ソリッドトーラス

数学において、立体トーラスは円の周囲を円板で囲むことで形成される位相空間である。^[1]立体トーラスは円板と円の直積に同相であり、 ^[2]積位相を備えている。 ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$

立体トーラスを視覚化する標準的な方法は、 3 次元空間に埋め込まれたトーロイドとして視覚化することです。ただし、視覚的に同じ外観を持つトーラスとは区別する必要があります。トーラスはトーロイドの境界上の 2 次元空間ですが、立体トーラスにはトーラスに囲まれたコンパクトな内部空間も含まれます。

ソリッド トーラスは、トーラスとトーラス内部の体積を組み合わせたものです。ソリッド トーラスに近い現実世界の物体には、O リング、非膨張式救命浮輪、リングドーナツ、ベーグルなどがあります。

立体トーラスは、境界を持つ連結されたコンパクトな向き付け可能な3 次元多様体です。境界は、通常のトーラスに同相です。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

円板は収縮可能であるため、立体トーラスは円のホモトピー型を持ちます。^[3]したがって、基本群とホモロジー群は円のものと 同型です。${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong \pi _{1}\left(S^{1}\right)\cong \mathbb {Z} 、\\H_{k}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong H_{k}\left(S^{1}\right)\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

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