでの挙動など、微視的現象を理解するために開発された物理学の理論です。一般的に、大まかに言えば、システムが小さいほど、適切な数学モデルには量子効果を理解する必要があります。量子物理学の概念的基盤は、古典物理学のそれとは大きく異なります。位置、運動量、エネルギーなどの量を物体が持つ特性として考えるのではなく、選択したタイプの測定を実行したときにどのような結果が現れるかを考えます。量子力学により、物理学者は選択した測定が特定の結果を引き起こす確率を計算できます。 ^{[90] [91]}測定の期待値は、発生する可能性のある結果の平均であり、発生確率で重み付けされます。^[92]

エーレンフェストの定理は、量子期待値とニュートンの第二法則との関連を示しているが、量子物理学は古典物理学とは根本的に異なるため、この関連は必然的に不正確である。量子物理学では、位置と運動量はエルミート演算子と呼ばれる数学的実体によって表され、ボルンの規則は位置測定または運動量測定の期待値の計算に用いられる。これらの期待値は一般に時間とともに変化する。つまり、たとえば位置測定が実行される時間に応じて、さまざまな結果の確率が変化する。エーレンフェストの定理は、大まかに言えば、これらの期待値が時間とともにどのように変化するかを説明する方程式は、ニュートンの第二法則を彷彿とさせる形をしている、と述べている。しかし、特定の状況で量子効果が顕著であるほど、この類似性から意味のある結論を導き出すのは難しくなる。^{[注 13]}

ニュートンの運動法則で引用された概念、つまり質量、速度、運動量、力は、以前の研究に先例があり、ニュートン物理学の内容はニュートンの時代以降さらに発展しました。ニュートンは天体運動の知識と地球上の出来事の研究を組み合わせ、1つの力学理論で両方を網羅できることを示しました。^{[注 14]}

物理学の主題はしばしばアリストテレスに遡るが、関連する概念の歴史はさまざまな要因によって不明瞭になっている。アリストテレスの概念と現代の概念の正確な対応関係を確立するのは簡単ではない。アリストテレスは、いわゆる速度と力を明確に区別せず、密度と粘性に同じ用語を使用し、運動は常に空間ではなく媒体を介して行われるものと考えた。さらに、「アリストテレス的」と呼ばれる概念の中には、彼の追随者や解説者に帰属するものがある。^[97]これらの解説者は、アリストテレス物理学では投射物の動きを説明するのが困難であると考えた。^{[注 15]}アリストテレスは、運動を「自然な」運動と「激しい」運動の 2 つの種類に分類した。地球上の固体の「自然な」運動は下向きに落下することであるのに対し、「激しい」運動は物体を横向きに押す可能性がある。さらに、アリストテレス物理学では、「激しい」運動には直接の原因が必要である。物体は「激しい」運動の原因から切り離されれば、「自然な」動作に戻る。しかし、槍は投げる人の手を離れた後も動き続ける。アリストテレスは、槍の周りの空気に槍を前進させる能力が与えられているに違いないと結論付けた。

6世紀に活躍したビザンチン時代のギリシャの思想家ヨハネス・ピロポノスは、これは不合理だと考えた。空気という同じ媒体が、運動を維持するのと運動を妨げるのに何らかの形で関与しているのだ。アリストテレスの考えが正しいとすれば、軍隊はふいごで武器を吹き付けるだろうとピロポノスは言った。ピロポノスは、物体を動かすと、その物体自体に含まれる性質、つまりインペトゥスが付与されると主張した。インペトゥスが持続する限り、物体は動き続けるのだ。^{[99] : 47}その後の数世紀には、ヌールッディーン・アル・ビトルジー、イブン・スィーナー、アブー・バラカト・アル・バグダーディー、ヨハネス・ビュリダン、ザクセンのアルブレヒトなどによって、インペトゥス理論のさまざまなバージョンが提唱された。振り返ってみると、インペトゥスの考え方は、現代の運動量の概念の先駆けと見ることができる。^{[注 16]}物体は何らかの推進力によって動くという直感は、多くの入門物理学の学生に根強く残っている。^[101]

フランスの哲学者ルネ・デカルトは、1629年から1633年にかけて執筆した『世界』 ( Traité du monde et de la luminère )の中で、慣性の概念を「自然法則」として導入した。しかし、 『世界』は太陽中心の世界観を主張しており、1633年にこの見解はガリレオ・ガリレイとローマカトリックの異端審問所との間に大きな対立を引き起こした。デカルトはこの論争を知っていたが、関与することを望まなかった。『世界』は彼の死後10年経った1664年まで出版されなかった。^[102]

慣性の現代的概念はガリレオの功績である。ガリレオは実験に基づいて、動いている物体の「自然な」行動は、何か他のものがそれを妨害するまで動き続けることだと結論付けた。ガリレオは『二つの新しい科学』（1638年）で次のように書いている。^{[103] [104]}

任意の粒子が摩擦のない水平面に沿って投射されていると想像してください。前のページでより詳しく説明したように、この粒子は、平面に制限がない限り、この同じ平面に沿って均一かつ永続的な動きで動くことがわかります。

ガリレオは、投射運動において、地球の重力は垂直方向の運動には影響するが、水平方向の運動には影響しないことを認識していた。^[105]しかし、ガリレオの慣性の考え方は、ニュートンの第一法則に体系化されたものとは正確には一致していなかった。ガリレオは、慣性で長距離を移動する物体は地球の曲線に沿って移動すると考えていた。この考えは、慣性運動は直線運動であるべきだと認識したアイザック・ベックマン、デカルト、ピエール・ガッサンディによって修正された。 ^[106]デカルトは、この修正を加えた自然法則（運動の法則）を1644年に『哲学原理』で発表したが、太陽中心説の部分はトーンダウンしていた。^{[107] [102]}

自然の第一法則: それぞれの物体は、放っておくと同じ状態を継続します。したがって、動く物体は、何かがそれを止めるまで動き続けます。

第二自然法則: 動く物体は放っておくと直線上を動きます。したがって、円を描いて動く物体は常に円の中心から遠ざかろうとします。

アメリカの哲学者リチャード・J・ブラックウェルによれば、オランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスは1656年にこの法則の独自の簡潔なバージョンを考案していた。^{[108]この法則は、彼の死後8年経った1703年に}『打楽器による身体運動』の冒頭部分で初めて公表された。

仮説 I: すでに運動している物体は、妨害されない限り、同じ速度で直線的に永久に動き続ける。

ホイヘンスによれば、この法則はガリレオやデカルトらによってすでに知られていたという。^[108]

クリスティアーン・ホイヘンスは、著書『振動する時計』（1673年）の中で、「重力の作用により、その源が何であれ、物体は一方向または他方向への均一な運動と重力による下向きの運動の両方から成る運動によって動かされる」という仮説を提唱した。ニュートンの第二法則は、この仮説を重力からすべての力に一般化した。^[109]

ニュートン物理学の重要な特徴の1つは、物理的接触を必要とせずに力が遠くに作用できることです。 ^{[注 17]}たとえば、太陽と地球は数百万キロメートル離れているにもかかわらず、重力で互いに引き合っています。これは、デカルトなどが主張した、太陽の重力が透明物質であるエーテルの渦の中で惑星を旋回させることで軌道上に留めているという考えとは対照的です。^[116]ニュートンは力のエーテル的説明を検討しましたが、最終的には却下しました。^[114]ウィリアム・ギルバートらによる磁気の研究は、非物質的な力を考える先例を作りました。 ^[114]ニュートンは、エーテルモデルで重力の法則を定量的に満足のいく説明を見つけることができず、最終的に「私は仮説を立てません」と宣言しました。デカルトの渦のようなモデルがプリンキピアの運動と重力の理論の基礎となるかどうかはわかりませんが、それらを判断する最初の根拠は、それらの理論が行った予測の成功でなければなりません。^[117]実際、ニュートンの時代以来、そのようなモデルへの試みはすべて失敗しています。

ヨハネス・ケプラーは、重力は相互的であると示唆した。たとえば、月は地球を引っ張り、地球は月を引っ張るが、彼はそのような組み合わせが等しく反対であるとは主張しなかった。^{[118]デカルトは、}哲学原理（1644年）で、物体同士の衝突の間、「運動量」は変化しないという考えを導入した。デカルトはこの量を、各物体の速度と「大きさ」の積を加算することによって、いくぶん不正確に定義した。彼にとって「大きさ」には、体積と表面積の両方が含まれていた。^[119]さらに、デカルトは宇宙を充満体、つまり物質で満たされていると考えたため、すべての運動には、物体が動くときに媒体を移動させる必要があると考えた。

1650年代、ホイヘンスは剛体球の衝突を研究し、現在では運動量保存則として知られている原理を導き出した。^{[120] [121]} クリストファー・レンは後に弾性衝突についてホイヘンスと同じ規則を導き出し、ジョン・ウォリスは運動量保存則を非弾性衝突の研究に適用した。ニュートンはホイヘンス、レン、ウォリスの研究を引用して自身の第三法則の妥当性を裏付けた。^[122]

ニュートンは段階的に3つの法則にたどり着いた。1684年にホイヘンスに宛てた原稿では、慣性の原理、力による運動の変化、今日ではガリレイの不変性と呼ばれる相対運動に関する記述、物体間の相互作用によって質量の中心の運動が変化しないという規則の4つの法則を挙げている。後の原稿では、ニュートンは作用と反作用の法則を追加し、この法則と質量の中心に関する法則は互いに暗黙の関係にあると述べている。ニュートンはおそらく1685年の間に、 3つの主要な法則と他の記述を帰結にまとめた『プリンキピア』の記述に落ち着いたと思われる。^[123]

ニュートンは第二法則を、物体に働く力はその運動の変化、つまり運動量に比例すると表現した。プリンキピアを書いたころには、彼はすでに微積分学（彼はこれを「流数学」と呼んだ）を開発していたが、プリンキピアではそれを明示的には使わなかった。おそらくユークリッドの伝統に則った幾何学的議論の方が厳密であると信じていたからだろう。^{[125] : 15  [126]}その結果、プリンキピアは加速度を位置の第二導関数として表現せず、したがって第二法則を として与えない。この形の第二法則は（一定の力の特殊なケースについて）少なくとも1716年にはヤコブ・ヘルマンによって書かれており、レオンハルト・オイラーは1740年代にそれを基本的前提として採用した。^[127]オイラーは剛体の研究の先駆者であり^[128]、流体力学の基本理論を確立した。^[129]ピエール・シモン・ラプラスの5巻からなる『天体力学論』（1798-1825）は幾何学を放棄し、純粋に代数式を通じて力学を展開し、潮汐の完全な理論など『プリンキピア』が未解決のまま残した問題を解決した。^[130]${\displaystyle F=ma}$

エネルギーの概念は、ニュートン以後の時代にニュートン力学の重要な部分となった。剛体球の衝突に関するホイヘンスの解決法は、その場合、運動量だけでなく運動エネルギーも保存されることを示した (あるいは、むしろ、振り返ってみると、運動エネルギー全体の半分として特定できる量である)。非弾性衝突や摩擦による運動の減速など、他のすべてのプロセスで何が保存されるかという問題は、19 世紀まで解決されなかった。このトピックに関する議論は、ニュートンとライプニッツの形而上学的見解の間の哲学的論争と重なり、用語「力」のさまざまなバリエーションが、いわゆるエネルギーの種類を表すために使用されることもあった。たとえば、1742 年にエミリー デュ シャトレは次のように書いている。「死の力は、単に運動する傾向から成り、それはバネが緩むのと同じである。生きた力は、物体が実際に運動しているときに持つ力である」。現代の用語では、「死の力」と「生きている力」はそれぞれ位置エネルギーと運動エネルギーに対応します。^[131]エネルギー保存則は、機械的仕事のエネルギーが熱に消散できることが理解されるまで、普遍的な原理として確立されていませんでした。^{[132] [133]}エネルギーの概念に確固たる基盤が与えられると、ニュートンの法則は、上記のラグランジアンとハミルトンの定式化のように、エネルギーを第一に考える古典力学の定式化の中で導き出すことができるようになりました。

ニュートンの法則の現代的な表現にはベクトルの数学が使われているが、このテーマは19世紀後半から20世紀初頭まで発展しなかった。ジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドによって開拓されたベクトル代数は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発明された以前の四元数体系に由来し、それを大きく置き換えた。^{[134] [135]}

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• 古典力学と量子力学の教科書一覧
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• ニュートンの力学法則 - ファインマン物理学講義
• Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; Frebel, Anna ; Vuletic, Vladan (2016). 「古典力学」. MIT OpenCourseWare . 2022年1月17日閲覧。