ユークリッド平面

数学において、ユークリッド平面は2 次元のユークリッド空間で、または で表されます。これは、各点の位置を決定するために2 つの実数が必要となる幾何学的な空間です。これはアフィン空間であり、特に平行線の概念が含まれます。また、距離によって誘導される計量特性も備えており、これにより円の定義や角度の測定が可能になります。 ${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

選択された直交座標系を持つユークリッド平面は、直交平面と呼ばれます。ドット積を備えた実数の順序付きペアの集合（実座標平面）は、すべてのユークリッド平面がそれに同型であるため、ユークリッド平面または標準ユークリッド平面と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ユークリッドの『原論』の第 1 巻から第 4 巻、および第 6 巻では、2 次元幾何学を扱っており、形状の相似性、ピタゴラスの定理(命題 47)、角度と面積の等式、平行性、三角形の角度の合計、三角形が「等しい」 (面積が同じ) である 3 つのケースなどの概念を展開しています。

その後、平面はいわゆる直交座標系で記述されるようになりました。直交座標系とは、平面上の各点を1 組の数値座標で一意に指定する座標系です。数値座標は、その点から 2 本の固定された垂直な有向線までの符号付き距離で、長さの同じ単位で測定されます。各参照線は座標軸または単にシステムの軸と呼ばれ、それらの交点が原点であり、通常は (0, 0) の順序付きペアです。座標は、点を 2 つの軸に垂直に投影した位置として定義することもでき、原点からの符号付き距離として表されます。

この体系のアイデアは、1637年にデカルトの著作の中で、またピエール・ド・フェルマーによって独立して開発されたが、フェルマーも3次元の研究をしており、この発見を公表しなかった。^[1]両著者は、その扱いにおいて単一の（横座標）軸を使用し、縦座標の長さはその軸に必ずしも垂直ではない線に沿って測定された。^[2]一対の固定軸を使用するという概念は、 1649年にフランス・ファン・スホーテンとその弟子たちがデカルトの『幾何学』をラテン語に翻訳した後に導入された。これらの注釈者は、デカルトの著作に含まれるアイデアを明確にしようとしながら、いくつかの概念を導入した。^[3]

後に、平面は体、つまり任意の 2 点を掛け合わせたり、0 を除いて割り算したりできるものと考えられるようになりました。これは複素平面として知られていました。複素平面はアルガンド図で使われるため、アルガンド平面と呼ばれることもあります。アルガンド図はジャン＝ロベール・アルガン(1768–1822) にちなんで名付けられましたが、最初に記述したのはデンマーク系ノルウェー人の測量士で数学者のカスパル・ヴェッセル(1745–1818) です。^{[4]アルガンド図は、}関数の極と零点の位置を複素平面にプロットするためによく使われます。

数学において、解析幾何学（デカルト幾何学とも呼ばれる）は、2 つの座標によって 2 次元空間のすべての点を表します。2 つの直交する座標軸が与えられ、これらは原点で交差します。通常、これらはxとyで示されます。これらの軸を基準として、2 次元空間の任意の点の位置は、実数の順序付きペアによって与えられます。各数値は、与えられた軸に沿って測定された原点からのその点の距離を示し、その距離は、その点から他の軸までの距離に等しくなります。

広く使用されている別の座標系は極座標系です。これは、原点からの距離と右方向の参照光線に対する角度で点を指定します。

• 
  直交座標系
• 
  極座標系

ユークリッド幾何学では、平面とは、無限に広がる平らな2次元の 表面のことです。ユークリッド平面は、多くの場合、 3 次元空間の部分空間として生じます。典型的な例としては、部屋の壁が無限に広がり、その厚さが無限小であると想定されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

実数のペアは平面上の点を記述するのに十分ですが、平面外の点との関係では、周囲空間への埋め込みについて特別な考慮が必要です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

2 次元には、無限の数の多面体、つまり多角形が存在します。最初のいくつかの正多面体を以下に示します。

シュレーフリ記号は 正n角形を表します。 ${\displaystyle \{n\}}$

正一角形（または正六角形）{1}と正二角形{2}は退化した正多角形とみなすことができ、 2次元球面、2次元トーラス、または直円柱などの非ユークリッド空間に非退化的に存在します。

2 次元には、シュレーフリ記号が有理数 {n/m} で構成される非凸正多面体が無数に存在します。これらは星型多角形と呼ばれ、凸正多角形と 同じ頂点配置を共有します。

一般に、任意の自然数 n に対して、すべてのmに対してシュレーフリ記号 { n / m } を持つ n 角形の非凸正多角形の星型が存在し、 m < n /2 (厳密には { n / m } = { n /( n − m )})かつmとn が互いに素である。

2次元の超球面は円であり、 1次元多様体であるため1球面（S ¹ ）と呼ばれることもあります。ユークリッド平面では、長さは2π rで、内部の面積は

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

半径は どこですか。${\displaystyle r}$

2 次元には、楕円、放物線、双曲線などの円錐曲線をはじめとする、他の曲線形状が無数に存在します。

2 次元空間を数学的に見る別の方法は、独立性の概念が極めて重要な線形代数にあります。長方形の長さは幅に依存しないため、平面は 2 次元です。線形代数の専門用語では、平面が 2 次元であるのは、平面上のすべての点が 2 つの独立したベクトルの線形結合で記述できるためです。

2つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ ]とB = [ B ₁ , B ₂ ]のドット積は次のように定義されます: ^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

ベクトルは矢印で表すことができます。ベクトルの大きさは長さで、方向は矢印が指す方向です。ベクトルAの大きさは で表されます。この観点から、2つのユークリッドベクトルAとBのドット積は^[6]で定義されます。${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

ここで θ はAとB の間の角度です。

ベクトルA自身のドット積は

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

これにより

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

ベクトルの ユークリッド長さの公式。

直交座標系では、勾配は次のように表される。

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

あるスカラー場 f  : U ⊆ R ² → Rに対して、区分的に滑らかな 曲線 C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

ここでr :[a,b]→ Cは曲線Cの任意の全単射 パラメータ化であり、r ( a )とr ( b )はCとCの端点を与えます。 ${\displaystyle a<b}$

ベクトル場 F  : U ⊆ R ² → R ²に対して、区分的に滑らかな 曲線 C ⊂ Uに沿ったr方向の線積分は次のように定義されます。

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

ここで·はドット積であり、r :[a,b]→ Cは曲線Cの全単射 パラメータ化であり、r ( a )とr ( b )はCの端点を与えます。

二重積分は関数のR ²の領域D内の積分を指し、通常は次のように記述されます。 ${\displaystyle f(x,y),}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

線積分の基本定理によれば、勾配場を通る線積分は、曲線の端点で元のスカラー場を評価することによって評価できます。

しましょう。すると ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

p、qは曲線γの端点 です。

C を平面上の正の向きで、区分的に滑らかな単純閉曲線とし、D をCで囲まれた領域とする。LとMがD を含む開領域上で定義された ( x , y )の関数であり、そこで連続的な偏微分を持つ場合、 ^{[7] [8]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

ここで、Cに沿った積分の経路は反時計回りです。

位相幾何学では、平面は唯一の収縮可能な 2 次元多様体として特徴付けられます。

その次元は、平面から点を除去すると、単純に接続された空間ではなく、接続された空間が残るという事実によって特徴付けられます。

グラフ理論において、平面グラフは平面に埋め込むことができるグラフ、すなわち、平面上に辺が端点でのみ交差するように描くことができるグラフである。言い換えれば、辺が互いに交差しないように描くことができる。 ^[9] このような描画は、平面グラフまたはグラフの平面埋め込みと呼ばれる。平面グラフは、すべてのノードから平面上の点へのマッピング、およびすべてのエッジからその平面上の平面曲線へのマッピングを持つ平面グラフとして定義でき、各曲線の端点はその端のノードからマッピングされた点であり、すべての曲線は端点を除いて互いに素である。

• 幾何学空間
• 平面図

• バートン、デイビッド・M.（2011）、数学の歴史/入門（第7版）、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-338315-6