メビウスの帯

回転する平面内で回転する線分によって描かれるメビウスの帯

線分の異なる動きによって掃引された プリュッカーの円錐面

メビウスの帯を3次元ユークリッド空間に埋め込む1つの方法は、平面内で回転する線分によってそれを掃き出し、その線分がメビウスの帯の1つの線を中心に回転することです。^{[ 23 ]}掃き出された表面が半回転後にそれ自身と交わるためには、線分はその中心を中心に平面の回転の角速度の半分で回転する必要があります。これは、その点のデカルト座標の方程式によって定義されるパラメトリック曲面として記述できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{aligned}}}$$ のために${\displaystyle 0\leq u<2\pi }$そして${\displaystyle -1\leq v\leq 1}$1 つの パラメータ${\displaystyle u}$平面の中心軸を中心とした回転角度と他のパラメータを表します${\displaystyle v}$回転する線分に沿った点の位置を表します。これにより、幅 1 のメビウスの帯が生成され、その中心円の半径は 1 で、${\displaystyle xy}$-平面であり、中心は${\displaystyle (0,0,0)}$[ ^{24 ]}同じ方法で、セグメントをその平面内でより速く回転させることで、任意の奇数回の半回転を持つメビウスの帯を生成できます。回転するセグメントは、回転する平面内で円盤を掃引し、生成されるメビウスの帯は、この円盤によって掃引されたソリッドトーラスをスライスします^。このスライスは片面であるため、スライスされたトーラスは接続されたままです。^{[ 25 ]}

異なる動きで掃引された線または線分は、原点の周りの水平面内で回転しながら上下に移動し、自己交差するメビウスの帯の形をした代数的な線織面であるプリュッカーの円錐面または円筒面を形成します。^{[ 26 ]}これは歯車の設計に応用されています。^{[ 27 ]}

紙片を折り曲げると、平面上に平らなメビウスの帯を作ることができる。$60°$中心線が正三角形に沿うように角度を調整し、両端を接合する。これが可能な最短の帯は、2つの三角形が交わる端で折り畳まれた3つの正三角形から構成される。その縦横比（帯の長さ^{[ c ]}と幅の 比）は $\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$同じ折り畳み方法は、より大きなアスペクト比にも適用できます。^{[ 28 ] [ 29 ]} 9つの正三角形の帯の場合、結果としてトリヘキサフレクサゴンが得られ、これを折り曲げることで表面の異なる部分を露出させることができます。^{[ 30 ]}この方法を直接適用するには短すぎる帯の場合は、まず帯を幅方向に偶数回折り畳んで前後に「アコーディオン折り」することができます。たとえば、2つの折り畳みで、${\displaystyle 1\times 1}$ストリップは${\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}}$断面が「N」の形をした折り畳まれた帯状物で、半回転後も「N」の形を保つ。より細いアコーディオン状に折り畳まれた帯状物は、より長い帯状物と同じように折り畳んで接合することができる。^{[ 28 ] [ 29 ]}

5つの頂点を持つ多面体と平らに折り畳まれたメビウスの帯

メビウスの帯は、空間に多面体表面として埋め込むことも、平面に平らに折り畳むこともでき、5 つの三角形の面が 5 つの頂点を共有します。この意味で、単体複体としてより抽象的に表現した場合でも、6 つの三角形と 6 つの頂点を必要とする円柱よりも単純です。^{[ 31 ] [ d ]} 5 つの三角形のメビウスの帯は、4 次元正単体の 10 個の正三角形のうち 5 つによって最も対称的に表現できます。この 4 次元多面体メビウスの帯は、完全に 4 次元であり、超平面によるすべての切断がそれを位相的に円盤または円と等価な 2 つの部分に分割する唯一のタイトメビウスの帯です。^{[ 32 ]}

メビウスの帯の他の多面体埋め込みには、4 つの凸四角形を面とするもの、3 つの非凸四角形を面とするもの、^{[ 33 ]}および正八面体の頂点と中心点を使用し、三角形の境界を持つものなどがあります。^{[ 34 ]}射影平面のすべての抽象的な三角形分割は、その面の 1 つを取り除いた後、三角形の境界を持つ多面体メビウスの帯として 3D に埋め込むことができます。^{[ 35 ]}例としては、5 つの頂点を持つメビウスの帯に 1 つの頂点を追加し、その境界の各辺に三角形で接続することで得られる 6 つの頂点を持つ射影平面があります。^{[ 31 ]}ただし、メビウスの帯のすべての抽象的な三角形分割が、多面体表面として幾何学的に表現できるわけではありません。^{[ 36 ]}実現可能であるためには、三角形分割に 2 つの分離した非縮約 3 サイクルが存在しないことが必要かつ十分です。^{[ 37 ]}

長方形の紙の両端をつなぎ合わせて作られた長方形のメビウスの帯は、そのアスペクト比が一定値より大きい場合、3次元空間に滑らかに埋め込むことができる。$\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$、これはメビウスの帯の平らに折り畳まれた正三角形バージョンと同じ比率です。^{[ 38 ]}この平らな三角形の埋め込みは、3次元の滑らかな^{[ e ]}埋め込みに持ち上げることができ、そこでは帯は3つの平行な平面上に平らに置かれ、3つの円筒形ローラーはそれぞれ2つの平面に接しています。^{[ 38 ]}数学的には、滑らかに埋め込まれた紙のシートは、曲げることはできるが伸ばすことはできない展開可能な曲面としてモデル化できます。^{[ 39 ] [ 40 ]}そのアスペクト比が減少するにつれて$\displaystyle {\sqrt {3}}}$滑らかな埋め込みはすべて同じ三角形の形に近づくようです。^{[ 41 ]}

アコーディオン状に折り畳まれた平らなメビウスの帯の縦方向の折り目は、層が互いに分離され、折り目からしわになったり伸びたりすることなく滑らかに曲がるような三次元埋め込みを形成することを妨げる。^{[ 29 ]}その代わりに、平らに折り畳まれた場合とは異なり、滑らかな長方​​形のメビウスの帯の縦横比には下限がある。その縦横比は、以下より小さくすることはできない。${\displaystyle \pi /2\approx 1.57}$自己交差が許容される場合でも、自己交差する滑らかなメビウスの帯は、この境界を超える任意のアスペクト比に対して存在します。^{[ 29 ] [ 42 ]}自己交差がない場合、アスペクト比は少なくとも[43]でなければなり^ません。$$\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}$$

数学における未解決問題

できますか${\displaystyle 12\times 7}$紙の長方形を端と端を接着して、空間に埋め込まれた滑らかなメビウスの帯を形成できるか？^{[ f ]}

数学における未解決問題

この境界と$\displaystyle {\sqrt {3}}}$滑らかな埋め込みで自己交差のないものが存在するかどうかは未解決の問題であった。[ ^{29 ] [ 42 ] [ 43 ] 2023}年にリチャード・シュワルツはそれらが存在しないことの証明を発表したが、この結果はまだ査読と出版を待っている。^{[ 44 ] [ 45 ]}滑らかさの要件を緩和して連続的に微分可能な曲面を許容すると、ナッシュ・カイパーの定理は、アスペクト比がどれほど小さくなっても、任意の長方形の任意の2つの対向する辺を接着して埋め込みメビウスの帯を形成できることを意味する。^{[ g ]}極限の場合、互いに反対の向きで接着された2本の平行線の間の平面の無限帯から得られる曲面は、無限メビウスの帯または実トートロジー線束と呼ばれる。^{[ 46 ]} 3次元空間への滑らかな閉じた埋め込みはないが、4次元ユークリッド空間の閉じた部分集合として滑らかに埋め込むことができる。^{[ 47 ]}

長方形から貼り合わせた滑らかなメビウスの帯の最小エネルギー形状は、既知の解析的記述はありませんが、数値的に計算することができ、 1930 年にマイケル・サドウスキーが最初にこの主題について研究して以来、板理論において多くの研究の対象となってきました。^{[ 39 ] [ 40 ]}また、長方形の展開可能なメビウスの帯を含む代数曲面を見つけることも可能です。^{[ 48 ] [ 49 ]}

2枚のメビウスの帯を接着してクラインの壺を作る

スーダンのメビウスの帯の投影図

メビウスの帯の端、または境界は、位相的に円と等価です。一般的なメビウスの帯では、円とは異なる形状をしていますが、結び目がないため、帯全体を交差することなく伸ばして、端を完全に円形にすることができます。^{[ 50 ]}そのような例の1つは、クラインの壺の位相に基づいています。クラインの壺は、境界のない片面表面で、3次元空間に埋め込むことはできませんが、浸漬することはできます（特定の制限された方法で表面が交差することを許容します）。クラインの壺は、2つのメビウスの帯を端と端で接着したときに得られる表面であり、そのプロセスを逆にして、クラインの壺を慎重に選択された切断線に沿ってスライスして、2つのメビウスの帯を生成することができます。^{[ 51 ]}ローソンのクラインの壺として知られるクラインの壺の形式では、スライスする曲線を円形にすることができ、円形の縁を持つメビウスの帯が得られます。^{[ 52 ]}  

ローソンのクラインの壺は、 4次元空間の単位超球面における自己交差する極小曲面であり、次の形式の点の集合である。$${\displaystyle (\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )}$$のために${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi }$[ ^{53 ]このクラインの}壺の半分、部分集合は${\displaystyle 0\leq \phi <\pi }$、超球に埋め込まれたメビウスの帯は、境界が大円である極小曲面として与えられます。^{[ 54 ]}この埋め込みは、1970年代にこれを発見したトポロジー学者のスー・グッドマンとダニエル・アシモフにちなんで「スーダンのメビウスの帯」と呼ばれることもあります。^{[ 55 ]}幾何学的には、ローソンのクラインの壺は、 3次元球面内で大円運動を通して大円を掃引することによって構築でき、スーダンのメビウスの帯は、円の代わりに半円を掃引することによって、または同等に、掃引されたすべての円に垂直な円に沿ってクラインの壺をスライスすることによって得られます。^{[ 52 ] [ 56 ]}立体投影は、この形状を3次元球面空間から3次元ユークリッド空間に変換し、境界の円形性を保持します。^{[ 52 ]}最も対称的な投影は、各半円の中点を通る大円上にある投影点を用いることで得られるが、投影点が中心線から外れると、無限埋め込みが生じる。^{[ 54 ]}その代わりに、スーダンのメビウスの帯を3次元球面上に投影せずに残しておくと、直交群と同型の無限対称群を持つことになる。${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$^円の対称群。[ ^{53 ]}

スーダンのメビウスの帯は、その境界円のあらゆる面に伸びており、表面が交差しないようにするためには必然的にそうなります。クロスキャップまたはクロスキャップと呼ばれる別の形のメビウスの帯も円形の境界を持ちますが、それ以外はこの円の平面の片側にとどまるため、^{[ 57 ]}他の表面の円形の穴に取り付けるのに便利です。そのためには、クロスキャップは交差します。これは、半球の上部から四角形を取り除き、四角形の辺を交互に異なる方向に向け、この向きに一貫してこれらの辺の反対側のペアを接着することによって形成できます。^{[ 58 ]}接着された2組の辺によって形成される表面の2つの部分は、交差するセグメントの両端にホイットニー傘のようなピンチポイントで互いに交差します。^{[ 59 ]}これは、プリュッカーの円錐体に見られるのと同じ位相構造です。^{[ 26 ]}

開いたメビウスの帯は、標準的なメビウスの帯の境界上の点を省略して作られた、その相対的な内部です。これは、一定の正、負、またはゼロのガウス曲率を持つリーマン幾何学で表すことができます。負の曲率とゼロの曲率の場合、測地線的に完全な曲面が形成されます。これは、すべての測地線（曲面上の「直線」）がどちらの方向にも無限に延長できることを意味します。

曲率ゼロ

曲率がゼロの開いた帯は、2本の平行線の間の平面帯の反対側を接着することによって構築でき、これは上記のトートロジー線束として説明されています。^{[ 46 ]}結果として得られる計量は、開いたメビウスの帯を（測地学的に）完全な平面（つまり、あらゆる場所でガウス曲率がゼロ）にします。これは、均一スケーリングを除いて、メビウスの帯上の唯一の計量であり、平坦かつ完全です。これは、平面をすべり反射で割った商空間であり、（平面、円柱、トーラス、クラインの壺とともに）5つの完全な2次元平坦多様体の1つです。^{[ 60 ]}

負の曲率

開いたメビウスの帯は、一定の負の曲率を持つ完全な計量も許容する。これを理解する一つの方法は、双曲平面の上半平面（ポアンカレ）モデルから始めることである。これは一定の曲率を持つ幾何学であり、その線はモデル内で半円で表され、${\displaystyle x}$軸と直角をなす。入れ子になった 2 つの半円の間の上半平面の部分集合を取り、外側の半円を内側の半円の左右反転と同一視する。結果として得られるのは、位相的に完全かつ非コンパクトな、一定の負の曲率を持つメビウスの帯である。これは、完全な双曲半平面(実際にはすべり反射軸の反対側に 2 つ) を含むという意味で「非標準」の完全な双曲面であり、わずか 13 個の非標準曲面の 1 つである。^{[ 61 ]}これは、双曲平面をすべり反射で割った商として理解できる。^{[ 62 ]}

正の曲率

一定の正の曲率を持つメビウスの帯は完全ではない。なぜなら、一定の正の曲率を持つ完全な曲面は球面と射影平面のみであることが知られているからである。^{[ 60 ]}しかし、ある意味では、開いたメビウスの帯は、射影平面から任意の1点を取り除いて得られる曲面である、1点だけ穴を開けた射影平面と同相であるため、完全な曲面からわずか1点しか離れていない。^{[ 63 ]}

極小曲面は、一定のガウス曲率ではなく、一定のゼロ平均曲率を持つものとして記述されます。スーダンのメビウスの帯は、3次元球面内の大円で囲まれた極小曲面として構築されましたが、開いたメビウスの帯のトポロジーを持つ、ユークリッド空間に埋め込まれた唯一の完全な（境界のない）極小曲面も存在します。これは、 1982年にウィリアム・ハミルトン・ミークス3世によって記述されたことから、ミークスのメビウスの帯と呼ばれています。^{[ 64 ] [ 65 ]}極小曲面としては全体的に不安定ですが、曲面内の非縮約曲線で囲まれた小さなパッチは、極小曲面として安定した埋め込みメビウスの帯を形成することができます。^{[ 66 ]}ミークスのメビウスの帯と、メビウスの帯のトポロジーを持つすべての高次元極小曲面は、境界曲線とこの曲線に沿った接平面から極小曲面を一意に定義するビョルリング問題の解を使用して構築できます。^{[ 67 ]}

平面上の直線の族は、各直線がこの空間内の点として表される滑らかな空間の構造を与えることができる。結果として得られる直線の空間は、位相的に開いたメビウスの帯と等価である。^{[ 68 ]}これを理解する一つの方法は、無限遠の直線をもう1本追加して、ユークリッド平面を実射影平面に拡張することである。射影双対性により、射影平面内の直線の空間は、その点の空間、つまり射影平面自体と等価である。無限遠の直線を取り除いてユークリッド直線の空間を生成すると、この射影直線の空間に穴が開く。^{[ 69 ]}したがって、ユークリッド直線の空間は穴の開いた射影平面であり、これは開いたメビウスの帯の形式の1つである。^{[ 63 ]}双曲平面内の直線の空間は、円上の異なる点の順序付けされていないペア、つまり各直線の無限遠の点のペアによってパラメータ化することができる。この空間もまた、開いたメビウスの帯のトポロジーを持っている。^{[ 70 ]}

これらの直線の空間は高い対称性を持つ。ユークリッド直線の対称性にはアフィン変換が含まれ、双曲直線の対称性にはメビウス変換が含まれる。^{[ 71 ]}アフィン変換とメビウス変換はどちらも6次元リー群を形成し、対称性の構成を記述する互換性のある代数構造を持つ位相空間となる。^{[ 72 ] [ 73 ]}平面上のすべての直線は他のすべての直線と対称であるため、開いたメビウスの帯は均質空間、つまりすべての点を他のすべての点に写像する対称性を持つ空間である。リー群の均質空間は可解多様体と呼ばれ、メビウスの帯は反例として使用でき、すべての可解多様体がニル多様体ではないこと、またすべての可解多様体がコンパクト可解多様体と直積に因数分解できるわけではないことを示すことができる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これらの対称性は、これらのリー群の群モデルとして、メビウスの帯自体を構築する別の方法も提供します。群モデルは、リー群とその作用の安定化部分群から構成されます。部分群の剰余類を点に縮約すると、基礎となる同質空間と同じ位相を持つ空間が生成されます。ユークリッド直線の対称性の場合、${\displaystyle x}$-軸は、軸を自身に写すすべての対称性から構成されます。各線${\displaystyle \ell }$は、写像する対称性の集合である剰余類に対応します。${\displaystyle \ell }$へ${\displaystyle x}$-軸。したがって、各剰余類につき1点を持ち、対称性の空間から位相を受け継ぐ商空間は、直線の空間と同じであり、再び開いたメビウスの帯となる。^{[ 74 ]}