ニルマニフォールド

数学において、ニル多様体とは、その上に作用する微分同相写像の推移的冪零群を持つ微分可能多様体である。したがって、ニル多様体は同次空間の例であり、閉部分群Hを法とする冪零リー群Nの商空間に微分同相である。この概念は1949 年にアナトリー・マルチェフによって導入された。^[1] ${\displaystyle N/H}$

リーマン圏には、ニル多様体という優れた概念もあります。リーマン多様体は、それに対して推移的に作用する等長写像の冪零群が存在する場合、同次ニル多様体と呼ばれます。推移的冪零群が等長写像によって作用するという要件は、次のような厳密な特徴付けにつながります。すべての同次ニル多様体は、左不変計量を持つ冪零リー群に等長です (Wilson ^{[2] を}参照)。

ニル多様体は重要な幾何学的対象であり、興味深い性質を持つ具体的な例としてしばしば登場する。リーマン幾何学ではこれらの空間は常に混合曲率を持ち、^[3] ほぼ平坦な空間はニル多様体の商として出現し、^{[4]コンパクトなニル多様体は}リッチフローの下でのリーマン計量の崩壊の基本的な例を構築するために使用されてきた。^[5]

幾何学における役割に加えて、ニル多様体は算術的組合せ論（グリーン・タオ^[6]を参照）やエルゴード理論（例えば、ホスト・クラ^[7]を参照）においても役割を果たすことがますます認識されるようになってきている。

コンパクト・ニル多様体とは、コンパクトなニル多様体である。そのような空間を構築する一つの方法は、単連結な冪零リー群Nと離散部分群 から始めることである。部分群がNに対して（右乗法によって）ココンパクトに作用する場合、商多様体はコンパクト・ニル多様体となる。Mal'cev が示したように、あらゆるコンパクト・ニル多様体はこのようにして得られる。^[1]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle N/\Gamma }$

このような部分群はNの格子と呼ばれる。よく知られているように、冪零リー群が格子を許容するのは、そのリー代数が有理構造定数を持つ基底を許容する場合のみである。これはマルセフの条件である。すべての冪零リー群が格子を許容するわけではない。詳細についてはMS Raghunathanも参照のこと。^[8]${\displaystyle \ガンマ}$

コンパクト リーマン ニル多様体は、左不変計量を持つ冪零リー群に局所的に等長なコンパクト リーマン多様体です。これらの空間は次のように構築されます。 を上記のように単連結冪零リー群N内の格子とします。 N に左不変 (リーマン) 計量を付与します。次に、部分群は左乗法を介してNに等長変換を作用させます。したがって、商はNに局所的に等長なコンパクト空間です。注: この空間は自然に に微分同相です。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma \backslash N}$${\displaystyle N/\Gamma }$

コンパクト・ニル多様体は主バンドルとしても生じる。例えば、格子を許容する2 ステップ冪零リー群 Nを考える (上記参照)。 をNの交換子部分群とする。 p でZの次元、 q でZの余次元を表す。すなわち、 Nの次元はp+q である。 がZ内の格子であることは知られている (Raghunathan を参照) 。したがって、はp次元コンパクト・トーラスである。 ZはNの中心なので、群 G は商空間 を持つコンパクト・ニル多様体に作用する。この基本多様体Mはq次元コンパクト・トーラスである。トーラス上のすべての主トーラスバンドルはこの形式であることが示されており、 を参照。^[9] より一般的には、コンパクト・ニル多様体は、トーラスバンドル上のトーラスバンドル、トーラス上の... である。 ${\displaystyle Z=[N,N]}$${\displaystyle Z\cap \Gamma }$${\displaystyle G=Z/(Z\cap \Gamma )}$${\displaystyle P=N/\Gamma }$${\displaystyle M=P/G}$

上で述べたように、ほぼ平坦な多様体は、密接にコンパクトなニル多様体です。詳細については、その記事を参照してください。

歴史的には、複素ニル多様体とは、ココンパクト格子上の複素冪零リー群の商を意味していました。そのようなニル多様体の例としては、岩沢多様体があります。1980 年代から、複素ニル多様体の別の (より一般的な) 概念が徐々にこれに取って代わりました。

実リー代数g上のほぼ複素構造は、−Id _gに二乗する自己準同型である。この演算子は、その固有値 に対応する固有空間が の 部分代数である場合に複素構造と呼ばれる。この場合、I は対応するリー群上の左不変複素構造を定義する。このような多様体 ( G , I ) は複素群多様体と呼ばれる。実リー群による自由で推移的な正則作用を備えた連結された複素同次多様体はすべて、この方法で得られること は容易に分かる。${\displaystyle I:\;g\rightarrow g}$${\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle g\otimes {\mathbb {C} }}$

G を実冪零リー群とする。複素冪零多様体は、左不変複素構造を備えた複素群多様体 ( G、I ) を、右から作用する離散ココンパクト格子で割ったものである。

複素ニル多様体は、複素多様体のように通常は同次ではありません。

複素2次元では、複素ニル多様体は複素トーラスと小平面のみである。^[10]

コンパクト・ニル多様体（トーラスを除く）は決してホモトピー形式ではない。^[11]これは、コンパクト・ニル多様体（トーラスを除く）はケーラー構造を許容できないことを直ちに意味する（^[12]も参照）。

位相的に、すべてのニル多様体はトーラス上の反復トーラスバンドルとして得られる。これは上昇中心級数によるフィルタリングから簡単にわかる。^[13]

上記の同次零多様体の定義から、左不変計量を持つ任意の零冪リー群は、同次零多様体であることは明らかです。最もよく知られている零冪リー群は、対角要素が 1 で、下対角要素がすべて 0 である行列群です。

例えば、ハイゼンベルク群は2 ステップのべき零リー群である。このべき零リー群は、コンパクトな商を許容するという点でも特殊である。この群は、整数係数を持つ上三角行列となる。結果として得られるべき零多様体は 3 次元である。1 つの基本領域は、面が適切な方法で識別される[0,1] ³ (と同型) である。これは、べき零多様体の要素が基本領域の要素で表すことができるからである。ここで、はxの床関数、小数部はを表す。ここでの床関数の出現は、べき零多様体と加法組合せ論との関連性の手がかりである。いわゆるブラケット多項式、または一般化多項式は、高次フーリエ解析の発展において重要であると思われる。^[6]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \{x\}}$

もっと簡単な例としては、任意のアーベル リー群が挙げられます。これは、そのような群はいずれも冪零リー群であるためです。たとえば、加法のもとでの実数の群と、整数からなる離散的かつコンパクトな部分群を取ることができます。結果として得られる 1 ステップの冪多様体は、おなじみの円です。もう 1 つのおなじみの例としては、加法のもとでのコンパクトな 2 次元トーラスまたはユークリッド空間が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

解けるリー群に基づく並列構成により、解多様体と呼ばれる空間のクラスが生成されます。 解多様体の重要な例として、複素幾何学で知られる井上面が挙げられます。