パラメータで指定されたサーフェス
パラメトリック 曲面は 、 2 つのパラメータを持つ パラメトリック方程式 によって定義される ユークリッド空間 内の 曲面 です 。パラメトリック表現は、 暗黙的表現 と同様に、曲面を指定するための非常に一般的な方法です。 ベクトル解析 の 2 つの主要定理 、 ストークスの定理 と 発散定理 に現れる曲面は、パラメトリック形式で与えられることがよくあります。 曲面上の 曲線 の曲 率と弧長、 表面積、 第 1 および 第 2 基本形式、 ガウス 、 平均 、 主 曲率などの微分幾何学的不変量は すべて、指定されたパラメータ化から計算できます。
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
r
:
R
2
→
R
3
{\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}
例 トーラスは 方程式で作成されます:
x
= r 罪 ヴ
ええ
= （ R + r コス ヴ ） 罪 あなた
ず
= （ R + r コス ヴ ） コス あなた
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin v\\y&=(R+r\cos v)\sin u\\z&=(R+r\cos v)\cos u\end{aligned}}}
三葉結び目 を形成するパラメトリック サーフェス 。方程式の詳細は添付のソース コードに記載されています。 最も単純なタイプのパラメトリック サーフェスは、2 つの変数の関数のグラフによって表されます。
ず = ふ （ x 、 ええ ） 、
r
（ x 、 ええ ） = （ x 、 ええ 、 ふ （ x 、 ええ ） ） 。
{\displaystyle z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).}
有理曲面は 、 有理関数 によるパラメータ化が可能な曲面です。有理曲面は 代数曲面 です 。代数曲面が与えられた場合、有理パラメータ化が存在するかどうかを計算するよりも、それが有理曲面であるかどうかを判断する方が一般的に簡単です。 回転面は、 簡単にパラメータ化できる別の重要な表面クラスを提供します。グラフ z = f ( x ) 、 a ≤ x ≤ b を z 軸を中心に回転させると 、結果として得られる表面はパラメータ化されます。また 、関数 f が有理数である場合、表面が有理数であることを示すようにパラメータ化することもできます 。
r
（ あなた 、 ϕ ） = （ あなた コス ϕ 、 あなた 罪 ϕ 、 ふ （ あなた ） ） 、 1つの ≤ あなた ≤ b 、 0 ≤ ϕ < 2 π 。
{\displaystyle \mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi < 2\pi .}
r
（ あなた 、 ヴ ） =
（
あなた
1 −
ヴ
2
1 +
ヴ
2
、 あなた
2 ヴ
1 +
ヴ
2
、 ふ （ あなた ）
）
、 1つの ≤ あなた ≤ b 、
{\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,}
x 軸を中心とした半径 R の 直円柱 は、 次のパラメトリック表現を持ちます。
r
（ x 、 ϕ ） = （ x 、 R コス ϕ 、 R 罪 ϕ ） 。
{\displaystyle \mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).}
球面座標 を使用すると 、単位 球面は 次のようにパラメータ化できます。このパラメータ化は、方位角 θ が一意に決定されない北極と南極では機能しません 。球面は有理面です。
r
（ θ 、 ϕ ） = （ コス θ 罪 ϕ 、 罪 θ 罪 ϕ 、 コス ϕ ） 、 0 ≤ θ < 2 π 、 0 ≤ ϕ ≤ π 。
{\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2 \pi ,0\leq \phi \leq \pi .}
同じ表面でも、さまざまなパラメータ化が可能です。たとえば、座標 z 平面は
、任意の定数 a 、 b 、 c 、 dに対して、 ad − bc ≠ 0 となるよう にパラメータ化できます
。
つまり、行列は 逆行列に なります。
r
（ あなた 、 ヴ ） = （ 1つの あなた + b ヴ 、 ｃ あなた + d ヴ 、 0 ）
{\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)}
[
1つの
b
ｃ
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
局所微分幾何学 パラメトリック サーフェスの局所的な形状は、それをパラメトリック化する関数のテイラー展開 を考慮することで分析できます 。サーフェス上の曲線の弧の長さと表面積は、 積分を 使用して求めることができます。
表記 パラメトリック面は、次の式で表されます。
ここで、は パラメータ（ u 、 v ）の ベクトル値関数 であり、パラメータは パラメトリック uv 平面内の特定の領域 D 内で変化します。パラメータに関する最初の偏微分は通常、およびで表され 、 高次の微分についても同様に表されます。
r
=
r
（ あなた 、 ヴ ） 、
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
あなた
:=
∂
r
∂ あなた
{\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}
r
ヴ
、
{\displaystyle \mathbf {r} _{v},}
r
あなた あなた
、
r
あなた ヴ
、
r
ヴ ヴ
。
{\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.}
ベクトル解析 では 、パラメータは( s , t )と表記されることが多く、偏微分は ∂ 表記法で表されます 。
∂
r
∂ s
、
∂
r
∂ t
、
∂
2
r
∂
s
2
、
∂
2
r
∂ s ∂ t
、
∂
2
r
∂
t
2
。
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}
接線平面と法線ベクトル
ベクトルが線形独立であれば、 パラメータ化は パラメータの与えられた値に対して
正規 です。正規の点における 接平面は 、これらのベクトルが張るR 3 のアフィン平面であり、パラメータによって決定される表面上の 点 r ( u , v ) を通過します。任意の接ベクトルは、との 線形結合 に一意に分解できます。これらのベクトルの外積は 、 接平面の 法線 ベクトル です。このベクトルをその長さで割ると、正規の点 における パラメータ化された表面の
単位 法線ベクトルが得られます。
r
あなた
、
r
ヴ
{\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}
r
あなた
{\displaystyle \mathbf {r} _{u}}
r
ヴ
。
{\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}
ん
^
=
r
あなた
×
r
ヴ
|
r
あなた
×
r
ヴ
|
。
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\left|\mathbf {r} _ {u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}
一般に、特定の点における表面の単位 法線ベクトル には 2 つの選択肢がありますが、正規のパラメータ化された表面の場合、前述の式は一貫してそのうちの 1 つ を選択し、表面の 方向を決定します。R 3 の表面の微分幾何学的不変量の一部は 表面自体によって定義され、方向とは無関係ですが、方向が反転すると符号が変わるものもあります。
表面積 表面積 は、 パラメトリック UV平面の適切な領域 D にわたって表面の 法線ベクトルの長さを積分することによって計算できます 。
r
あなた
×
r
ヴ
{\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}
あ （ だ ） =
∬
だ
|
r
あなた
×
r
ヴ
|
d あなた d ヴ 。
{\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}
この式は表面積の閉じた表現を提供しますが、非常に特殊な表面を除いて、複雑な 二重積分 になります。これは通常、 コンピュータ代数システムを使用して評価するか、数値的に近似します。幸いなことに、多くの一般的な表面は例外であり、それらの面積は明示的にわかっています。これは、 円筒 、 球 、 円錐 、 トーラス 、およびその他のいくつか の回転面 にも当てはまります 。
これはスカラー場1上の
面積分 としても表すことができます。
∫
S
1 d S 。
{\displaystyle \int _{S}1\,dS.}
最初 の基本形式は、 距離と角度を計算するために使用される、表面の 接平面
上の 二次形式 です。パラメーター化された表面の場合 、その係数は次のように計算できます。
私
= え d
あなた
2
+ 2 ふ d あなた d ヴ + グ d
ヴ
2
{\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}
r
=
r
（ あなた 、 ヴ ） 、
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}
え =
r
あなた
⋅
r
あなた
、 ふ =
r
あなた
⋅
r
ヴ
、 グ =
r
ヴ
⋅
r
ヴ
。
{\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{v} ,\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}
表面 S上のパラメータ化された曲線の 弧の長さ、 S 上の曲線間の角度 、および表面積はすべて、第 1 基本形式で表すことができます。
( u ( t ), v ( t )) 、 a ≤ t ≤ b が この表面上のパラメーター化された曲線を表す場合 、その弧の長さは積分として計算できます。
∫
1つの
b
え
あなた ′
（ t
）
2
+ 2 ふ
あなた ′
（ t ）
ヴ ′
（ t ） + グ
ヴ ′
（ t
）
2
d t 。
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}
最初の基本形式は、 面の各点における接平面上の、点に滑らかに依存する 正定値対称 双線形形式の族として見ることができます。この観点は、与えられた点で交差する S 上の 2 つの曲線間の角度を計算するのに役立ちます。この角度は、曲線の接ベクトル間の角度に等しくなります。この 2 つのベクトルに対して評価される最初の基本形式はそれらの ドット積 であり、角度は
ドット積を介して角度の
コサイン
を表す標準式から求めることができます。
cos
θ
=
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}
表面積は、次のように最初の基本形式で表すことができます。
A
(
D
)
=
∬
D
E
G
−
F
2
d
u
d
v
.
{\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}
ラグランジュの恒等式 により 、平方根の下の式は正確に となり 、したがって正規の点では厳密に正になります。
|
r
u
×
r
v
|
2
{\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}
2 番目の基本形式は
、表面の接平面上の 2 次形式であり、最初の基本形式とともに、表面上の曲線の曲率を決定します。 ( u 、 v ) = ( x 、 y ) であり、指定された点における表面の接平面が水平である特殊なケースでは、2 番目の基本形式は基本的に、 x と y の関数としての z の テイラー展開 の 2 次部分です。
I
I
=
L
d
u
2
+
2
M
d
u
d
v
+
N
d
v
2
{\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}
一般的なパラメトリック サーフェスの場合、定義はより複雑になりますが、2 番目の基本形式は1 次と 2 次の 偏微分 にのみ依存します。その係数は、パラメトリック化によって定義される
単位法線ベクトルへ の 2 番目の偏微分を投影したものとして定義されます。
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
L
=
r
u
u
⋅
n
^
,
M
=
r
u
v
⋅
n
^
,
N
=
r
v
v
⋅
n
^
.
{\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}
最初の基本形式と同様に、2 番目の基本形式は、点に滑らかに依存する表面の各点における接平面上の対称双線形形式の族として見ることができます。
曲率 曲面の第一および第二の基本形式は、その重要な微分幾何学的 不変量 、すなわち ガウス曲率 、 平均曲率 、および 主曲率 を決定します。
主曲率は、第2基本形式と第1基本形式からなるペアの不変量である。これらは、 2次方程式の
根 κ 1 、 κ 2である。
det
(
I
I
−
κ
I
)
=
0
,
det
[
L
−
κ
E
M
−
κ
F
M
−
κ
F
N
−
κ
G
]
=
0.
{\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}
ガウス 曲率 K = κ 1 κ 2 と 平均曲率 H = ( κ 1 + κ 2 )/2 は 次のように計算できます。
K
=
L
N
−
M
2
E
G
−
F
2
,
H
=
E
N
−
2
F
M
+
G
L
2
(
E
G
−
F
2
)
.
{\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}
これらの量は、符号を除けば、使用されるパラメータ化とは無関係であり、したがって表面の形状を分析するための重要なツールとなります。より正確には、主曲率と平均曲率は、表面の向きが反転すると符号が変わりますが、ガウス曲率はパラメータ化とはまったく無関係です。
ある点におけるガウス曲率の符号は、その点の 近くの曲面の形状を決定します。K > 0 の場合、曲面は局所的に 凸型に なり、点は 楕円型 と呼ばれます。一方、 K < 0 の場合、曲面は鞍型になり、点は双 曲 型と呼ばれます。ガウス曲率がゼロの点は 放物型と呼ばれます。一般に、放物型の点は、曲面上で 放物線 と呼ばれる曲線を形成します 。最初の基本形式は 正定値 であるため、その行列式 EG − F 2 は どこでも正です。したがって、 K の符号は、2 番目の基本形式の行列式 LN − M 2 の符号と一致します 。
上で示した最初の基本形式の係数は、対称行列で整理できます。
また、上で示した 2 番目の基本形式の係数についても同様です。
F
1
=
[
E
F
F
G
]
.
{\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}
F
2
=
[
L
M
M
N
]
.
{\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}
ここで行列を定義すると 、主曲率 κ1 と κ2 は A の 固有値 となる 。 [ 1]
A
=
F
1
−
1
F
2
{\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}
ここで、 v 1 = ( v 11 , v 12 ) が主曲率 κ 1に対応する A の 固有ベクトル である場合 、 の方向の単位ベクトルは 主曲率 κ 1 に対応する主ベクトルと呼ばれます。
t
1
=
v
11
r
u
+
v
12
r
v
{\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}
したがって、 v 2 = ( v 21 , v 22 ) が主曲率 κ 2に対応する A の 固有ベクトル である場合 、 の方向の単位ベクトルは 主曲率 κ 2 に対応する主ベクトルと呼ばれます。
t
2
=
v
21
r
u
+
v
22
r
v
{\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}
参照
参考文献
外部リンク Javaアプレットはらせん面のパラメータ化を実演する m-ART(3d) - パラメトリック サーフェスを生成および視覚化する iPad/iPhone アプリケーション。 
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