相対的な内部

数学において、集合の相対内部は内部の概念を改良したもので、高次元空間に配置された低次元集合を扱うときにより有用であることが多い。

正式には、集合（ と表記）の相対内部は、 のアフィン包内の内部として定義されます^[1]言い換えると、 はのアフィン包であり、 はを中心とする半径 の球体です。球体の構築には任意の測定基準を使用できます。すべての測定基準は、相対内部として同じ集合を定義します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$${\displaystyle S.}$$${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ }}\epsilon >0{\text{ が存在し、}}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$$${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$

集合が相対的に開いているとは、それがその相対的な内部に等しい場合のみです。 が完全なベクトル空間の閉じた部分空間である場合(完全なベクトル空間が有限次元である場合は常にそうなります)、相対的に閉じていることは閉じていることと同等であることに注意してください。 ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$

任意の凸集合 に対して、相対内部は^{[2] [3]}と同値に定義される。 ここで、 はとなるものが存在することを意味する。 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ すべての }}y\in C に対して、{\text{ ある }}\lambda >1{\text{ が存在し、 }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ すべての }}y\neq x\in C に対して、{\text{ ある }}z\in C{\text{ が存在し、 }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle x\in (y,z)}$${\displaystyle 0<\lambda <1}$${\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}$

• 少なくとも 1 次元の周囲空間内の点の内部は空ですが、その相対的な内部は点そのものです。

• 少なくとも 2 次元の周囲空間内の線分内部は空ですが、その相対的な内部は端点のない線分です。

• 少なくとも 3 次元の周囲空間にある円盤の内部は空ですが、その相対的な内部は円形の縁のない同じ円盤です。

• 内部（位相）  – 与えられた集合の最大の開集合
• 代数的内部 – 位相的内部の一般化
• 準相対内部 – 代数内部の一般化

• Zălinescu, Constantin (2002 年 7 月 30 日)。一般ベクトル空間における凸解析。リバーエッジ、ニュージャージー、ロンドン: World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。

• ボイド、スティーブン、リーヴェン・ヴァンデンベルゲ（2004）。凸最適化。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。p.23。ISBN 0-521-83378-7。