寸法

物理学と数学において、数学的空間（またはオブジェクト）の次元は、その内部の任意の点を指定するのに必要な座標の最小数として非公式に定義されています。 ^{[1] [2]}したがって、直線の次元は 1 (1D)です。これは、直線上の点（たとえば、数直線上の 5 の点）を指定するのに必要な座標が 1 つだけだからです。円柱や球の境界などの表面の次元は 2 (2D)です。これは、表面上の点を指定するのに 2 つの座標が必要であり、たとえば、球の表面上の点を指定するには緯度と経度の両方が必要であるためです。2次元ユークリッド空間は、平面上の 2 次元空間です。立方体、円柱、または球の内部は3 次元(3D) です。これは、これらの空間内で点を指定するのに 3 つの座標が必要であるためです。

古典力学では、空間と時間は異なるカテゴリであり、絶対的な空間と時間を指します。その世界の概念は4 次元空間ですが、電磁気学を記述するために必要であるとわかったものではありません。時空の 4 次元 (4D) は、空間的および時間的に絶対的に定義されるのではなく、観測者の動きに対して相対的に知られるイベントで構成されます。ミンコフスキー空間は、まず重力のない宇宙を近似します。一般相対性理論の擬リーマン多様体は、物質と重力のある時空を記述します。10 次元は超弦理論(6D ハイパースペース + 4D)を記述するために使用され、11 次元は超重力とM 理論(7D ハイパースペース + 4D) を記述でき、量子力学の状態空間は無限次元関数空間です。

次元の概念は物理的なオブジェクトに限定されません。高次元空間は数学や科学の。ユークリッド空間や、より一般的なパラメータ空間、ラグランジアンやハミルトン力学などの配置空間、物理的な空間とは独立した抽象的な空間。

数学では、物体の次元とは、大まかに言えば、その物体上を移動する点の自由度の数です。言い換えれば、次元とは、物体上に制約されている点の位置を定義するために必要な、独立したパラメータまたは座標の数です。たとえば、点の次元は0です。直線の次元は1です。直線上を点は 1 方向 (またはその反対方向) にしか移動できないためです。平面の次元は2など です。

次元は、オブジェクトが埋め込まれている、または埋め込まれる可能性がある空間の次元とは無関係であるという意味で、オブジェクトの固有の特性です。たとえば、円などの曲線は次元が 1 です。これは、曲線上の点の位置が、曲線上の固定点までの曲線に沿った符号付き距離によって決まるためです。これは、曲線が直線でない限り、次元が 2 未満のユークリッド空間に埋め込むことができないという事実とは無関係です。同様に、表面は、 3 次元空間に埋め込まれている場合でも次元が 2 です。

ユークリッドn空間 E ⁿ の次元はnです。他の種類の空間に一般化しようとすると、「何がE ^{n を} n次元にするのか」という疑問に直面します。1 つの答えは、E ⁿ内の固定された球を半径εの小さな球で覆うには、 ε ^{− n}のオーダーのそのような小さな球が必要であるということです。この観察からミンコフスキー次元と、そのより洗練された変形であるハウスドルフ次元の定義が導かれますが、この質問には他の答えもあります。たとえば、E ⁿ内の球の境界は局所的にE ^{n -1}のように見え、これは帰納的次元の概念につながります。これらの概念はE ⁿでは一致していますが、より一般的な空間を見ると異なることがわかります。

テッセラクトとは、 4 次元オブジェクトの一例です。数学以外では、「次元」という用語は「テッセラクトには4 つの次元がある」のように使われますが、数学者は通常これを「テッセラクトには 4 つの次元がある」または「テッセラクトには 4 つの次元がある」または「4D」のように表現します。

高次元の概念はルネ・デカルトに遡りますが、高次元幾何学の実質的な発展は、アーサー・ケイリー、ウィリアム・ローワン・ハミルトン、ルートヴィヒ・シュレーフリ、ベルンハルト・リーマンの研究を経て、19世紀になってから始まりました。リーマンの1854年の『応用数学』、シュレーフリの1852年の『実在的連続体の理論』、そしてハミルトンの四元数の発見とジョン・T・グレイブスの1843年の八元数の発見は、高次元幾何学の始まりを示しました。

このセクションの残りの部分では、次元のより重要な数学的定義のいくつかを検討します。

ベクトル空間の次元とは、その空間の基底にあるベクトルの数、つまりベクトルを指定するために必要な座標の数です。この次元の概念 (基底の濃度) は、他の次元の概念と区別するために、ハメル次元または代数次元と呼ばれることがよくあります。

非自由ケースでは、これはモジュールの長さの概念に一般化されます。

連結された位相多様体の一意に定義された次元は計算できます。連結された位相多様体は、ユークリッドn空間に局所的に 同相であり、nは多様体の次元です。

連結された微分可能多様体の場合、次元は任意の点における 接ベクトル空間の次元でもあります。

幾何学的位相幾何学では、多様体理論は、次元 1 と 2 が比較的初歩的であり、高次元のケースn > 4は「作業」するための余分なスペースがあるために単純化され、 n = 3と4のケースは、ある意味で最も難しいという特徴があります。この状況は、4 つの異なる証明方法が適用されたポアンカレ予想のさまざまなケースで非常に顕著でした。

多様体の次元は、ユークリッド空間が定義される基底体に依存します。解析では通常、多様体は実数上にあると想定されますが、複素多様体や代数多様体の研究では、代わりに複素数上で作業すると便利な場合があります。複素数 ( x + iy )には実数部 xと虚数部 y があり、 x と y は両方とも実数です。したがって、複素次元は実数次元の半分です。

逆に、代数的に制約のない文脈では、単一の複素座標系を2つの実次元を持つ物体に適用することができる。例えば、通常の2次元球面は、複素計量が与えられると、 1つの複素次元を持つリーマン球面になる。^[3]

代数多様体の次元は、さまざまな同等の方法で定義できます。最も直感的な方法は、おそらく代数多様体の任意の正則点における接空間の次元です。もう 1 つの直感的な方法は、多様体との交差が有限個の点 (次元 0) に減らされるために必要な超平面の数として次元を定義することです。この定義は、超平面が多様体を含まない限り、多様体と超平面の交差によって次元が 1 つ減るという事実に基づいています。

代数集合は代数多様体の有限和集合であり、その次元はその構成要素の次元の最大値です。これは、与えられた代数集合のサブ多様体の連鎖の最大長に等しくなります (そのような連鎖の長さは「 」の数です)。 ${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{d}}$${\displaystyle \subsetneq }$

各多様体は代数的スタックとみなすことができ、その多様体としての次元はスタックとしての次元と一致する。しかし、多様体に対応しないスタックも多く、そのいくつかは負の次元を持つ。具体的には、Vがm次元の多様体で、GがVに作用するn次元の代数群である場合、商スタック[ V / G ]はm  −  n次元を持つ。^[4]

可換環のクルル次元は、その環に含まれる素イデアルの連鎖の最大長であり、長さnの連鎖は包含関係にある素イデアルの列である。代数多様体の次元と強く関連しているのは、多様体上の多項式の環の部分多様体と素イデアルが自然に一致するためである。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}}$

体上の代数の場合、ベクトル空間としての次元が有限となるのは、その Krull 次元が 0 の場合のみです。

任意の通常の位相空間 Xについて、Xのルベーグ被覆次元は、以下が成り立つ最小の整数nとして定義されます。任意の開被覆には、 n + 1個を超える要素に点が含まれないような開精緻化（各要素が最初の被覆の要素のサブセットである 2 番目の開被覆）があります。この場合、 dim X = nです。多様体Xの場合、これは上記の次元と一致します。そのような整数n が存在しない場合は、 Xの次元は無限であるとされ、 dim X = ∞と書きます。さらに、X は次元 -1 を持ちます。つまり、 dim X = -1となるのは、 Xが空の場合のみです。この被覆次元の定義は、定義内の「開いている」という用語を「機能的に開いている」という用語に置き換えるだけで、通常の空間のクラスからすべてのチコノフ空間に拡張できます。

帰納的次元は、次のように帰納的に定義できます。離散的な点の集合(有限の点の集合など) を 0 次元とします。0 次元のオブジェクトをある方向にドラッグすると、1 次元のオブジェクトが得られます。1 次元のオブジェクトを新しい方向にドラッグすると、2 次元のオブジェクトが得られます。一般に、n次元のオブジェクトを新しい方向にドラッグすると、( n + 1 ) 次元のオブジェクトが得られます。位相空間の帰納的次元は、小さな帰納的次元または大きな帰納的次元を指す場合があり、距離空間の場合、( n + 1 ) 次元のボールにはn次元の境界があり、開集合の境界の次元に基づく帰納的定義が可能になるという類推に基づいています。さらに、離散的な点の集合の境界は空集合であるため、空集合は次元 -1 を持つことができます。^[5]

同様に、 CW 複合体のクラスでは、オブジェクトの次元は、nスケルトンが非自明となる最大のnです。直感的には、これは次のように説明できます。元の空間を、複雑な表面で面で結合された高次元の三角形の集合に連続的に変形できる場合、オブジェクトの次元はそれらの三角形の次元です。^{[引用が必要]}

ハウスドルフ次元は構造的に複雑な集合、特にフラクタルを研究するのに役立ちます。ハウスドルフ次元はすべての距離空間に対して定義されており、上で検討した次元とは異なり、非整数の実数値を持つこともできます。^[6]ボックス次元またはミンコフスキー次元は同じアイデアの変形です。一般に、非常に不規則な集合に適用でき、非整数の正の実数値を達成するフラクタル次元の定義が他にも存在します。

すべてのヒルベルト空間は正規直交基底を許容し、特定の空間の任意の 2 つのそのような基底は同じ濃度を持ちます。この濃度はヒルベルト空間の次元と呼ばれます。この次元が有限であるのは、空間のハメル次元が有限である場合に限り、この場合 2 つの次元は一致します。

古典物理学の理論では、3 つの物理的次元が説明されています。空間内の特定の点から、私たちが移動できる基本的な方向は、上下、左右、前後です。他の方向への移動は、この 3 つのみで表現できます。下に移動することは、負の距離だけ上に移動することと同じです。斜め上方および前方への移動は、方向の名前が示すとおり、上と前方の線形結合で移動します。最も単純な形式では、線は 1 つの次元、平面は 2 つの次元、立方体は 3 つの次元を表します。( 「空間と直交座標系」を参照してください。)

時間次元、または時間次元は、時間の次元です。このため、時間は「第 4 次元」と呼ばれることがよくありますが、これは空間次元であることを意味するものではありません^{[要出典] 。時間次元は、物理的変化を測定する 1 つの方法です。時間次元は、1 つしか存在せず、時間内で自由に移動できず、主観的に}1 方向に移動するという点で、3 つの空間次元とは異なって認識されます。

物理学で現実をモデル化するために使われる方程式は、人間が一般的に知覚するのと同じようには時間を扱っていません。古典力学の方程式は時間に関して対称であり、量子力学の方程式は、時間と他の量（電荷やパリティなど）の両方が逆になっている場合に通常対称です。これらのモデルでは、時間が一方向に流れるという認識は、熱力学の法則によるものです（私たちは、時間がエントロピーが増加する方向に流れると認識しています）。

時間を次元として扱う最もよく知られた方法は、ポアンカレとアインシュタインの特殊相対性理論（および一般相対性理論に拡張）であり、知覚される空間と時間を時空と呼ばれる4次元多様体の構成要素として扱い、特殊な平坦なケースではミンコフスキー空間として扱う。時間はすべての空間次元で機能するため、他の空間次元と異なる。時間は、第1、第2、第3の空間次元だけでなく、第4の空間次元などの理論的な空間次元でも機能する。しかし、無限に小さい点は変化がなく、したがって時間もないため、時間は幾何学的点として定義される絶対無限特異点の単一の点には存在しない。物体が空間内の位置を移動するとき、物体は時間内の位置も移動する。この意味で、物体を変化させる力は時間である。^{[7] [8] [9]}

物理学では、空間 3 次元と時間 1 次元が標準として受け入れられています。しかし、余分な次元/ハイパースペースを導入することで4 つの基本的な力を統一しようとする理論があります。最も顕著なのは、超弦理論は10 の時空次元を必要とし、暫定的にM 理論と呼ばれる、以前は別個だった 5 つの超弦理論を包含する、より基本的な 11 次元理論に由来しています。超重力理論も、11D 時空 = 7D ハイパースペース + 4 つの共通次元を推進しています。現在まで、これらの余分な次元の存在を裏付ける直接的な実験的または観測的証拠はありません。ハイパースペースが存在する場合、何らかの物理的メカニズムによって隠されているに違いありません。よく研究されている可能性の 1 つは、余分な次元が非常に小さなスケールで「丸まって」おり、現在の実験では事実上見えない可能性があるというものです。

1921年、カルツァ＝クラインの理論は、余分な空間次元を含む5Dを提示した。量子場の理論のレベルでは、カルツァ＝クラインの理論は、小さくコンパクトな余剰次元を伝播する重力は長距離でのゲージ相互作用と同等であるという認識に基づいて、重力とゲージ相互作用を統合している。特に、余剰次元の形状が自明な場合、電磁気学を再現する。しかし、十分に高いエネルギーまたは短い距離では、この設定は依然として、量子重力を直接記述する試みを妨げることで有名な同じ病理に悩まされている。したがって、これらのモデルは依然として、弦理論が提供しようとしている種類のUV完成を必要とする。特に、超弦理論は、カラビ＝ヤウ多様体を形成する6つのコンパクトな次元（6Dハイパースペース）を必要とする。したがって、カルツァ＝クラインの理論は、それ自体では不完全な記述として、または弦理論モデル構築のサブセットとして考えることができる。

小さく丸まった余剰次元に加えて、可視宇宙に関連する物質が(3 + 1) 次元のサブスペースに局在しているために目立たない余剰次元が存在する可能性があります。したがって、余剰次元は小さくコンパクトである必要はなく、大きな余剰次元である可能性があります。Dブレーンは、弦理論によって予測されるさまざまな次元の動的拡張オブジェクトであり、この役割を果たす可能性があります。ゲージ相互作用に関連する開いた弦の励起は、その端点によってブレーン内に制限されるのに対し、重力相互作用を媒介する閉じた弦は、時空全体、つまり「バルク」に自由に伝播するという特性があります。これは、重力が他の力よりも指数関数的に弱い理由に関連している可能性があります。重力は、高次元のボリュームに伝播するにつれて事実上希釈されるためです。

ブレーン物理学のいくつかの側面は宇宙論に応用されている。例えば、ブレーンガス宇宙論^{[10] [11]}は位相的および熱力学的考察を用いて空間が3次元である理由を説明しようとしている。この考えによれば、弦が一般的に交差できる空間次元の最大数は3だからである。最初はコンパクトな次元の周囲に弦の巻きがたくさんあった場合、これらの巻きが除去されて初めて空間はマクロなサイズに拡大することができ、そのためには反対に巻かれた弦が互いを見つけて消滅する必要がある。しかし、弦は3次元でのみ意味のある速度で互いを見つけて消滅することができるため、この種の初期構成を前提とすると、空間の3次元のみが大きく成長することが許されることになる。

すべてのフィールドがそれらの内部で等しく自由に伝播できる場合、 余剰次元は普遍的であると言われます。

デジタルシステムには、イラストレーションソフトウェア、コンピュータ支援設計、地理情報システムなど、幾何学的形状の保存、分析、視覚化をベースとしたものがある。さまざまなベクターシステムでは、形状を表現するためにさまざまなデータ構造を使用しているが、ほとんどすべてのシステムは、基本的に空間次元に対応する一連の幾何学的プリミティブに基づいている。^[12]

• 点（0次元）、直交座標系における単一の座標。
• 線またはポリライン(1 次元) は、通常、連続した線からサンプリングされた点の順序付けられたリストとして表され、ソフトウェアは、線の間の形状を直線または曲線セグメントとして補間することが期待されます。
• 多角形(2 次元) は、通常、端点で閉じた線として表され、2 次元領域の境界を表します。ソフトウェアでは、この境界を使用して 2 次元空間を内部と外部に分割することが想定されています。
• 接続された多角形の面で構成される多面体など、さまざまな戦略を使用して表現されるサーフェス(3 次元) 。ソフトウェアでは、このサーフェスを使用して 3 次元空間を内部と外部に分割することが想定されています。

これらのシステム、特に GIS や地図作成では、現実世界の現象の表現が、表現されている現象とは異なる (通常はより低い) 次元を持つことがよくあります。たとえば、都市 (2 次元の領域) は点として表現され、道路 (3 次元の物質の塊) は線として表現されます。この次元の一般化は、空間認知の傾向と相関しています。たとえば、2 つの都市間の距離を尋ねることは、都市を点としての概念モデルを前提としますが、道路を「上る」、「下る」、「沿う」移動を伴う方向を示すことは、1 次元の概念モデルを暗示します。これは、データ効率、視覚的な単純さ、または認知効率を目的として頻繁に行われ、表現と表現されるものの区別が理解されていれば許容されますが、情報ユーザーがデジタル形状が現実の完全な表現であると想定すると (つまり、道路が実際には線であると信じる)、混乱を引き起こす可能性があります。

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ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「ディメンション」のテキストがあります。

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