配置空間（数学）

数学において、配置空間は物理学における状態空間または位相空間と密接に関連する構造です。物理学では、これらは高次元空間内の単一の点としてシステム全体の状態を記述するために使用されます。数学では、これらは位相空間内の位置への点の集合の割り当てを記述するために使用されます。より具体的には、数学における配置空間は、複数の衝突しない粒子の特定のケースにおける 物理学における配置空間の特定の例です。

位相空間と正の整数について、のコピーの直積を、積位相を備えたものとしましょう。のn^番目（順序付き）配置空間は、内の 2 つの異なる点のn 組の集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{あるi\neq j\}に対して}.}$^[1]

この空間は一般にを に包含することによって部分空間位相を付与される。 、、 と表記されることもある。^[2]${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle F(X,n)}$${\displaystyle F^{n}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}$

対称群の点に対する自然な作用は次のよう に与えられる。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}$

この作用により、 Xのn^番目の順序なし配置空間が生じる。

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}$

これはその作用の軌道空間です。直感的には、この作用は「点の名前を忘れる」ということです。順序付けられていない配置空間は、、^[2]、またはと表記されることがあります。順序付けられていない配置空間全体のコレクションはRan空間であり、自然な位相を備えています。 ${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$${\displaystyle C_{n}(X)}$${\displaystyle n}$

位相空間と有限集合に対して、Sでラベル付けされた粒子を持つXの配置空間は ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ は単射である}}\}}.}$

に対して、 を定義する。すると、Xのn^番目の配置空間は単に と表記される。^[3]${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

• における2点の整列配置空間は、ユークリッド3次元空間と円の積に同相である。つまり^[2]${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$
• より一般的には、2点の配置空間は球面とホモトピー同値である。^[4]${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$
• 内の点の配置空間は、番目の編組群の分類空間です(以下を参照)。${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$

連結位相空間X上のn-ストランド組紐群は

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),}$

Xのn^番目の順序付けられていない配置空間の基本群。X上のnストランド純粋組紐群は^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

最初に研究された組紐群はアルティン組紐群 である。上記の定義はエミール・アルティンが与えたものではないが、アドルフ・フルヴィッツはアルティンの定義よりかなり前（1891年）に、アルティン組紐群を複素平面の配置空間の基本群として暗黙的に定義していた。^[5]${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$

この定義と、およびが型のアイレンバーグ・マクレーン空間であるという事実から、両方を離散群 と見なすと、平面の順序付けられていない配置空間はアルティン組紐群の分類空間であり 、 は純粋アルティン組紐群の分類空間であることがわかります。^[6]${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$${\displaystyle K(\pi,1)}$${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$

元の空間が多様体である場合、その順序付けられた配置空間は の冪の開いた部分空間であり、したがってそれ自体が多様体です。異なる順序付けられていない点の配置空間も多様体ですが、必ずしも異なるとは限らない^{[説明が必要]}順序付けられていない点の配置空間はオービフォールドです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

配置空間は、分類空間または（細かい）モジュライ空間の一種です。特に、自明バンドルのサブバンドルであり、各点上のファイバーがpによって分類される のn要素サブセットであるという特性を持つ普遍バンドルがあります。 ${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$${\displaystyle p\in C_{n}}$${\displaystyle X}$

配置空間のホモトピー型はホモトピー不変ではありません。たとえば、の任意の 2 つの異なる値に対して、空間はホモトピー同値ではありません。は に対して空であり、に対しては連結されておらず、は型のEilenberg–MacLane 空間であり、に対しては単連結です。 ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle K(\pi,1)}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle m\geq 3}$

ホモトピー同値だが非ホモトピー同値な配置空間を持つコンパクト多様体の事例があるかどうかは、かつては未解決の問題であった。そのような例は、2005 年に Riccardo Longoni と Paolo Salvatore によって初めて発見された。彼らの例は、2 つの 3 次元レンズ空間と、それらの中の少なくとも 2 つの点の配置空間である。これらの配置空間がホモトピー同値でないことは、それぞれの普遍被覆におけるMassey 積によって検出された。 ^[7]単連結閉多様体の配置空間のホモトピー不変性は一般に未解決のままであり、基本体 上で成り立つことが証明されている。^{[8] [9]}少なくとも 4 次元の単連結境界を持つ単連結コンパクト多様体の実ホモトピー不変性も証明された。 ^[10]${\displaystyle \mathbf {R} }$

いくつかの結果はグラフの構成空間に特有のものである。この問題はロボット工学や動作計画に関係している可能性がある。複数のロボットをトラック上に置き、衝突することなく異なる位置に移動させようとすることを想像することができる。トラックはグラフ（のエッジ）に対応し、ロボットは粒子に対応し、成功したナビゲーションはそのグラフの構成空間内のパスに対応する。^[11]

任意のグラフ に対して、は^[11]型のアイレンバーグ・マクレーン空間であり、強い変形は次元のCW 複体に収縮します。ここで、 は次数が少なくとも 3 の頂点の個数です。^{[11] [12]}さらに、および変形は最大 次元の非正曲面立方体複体に収縮します。^{[13] [14]}${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$${\displaystyle K(\pi,1)}$${\displaystyle b(\Gamma )}$${\displaystyle b(\Gamma )}$${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$

また、機械的リンク機構の構成空間を、その基礎となるジオメトリのグラフで定義する。このようなグラフは、通常、剛体ロッドとヒンジの連結として構築されると想定される。このようなリンク機構の構成空間は、適切なメトリックを備えたユークリッド空間におけるそのすべての許容位置の総体として定義される。一般的なリンク機構の構成空間は滑らかな多様体であり、たとえば、回転ジョイントで接続された剛体ロッドで作られた単純な平面リンク機構の場合、構成空間は n トーラスである。^{[15] [16]} このような構成空間における最も単純な特異点は、同次二次超曲面上の円錐とユークリッド空間の積である。このような特異点は、それぞれの端点のトレースパスが非横断的に交差するように 2 つのサブリンク機構に分割できるリンク機構、たとえば整列できる (つまり、完全に 1 本の線に折りたたむことができる) リンク機構に対して現れる。^[17]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T^{n}}$

異なる点の配置空間は非コンパクトであり、点が互いに近づく（合流する）傾向がある端点を持つ。多くの幾何学的応用ではコンパクトな空間が必要となるため、をコンパクト化、すなわち適切な特性を持つコンパクト空間の開集合として埋め込むことが望まれる。この問題へのアプローチは、ラウル・ボットとクリフォード・タウベス^[18]、ウィリアム・フルトンとロバート・マクファーソン^[19]によって提案されている。${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

• 構成空間（物理学）
• 状態空間（物理学）