Dブレーン

弦理論において、D ブレーン(ディリクレ膜の略)は、開いた弦がディリクレ境界条件で終わることができる拡張されたオブジェクトのクラスであり、その条件にちなんで名付けられています。D ブレーンは通常、空間次元によって分類され、空間次元はD の後に書かれた数字で示されます。D0 ブレーンは単一の点、D1 ブレーンは線 (「D 弦」と呼ばれることもあります)、D2 ブレーンは平面、D25 ブレーンはボゾン弦理論で考慮される最高次元の空間を満たします。また、空間と時間の両方に局在するインスタントンD(−1) ブレーンもあります。

Dブレーンは1989年にジン・ダイ、リー、ポルチンスキー^[1]によって発見され、ホラヴァ^[2]によっても独立に発見された。1995年にポルチンスキーはDブレーンを超重力のブラックpブレーン解と同一視した。この発見は第二次超弦革命のきっかけとなり、ホログラフィック双対性とM理論双対性の両方につながった。

弦理論の運動方程式では、開いた弦（端点のある弦）の端点が、2 種類の境界条件のいずれかを満たす必要があります。1 つは、時空を光速で移動する自由な端点に対応するノイマン境界条件、もう 1 つは弦の端点を固定するディリクレ境界条件です。弦の各座標は、これらの条件のいずれかを満たしている必要があります。また、2 つの端点が NN、DD、ND、および DN 境界条件を満たす、境界条件が混在する弦も存在します。p空間次元がノイマン境界条件を満たす場合、弦の端点はp次元の超平面内での移動に制限されます。この超平面は、D pブレーン の 1 つの記述を提供します。

結合がゼロの極限では剛体であるが、D ブレーン上で終わる開いた弦のスペクトルには、その変動に関連するモードが含まれており、これは D ブレーンが動的オブジェクトであることを意味する。Dブレーンがほぼ一致すると、それらの間を伸びる弦のスペクトルは非常に豊富になる。モードの 1 つのセットは、世界体積上の非可換ゲージ理論を生成する。別のモードのセットは、 ブレーンの各横方向の次元の次元行列である。これらの行列が可換である場合、それらは対角化される可能性があり、固有値は空間における D ブレーンの位置を定義する。より一般的には、ブレーンは非可換幾何学によって記述され、これにより、D pブレーンのコレクションが D( p +2) ブレーン に拡大するマイヤーズ効果などの異常な動作が可能になる。${\displaystyle N}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N}$

タキオン凝縮はこの分野の中心概念である。アショク・センは、 IIB 型弦理論では、タキオン凝縮によって (ネヴー・シュワルツ 3形式フラックスがない場合) D9 ブレーンと反 D9 ブレーンのスタックから任意の D ブレーン構成が得られると主張した。エドワード・ウィッテンは、そのような構成は時空のK 理論によって分類されることを示した。タキオン凝縮はまだ十分に理解されていない。これは、タキオンのオフシェル進化を記述する正確な弦場理論が存在しないことに起因している。

これは物理的宇宙論に影響を及ぼします。弦理論は、宇宙が予想よりも多くの次元 (ボソン弦理論では 26 、超弦理論では 10) を持つことを示唆しているため、余分な次元が明らかにならない理由を見つけなければなりません。1 つの可能性は、目に見える宇宙が実際には 3 つの空間次元に広がる非常に大きな D ブレーンであるということです。開いた弦でできた物質は D ブレーンに束縛されており、「現実に対して直角に」動いてブレーンの外側の宇宙を探索することはできません。このシナリオはブレーン宇宙論と呼ばれます。重力は開いた弦によるものではなく、重力を運ぶ重力子は閉じた弦の振動状態です。閉じた弦は D ブレーンに付着する必要がないため、重力の影響はブレーンに直交する余分な次元に依存する可能性があります。

2 つの D ブレーンが互いに近づくと、相互作用は 2 つのブレーン間の弦の 1 つのループの環状振幅によって捉えられます。2 つの平行なブレーンが一定速度で互いに近づくシナリオは、ある角度で互いに対して回転している 2 つの静止ブレーンの問題にマッピングできます。環状振幅は、2 つのブレーン間に張られた開いた弦のオンシェル生成に対応する特異点をもたらします。これは、D ブレーンの電荷に関係なく当てはまります。非相対論的散乱速度では、開いた弦は、項を介して結合された 2 つの複雑なスカラー場を含む低エネルギー有効作用によって記述できます。したがって、場(ブレーンの分離) が変化すると、場の質量が変わります。これにより開いた弦の生成が誘発され、結果として 2 つの散乱ブレーンがトラップされます。 ${\displaystyle \phi ^{2}\chi ^{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \chi }$

D ブレーンの配置により、システム内に存在できる弦の状態の種類が制限されます。たとえば、2 つの平行な D2 ブレーンがある場合、弦がブレーン 1 からブレーン 2 に伸びていること、またはその逆であることは容易に想像できます。(ほとんどの理論では、弦は方向のあるオブジェクトです。それぞれが、その長さに沿った方向を定義する「矢印」を持っています。) この場合に許容される開いた弦は、2 つのカテゴリ、つまり「セクター」に分類されます。ブレーン 1 で始まりブレーン 2 で終わる弦と、ブレーン 2 で始まりブレーン 1 で終わる弦です。象徴的に、[1 2] セクターと [2 1] セクターがあると言えます。さらに、弦が同じブレーンで始まり終わる場合もあり、その場合は [1 1] セクターと [2 2] セクターになります。 （括弧内の数字はチャン・パトン指数と呼ばれるが、実際にはブレーンを識別するための単なるラベルである。）[1 2]または[2 1]セクターの弦には最小の長さがあり、ブレーン間の距離よりも短くすることはできない。すべての弦には張力があり、物体を長くするにはその張力に逆らって引っ張らなければならない。この引っ張りは弦に作用し、弦のエネルギーを増加させる。弦理論は本質的に相対論的であるため、弦にエネルギーを加えることは、アインシュタインの関係式E = mc ²より、質量を加えることと同等である。したがって、Dブレーン間の距離が、開いた弦が持つことができる最小の質量を制御する。

さらに、弦の端点を膜に固定すると、弦の動き方や振動の仕方に影響します。弦理論では、弦が経験できるさまざまな振動状態として粒子状態が「出現」するため、D 膜の配置によって理論に存在する粒子の種類が制御されます。最も単純なケースは、D p膜の [1 1] セクター、つまり、p次元の特定の D 膜で始まり、終わる弦です。南部-後藤作用の結果を調べると(そして量子力学のルールを適用して弦を量子化すると)、粒子のスペクトルの中に、電磁場の基本量子である光子に似たものがあることを発見します。この類似性は正確です。マクスウェル方程式のp次元類似物に従う電磁場のp次元バージョンが、すべての D p膜に存在します。

この意味では、弦理論は電磁気学を「予測する」と言えます。つまり、開いた弦の存在を許容する場合、D ブレーンは理論の必須部分であり、すべての D ブレーンはその体積上に電磁場を運びます。

その他の粒子状態は、同じ D ブレーン上で始まり終わる弦から発生します。いくつかは光子のような質量のない粒子に対応します。また、このグループには質量のないスカラー粒子のセットも含まれます。D pブレーンがd空間次元の時空に埋め込まれている場合、ブレーンは (そのマクスウェル場に加えて) d − p質量のないスカラーのセット(光を構成する光子のように偏光を持たない粒子) を運びます。興味深いことに、質量のないスカラーの数は、ブレーンに垂直な方向の数と同数です。ブレーンの配置の形状は、その上に存在する粒子の量子場理論と密接に関連しています。実際、これらの質量のないスカラーはブレーンのゴールドストーン励起であり、空の空間の対称性が破られるさまざまな方法に対応しています。宇宙に D ブレーンを配置すると、特定の場所が定義され、ブレーンに垂直なd − p方向のそれぞれに沿った特定の場所に特別な意味が割り当てられるため、場所間の対称性が破られます。

マクスウェルの電磁気学の量子バージョンはゲージ理論の1種類、つまりゲージ群が1次のユニタリ行列で構成されるU (1)ゲージ理論に過ぎない。Dブレーンは次のようにしてより高次のゲージ理論を生成するために使用できる。

簡単にするために並列に配置されたN 個の独立した D pブレーンのグループについて考えてみましょう。ブレーンには便宜上1、2、...、 N というラベルが付けられています。このシステムの開いた弦は、多くのセクターの 1 つに存在します。あるブレーン i で始まり、終わる弦は、そのブレーンにマクスウェル場とその体積上のいくつかの質量のないスカラー場を与えます。ブレーンiから別のブレーンjまで伸びる弦は、より興味深い特性を持っています。まず、弦のどのセクターが相互作用できるかを尋ねることは価値があります。弦の相互作用の 1 つの簡単なメカニズムは、2 つの弦がエンドポイントを結合することです (または、逆に、1 つの弦が「真ん中で分割」され、2 つの「娘」弦が作成されます)。エンドポイントは D ブレーン上にあるように制限されているため、[1 2] 弦は [2 3] 弦と相互作用できますが、[3 4] 弦や [4 17] 弦とは相互作用できないことは明らかです。これらの弦の質量は、上で述べたように、ブレーン間の分離によって影響を受けるため、簡単にするために、ブレーンがどんどん接近していき、最終的に互いの上に位置すると想像することができます。 重なり合った 2 つのブレーンを別々のオブジェクトと見なすと、ブレーンの分離による影響がなく、以前と同じセクターがすべて残ります。

N 個の一致する D ブレーンのシステムのオープン ストリング粒子スペクトルのゼロ質量状態は、相互作用する量子場のセットを生成し、これはまさにU ( N ) ゲージ理論です。(ストリング理論には他の相互作用も含まれていますが、非常に高いエネルギーでのみ検出可能です。) ゲージ理論は、ボソン ストリングまたはフェルミオン ストリングから発明されたわけではありません。これらは物理学の別の領域から生まれ、それ自体で非常に有用なものになっています。少なくとも、D ブレーン ジオメトリとゲージ理論の関係は、ストリング理論が「万物の理論」にはならないとしても、ゲージ相互作用を説明するための有用な教育ツールを提供します。

D ブレーンのもう一つの重要な用途は、ブラックホールの研究です。1970 年代以来、科学者たちはブラックホールがエントロピーを持つという問題について議論してきました。思考実験として、ある量の高温ガスをブラックホールに落とすことを考えてみましょう。ガスはブラックホールの重力から逃れることができないため、そのエントロピーは宇宙から消えたように見えます。熱力学の第二法則を維持するためには、ブラックホールは、落下するガスが元々持っていたエントロピーを獲得したと仮定する必要があります。量子力学をブラックホールの研究に適用しようとして、スティーブン・ホーキングは、ブラックホールが熱放射の特徴的なスペクトルを持つエネルギーを放射する はずであることを発見しました。このホーキング放射の特徴的な温度は、によって与えられます 。はニュートンの万有引力定数、はブラックホールの質量 、 はボルツマン定数です。 $${\displaystyle T_{\rm {H}}={\frac {\hbar c^{3}}{8\pi GMk_{\text{B}}}}\;\quad (\approx {1.227\times 10^{23}\;kg \over M}\;K),}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$

この式をホーキング温度に使用し、質量ゼロのブラックホールはエントロピーがゼロであると仮定すると、熱力学的な議論を使用して「ベッケンシュタインエントロピー」を導き出すことができます。 $${\displaystyle S_{\rm {B}}={\frac {k_{\text{B}}4\pi G}{\hbar c}}M^{2}.}$$

ベッケンシュタインエントロピーはブラックホールの質量の2乗に比例します。シュワルツシルト半径は質量に比例するため、ベッケンシュタインエントロピーはブラックホールの表面積に比例します。実際、 プランク長は です。 $${\displaystyle S_{\rm {B}}={\frac {Ak_{B}}{4l_{\rm {P}}^{2}}},}$$${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

ブラックホールのエントロピーの概念は、興味深い難問を提起します。通常の状況では、多数の異なる「ミクロ状態」が同じマクロ条件を満たすことができる場合、システムはエントロピーを持ちます。たとえば、ガスで満たされた箱がある場合、ガス原子のさまざまな配置が同じ総エネルギーを持つことができます。しかし、ブラックホールは特徴のない物体であると信じられていました (ジョン・ウィーラーのキャッチフレーズ「ブラックホールには毛がない」)。では、ブラックホールのエントロピーを生み出すことができる「自由度」とは何でしょうか。

弦理論家は、ブラックホールが非常に長い（したがって非常に質量の大きい）弦であるというモデルを構築した。このモデルは、シュワルツシルト ブラックホールの予想されるエントロピーとほぼ一致するが、いずれにしても正確な証明はまだ見つかっていない。主な難しさは、量子弦が相互作用しない場合は、量子弦が持つ自由度を数えるのが比較的簡単であることだ。これは、入門レベルの熱力学で学ぶ理想気体に似ている。モデル化するのが最も簡単な状況は、ガス原子が相互作用しない場合である。ガス原子または分子が粒子間の力（ファンデルワールス力など）を受ける場合のガスの運動論を展開するのは、より困難である。しかし、相互作用のない世界は面白くない場所である。ブラックホール問題にとって最も重要なことは、重力は相互作用であるため、「弦結合」がオフになっていると、ブラックホールは発生しない可能性がある。したがって、ブラックホールのエントロピーを計算するには、弦相互作用が存在する領域で作業する必要がある。

相互作用しない弦のより単純なケースを、ブラックホールが存在できる領域に拡張するには、超対称性が必要です。特定のケースでは、弦が相互作用しても、ゼロ弦結合に対して行われたエントロピー計算は有効です。弦理論家にとっての課題は、超対称性を「破らない」ブラックホールが存在できる状況を考案することです。近年、^{[タイムフレーム? ]}これは、D ブレーンからブラックホールを構築することによって行われました。これらの仮想ホールのエントロピーを計算すると、予想されるベッケンシュタイン エントロピーと一致する結果が得られます。残念ながら、これまでに研究されたケースはすべて、9 次元空間の D5 ブレーンなど、より高次元の空間に関係しています。これらは、私たちの宇宙で観測されるシュワルツシルト ブラックホールなどのよく知られたケースには直接適用されません。

ディリクレ境界条件と D ブレーンは、その重要性が十分に認識されるまでに長い「前史」を経た。1975 年から 1976 年にかけてのバーディーン、バーズ、ハンソン、ペッチェイによる一連の論文は、弦の端で相互作用する粒子 (QCD フラックス チューブと相互作用するクォーク) に関する初期の具体的な提案を扱っており、弦の端点に対する動的境界条件ではディリクレ条件は静的ではなく動的であった。混合ディリクレ/ノイマン境界条件は、 1976 年にウォーレン シーゲルによって初めて検討され、開弦理論の臨界次元を 26 または 10 から 4 に下げる手段として考えられた (シーゲルはハルパーンの未発表の研究と、1974 年の Chodos と Thorn の論文も引用しているが、後者の論文を読むと、実際にはディリクレ境界条件ではなく線形膨張背景に関係していることがわかる)。この論文は先見の明があったものの、当時はあまり注目されなかった（1985年のシーゲルのパロディ「スーパーgストリング」には、ブレーンワールドのほぼ正確な説明が含まれている）。ユークリッド時間を含むすべての座標に対するディリクレ条件（現在Dインスタントンとして知られているものを定義）は、強い相互作用の弦理論を構築するために、弦理論に点状構造を導入する手段として、1977年にマイケル・グリーンによって導入された。1987年から1989年にかけてハーヴェイとミナハン、石橋と小野木、プラディシとサニョッティによって研究された弦のコンパクト化でも、ディリクレ境界条件が採用された。

1989 年、ダイ、リー、ポルチンスキー、ホラヴァはそれぞれ独立に、T 双対性が通常のノイマン境界条件をディリクレ境界条件と入れ替えることを発見した。この結果は、このような境界条件が、開いた弦理論のモジュライ空間の領域に必ず現れることを意味している。ダイらの論文では、ディリクレ境界条件の軌跡が動的であることも指摘しており、結果として生じる対象をディリクレ ブレーン (D ブレーン) という造語で表現している (この論文では、弦の T 双対性のもとで生じる別の対象をオリエンティフォールドという造語で表現している)。1989 年のリーの論文では、D ブレーンのダイナミクスはディラック・ボルン・インフェルド作用によって支配されることが示された。D インスタントンは 1990 年代初頭にグリーンによって広範に研究され、1994 年にポルチンスキーによって、シェンカーによって予想されたe ^{–1 ⁄ g の} 非摂動的な弦効果を生み出すことが示された。 1995年にポルチンスキーは、Dブレーンが弦の双対性に必要な電磁ラモンド・ラモンド場の源であることを示し、^{[3] [検証に失敗した]、}弦理論の非摂動論的理解が急速に進歩しました。

• ボゴモニー～プラサド～サマーフィールド行き
• M理論

• Bardeen, WA; Bars, Itzhak; Hanson, Andrew J.; Peccei, RD (1976-04-15). 「弦の縦方向キンクモードの研究」. Physical Review D . 13 (8). American Physical Society (APS): 2364–2382. Bibcode :1976PhRvD..13.2364B. doi :10.1103/physrevd.13.2364. ISSN  0556-2821. OSTI  1443701.
• バーズ、イツァーク; ハンソン、アンドリュー J. (1976-03-15). 「弦の端にあるクォーク」.フィジカルレビュー D. 13 ( 6). アメリカ物理学会 (APS): 1744–1760. Bibcode :1976PhRvD..13.1744B. doi :10.1103/physrevd.13.1744. ISSN  0556-2821.
• バーズ、イツァーク (1976-06-28)。「色力学と弦理論の正確な等価性」。Physical Review Letters。36 ( 26) 。アメリカ物理学会 (APS): 1521–1525。Bibcode :1976PhRvL..36.1521B。doi : 10.1103/physrevlett.36.1521。ISSN 0031-9007  。;同上。Bars, I. (1976). 「ハドロンの量子弦理論と2次元の量子色力学との関係」。核物理学B。111 ( 3)。Elsevier BV: 413–440。Bibcode :1976NuPhB.111..413B。doi :10.1016/0550-3213(76)90327-8。ISSN 0550-3213  。
• Bachas, CP 「D ブレーンに関する講義」(1998)。arXiv : hep-th/9806199。
• Giveon, Amit; Kutasov, David (1999-07-01). 「ブレーンダイナミクスとゲージ理論」.現代物理学レビュー. 71 (4): 983–1084. arXiv : hep-th/9802067 . Bibcode :1999RvMP...71..983G. doi :10.1103/revmodphys.71.983. ISSN  0034-6861. S2CID  119460857.
• 橋本浩二『D-ブレーン：超弦理論と世界の新たな視点』 Springer （ 2012年）。ISBN 978-3-642-23573-3 
• ジョンソン、クリフォード (2003)。D-ブレーン。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-80912-6。
• Polchinski、Joseph、D ブレーンに関する TASI 講義、arXiv :hep-th/9611050。TASI '96での講演。
• Polchinski, Joseph (1995-12-25). 「ディリクレ ブレーンとラモンド ラモンド チャージ」. Physical Review Letters . 75 (26): 4724–4727. arXiv : hep-th/9510017 . Bibcode :1995PhRvL..75.4724P. doi :10.1103/physrevlett.75.4724. ISSN  0031-9007. PMID  10059981. S2CID  4671529.弦理論における D ブレーンの重要性を確立した論文。
• ツヴィーバッハ、バートン。 弦理論入門。ケンブリッジ大学出版局（2004年）。ISBN 0-521-83143-1。