ユークリッド一様タイルの一覧

この表は、ユークリッド平面の11 個の凸均一タイリング(正則および半正則)と、それらの二重タイリングを示しています。

平面には、3 つの規則的なタイリングと 8 つの半規則的なタイリングがあります。半規則的なタイリングは、それぞれ 1 種類の不規則な面から作成されたデュアルから新しいタイリングを形成します。

ジョン・コンウェイは、これらの均一な双対を、カタロニアの立体多面体と並行してカタロニアのタイリングと呼びました。

均一タイリングは、頂点構成、つまり各頂点に存在する面の順序によってリストされます。たとえば、4.8.8 は、頂点に 1 つの正方形と 2 つの八角形があることを意味します。

これら 11 個の均一タイリングには、32 個の異なる均一カラーリングがあります。均一カラーリングでは、頂点の均一性と頂点間の変換の一致を維持しながら、頂点の同一辺のポリゴンを異なる色で着色できます。(注: 以下に示すタイリング画像の一部は、色が均一ではありません。)

11 個の凸型均一タイリングに加えて、星型多角形と逆向きの頂点構成を使用した14 個の非凸型タイリングも知られています。さらに、アペイロゴンを使用した 28 個の均一タイリングが知られています。ジグザグも許可されている場合、パラメータに応じて 23 個の均一タイリングと 10 個のファミリが知られています。8 つのケースではパラメータは連続しており、他の 2 つのケースではパラメータは離散的です。セットが完全であることはわかっていません。

1987年の著書『タイリングとパターン』で、ブランコ・グリュンバウムは頂点一様タイリングをアルキメデス立体と並行してアルキメデスと呼んでいます。その双対タイリングは結晶学者フリッツ・ラーベスにちなんでラーベスタイリングと呼ばれています。^{[1] [2]}それらはアレクセイ・シュブニコフにちなんでシュブニコフ・ラーベスタイリングとも呼ばれています。^[3]ジョン・コンウェイは一様双対をカタロニア立体多面体と並行してカタロニアタイリングと呼びました。

ラベス・タイリングは、正多角形の中心に頂点があり、正多角形の中心を繋ぐ辺は辺を共有している。ラベス・タイリングのタイルはプラニゴンと呼ばれる。これには、3つの正多角形タイル（三角形、正方形、六角形）と8つの不規則なタイルが含まれる。^[4]各頂点の周りには等間隔の辺がある。プラニゴンの3次元類似物は立体面体と呼ばれる。

これらのデュアルタイリングは、面の構成、つまり面の各頂点の面の数によってリストされます。たとえば、 V4.8.8 は、1 つの角に 4 つの三角形があり、2 つの角に 8 つの三角形がある二等辺三角形タイルを意味します。頂点プラニゴン ( D ₁₂まで) の方向は、以下のセクションの頂点図と一致しています。

すべての鏡映形式は、ウィトフ記号で表されるウィトフ構成、またはコクセター・ディンキン図によって作成できます。各図は、シュワルツの三角形(4,4,2)、(6,3,2)、または (3,3,3)のいずれかに作用し、対称性はコクセター群[4,4]、[6,3]、または [3 ^[3] ] によって表されます。スナブなどの交互形式も、各システム内の特別なマークアップによって表すことができます。ウィトフのプロセスでは、均一なタイリングを 1 つだけ作成することはできませんが、三角形のタイリングを延長することで作成できます。直交ミラー構成 [∞,2,∞] も存在し、これは、2 組の平行ミラーが長方形の基本領域を作るものとして見られます。領域が正方形の場合、この対称性は対角ミラーによって [4,4] ファミリに倍増できます。

家族:

• (4,4,2), , [4,4] – 正方格子の対称性${\displaystyle {\tilde {BC}}_{2}}$
  • ${\displaystyle {\チルダ {I}}_{1}^{2}}$, [∞,2,∞]
• (6,3,2), , [6,3] – 正六角形タイリングと三角形タイリングの対称性。 ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$
  • (3,3,3)、、[3 ^[3] ]${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$

11 個の均一なタイルには合計 32 個の均一なカラーリングがあります。

1. 三角形のタイル– 均一な色彩 9 種類、ウィソフ色 4 種類、非ウィソフ色 5 種類
   •          
2. 正方形のタイル– 9 色: ウィソフ派 7 色、非ウィソフ派 2 色
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3. 六角形のタイル– 3 色、すべてウィトホフ様式
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4. 三角タイル– 2 色、どちらもウィトホフ
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5. スナブスクエアタイル– 2色、どちらも交互にウィソフィアン
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6. 切り詰められた正方形のタイル– 2 つの色彩、どちらもウィトホフ様式
   •   
7. 切頂六角形のタイル– 1 色、ウィトホフ様式
   •  
8. 菱形三角タイル– 1 色、ウィトホフ
   •  
9. 切頂三角タイル– 1 色、ウィトホフ
   •  
10. スナブ六角形タイル– 1色、交互ウィソフィアン
    •  
11. 細長い三角形のタイル– 1 色、非ウィソフ様式
    •  

• 凸均一ハニカム- 凸均一ユークリッド平面タイリングと平行な構造である、28 個の均一な 3 次元テッセレーション。
• 凸正多角形によるユークリッドタイル張り
• テッセレーションのリスト
• 浸透閾値
• 双曲面上の均一なタイリング

• Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim ( 2008 年 4 月 18 日)。「第 19 章、アルキメデスのタイリング、表 19.1」。The Symmetries of Things。AK Peters / CRC Press。ISBN 978-1-56881-220-52010年9月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). 「均一な多面体」. Phil. Trans. 246 A: 401–450.
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第2～3節「円パッキング、平面テッセレーション、ネットワーク」、34～40ページ）。
• Asaro, Laura; Hyde, John; Jensen, Melanie; Mann, Casey; Schroeder, Tyler. 「アルキメデスのタイルの均一なエッジ c 色付け」(PDF)。ワシントン大学。（ワシントン大学のケイシー・マン）
• Grünbaum, Branko ; Shepard, Geoffrey (1977 年 11 月)。「正多角形によるタイリング」(PDF)。
• シーモア、デール、ブリトン、ジル(1989)。テッセレーション入門。デール シーモア出版。pp. 50–57, 71-74。ISBN 978-0866514613。

• Weisstein、Eric W.「均一テッセレーション」。MathWorld。
• ユークリッド平面上の均一なテッセレーション
• 平面のモザイク模様
• デイヴィッド・ベイリーのテッセレーションの世界
• k-均一タイリング
• n 均一タイリング