4次元多面体

幾何学において、4次元多面体（4-polytope、ポリクロロン[1]、ポリセル、多面体とも呼ばれる）は、4次元多面体である。^[ 2 ] [ 3 ]これ^は連結した閉じた図形であり、低次元の多面体要素、すなわち頂点、辺、面（多角形）、セル（多面体）から構成される。各面はちょうど2つのセルによって共有される。4次元多面体は、1853年以前にスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって発見された^。[4]

4次元多面体の2次元類似体は多角形であり、3次元類似体は多面体です。

位相的に、4 次元多面体は、3 次元空間をタイル状に分割する立方体ハニカムなどの均一なハニカムと密接に関連しています。同様に、3D立方体は、無限の 2D正方形タイリングと関連しています。凸型 4 次元多面体は、3 次元空間で ネットとして切断および展開できます。

4 次元多面体は、閉じた4 次元図形です。頂点(角の点)、辺、面、セルで構成されます。セルは面の 3 次元版であり、多面体です。各面は、多面体の各辺が 2 つの面だけに結合するのと同様に、正確に 2 つのセルに結合する必要があります。他の多面体と同様に、4 次元多面体の要素は、やはり 4 次元多面体である 2 つ以上の集合に分割することはできません。つまり、複合ではありません。

凸正四次元多面体は、プラトン立体の 4 次元版です。最もよく知られている 4 次元多面体は、立方体の 4 次元版である 四次元立方体または超立方体です。

凸正則4次元多面体は、同じ半径の4次元コンテンツ（超体積）の尺度として、サイズで順序付けることができます。シーケンス内の各大きな多面体は、前のものよりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くのコンテンツ^[5]を囲んでいます。4単体（5セル）が最小のケースで、120セルが最大です。複雑さ（構成マトリックスの比較または単に頂点の数で測定）も同じ順序に従います。

4 次元多面体は余分な次元があるため、3 次元空間では見ることができません。4 次元多面体を視覚化するために、いくつかの手法が使用されています。

正射影

直交投影は、4 次元多面体のさまざまな対称方向を示すために使用できます。2D では頂点と辺のグラフとして描画でき、3D ではソリッド面を目に見える投影エンベロープとして表示できます。

透視投影

Just as a 3D shape can be projected onto a flat sheet, so a 4-D shape can be projected onto 3-space or even onto a flat sheet. One common projection is a Schlegel diagram which uses stereographic projection of points on the surface of a 3-sphere into three dimensions, connected by straight edges, faces, and cells drawn in 3-space.

Sectioning

Just as a slice through a polyhedron reveals a cut surface, so a slice through a 4-polytope reveals a cut "hypersurface" in three dimensions. A sequence of such sections can be used to build up an understanding of the overall shape. The extra dimension can be equated with time to produce a smooth animation of these cross sections.

Nets

A net of a 4-polytope is composed of polyhedral cells that are connected by their faces and all occupy the same three-dimensional space, just as the polygon faces of a net of a polyhedron are connected by their edges and all occupy the same plane.

The topology of any given 4-polytope is defined by its Betti numbers and torsion coefficients.^[6]

The value of the Euler characteristic used to characterise polyhedra does not generalize usefully to higher dimensions, and is zero for all 4-polytopes, whatever their underlying topology. This inadequacy of the Euler characteristic to reliably distinguish between different topologies in higher dimensions led to the discovery of the more sophisticated Betti numbers.^[6]

Similarly, the notion of orientability of a polyhedron is insufficient to characterise the surface twistings of toroidal 4-polytopes, and this led to the use of torsion coefficients.^[6]

Like all polytopes, 4-polytopes may be classified based on properties like "convexity" and "symmetry".

• A 4-polytope is convex if its boundary (including its cells, faces and edges) does not intersect itself and the line segment joining any two points of the 4-polytope is contained in the 4-polytope or its interior; otherwise, it is non-convex. Self-intersecting 4-polytopes are also known as star 4-polytopes, from analogy with the star-like shapes of the non-convex star polygons and Kepler–Poinsot polyhedra.
• 4 次元多面体は、その旗が推移的である場合に正多面体です。つまり、そのセルはすべて合同な正多面体であり、同様にその頂点図形も合同で別の種類の正多面体です。
• 凸 4 次元多面体は、対称群の下ですべての頂点が等価 (頂点推移的)であり、セルが正多面体である場合に半正多面体です。セルは、同じ種類の面を持つ限り、2 種類以上あってもかまいません。1900年にThorold Gossetによって特定されたケースは、修正 5 セル、修正 600 セル、およびスナブ 24 セルの 3 つだけです。
• 4 次元多面体は、すべての頂点が等価となる対称群を持ち、そのセルが一様多面体である場合に一様です。一様 4 次元多面体の面は正多面体でなければなりません。
• 4 次元多面体は、頂点推移的で、すべての辺の長さが等しい場合、スカリフォームです。これにより、正面凸ジョンソン立体などの均一でないセルが可能になります。
• 凸でもある正 4 次元多面体は、凸正 4 次元多面体と呼ばれます。
• 4 次元多面体は、 2 つ以上の低次元多面体の直積である場合、角柱状です。角柱状 4 次元多面体は、その因数が均一である場合、均一です。超立方体は角柱状 (2 つの正方形の積、または立方体と線分の積) ですが、その因数から継承される対称性以外の対称性があるため、別個に考慮されます。
• 3 次元空間のタイリングまたはハニカムは、3 次元ユークリッド空間を多面体セルの繰り返しグリッドに分割したものです。このようなタイリングまたはテッセレーションは無限であり、「4D」ボリュームを囲むことはなく、無限 4 次元多面体の例です。3次元空間の均一タイリングは、頂点が合同で空間群によって関連付けられており、セルが均一な多面体であるものです。

以下に、上記の基準に従って分類された 4 次元多面体のさまざまなカテゴリを示します。

一様4次元多面体（頂点推移的）:

• 凸一様 4 次元多面体(64 個、さらに 2 つの無限族)
  • 47 個の非柱状凸一様 4 次元多面体には以下が含まれます。
    • 6凸正多面体
  • 角柱状の均一な4次元多面体:
    • {} × {p,q} : 18 個の多面体超角柱（立方体超角柱、正立方体を含む）
    • 反プリズム上に構築されたプリズム（無限の家族）
    • {p} × {q} :デュオプリズム（無限族）
• 非凸一様 4 次元多面体(10 + 未知)

  

  • 10 (通常)シュレーフリ-ヘス ポリトープ
  • 非凸一様多面体上に構築された 57 個のハイパープリズム
  • 非凸一様4次元多面体の総数は不明：ノーマン・ジョンソンと他の協力者は、2191の形式（凸型と星型、無限族を除く）を特定しており、これらはすべてStella4Dソフトウェアによって頂点図形によって構築されている。^[7]

その他の凸4次元多面体:

• 多面体ピラミッド
• 多面体両錐体
• 多面体プリズム

ユークリッド 3 次元空間の無限一様 4 次元多面体(凸一様セルの一様タイル分割)

• 28 個の凸均一ハニカム: 均一凸多面体タイル分割。以下を含む:
  • 1 規則的なテッセレーション、立方ハニカム: {4,3,4}

双曲 3 次元空間の無限一様 4 次元多面体(凸一様セルの一様タイル張り)

• 双曲空間における76 個の Wythoffian凸均一ハニカム、以下を含む:
  • コンパクトな 3 次元双曲空間の 4 つの正規のタイル分割: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}

双対一様4次元多面体（セル推移的）:

• 41 個のユニークな双凸一様 4 次元多面体
• 17個のユニークな双凸多面体プリズム
• 無限の双凸均一デュオプリズム（不規則な四面体セル）の族
• 以下を含む 27 個のユニークな凸型二重均一ハニカム:
  • 菱形十二面体ハニカム
  • 二蝶形四面体ハニカム

その他:

• ウィア・フェラン構造不規則なセルを持つ周期的な空間充填ハニカム

抽象正則4次元多面体:

• 11セル
• 57セル

これらのカテゴリには、高度な対称性を示す 4 次元多面体のみが含まれます。他の多くの 4 次元多面体も考えられますが、これらのカテゴリに含まれるものほど広範囲に研究されていません。

• 正4次元多面体
• 3 次元球面- 4 次元空間における球面の類似物。多面体セルで囲まれていないため、4 次元多面体ではありません。
• デュオシリンダーは、デュオプリズムに関連する 4 次元空間の図形です。境界体積が多面体ではないため、4 次元多面体でもありません。

• HSMコクセター:
  • Coxeter, HSM (1973) [1948]. Regular Polytopes (第3版). ニューヨーク: ドーバー.
  • HSM コクセター、MS ロンゲット ヒギンズ、JCP ミラー：均一多面体、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954 年
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH ConwayとMJT Guy : 4 次元アルキメデス多面体、コペンハーゲン凸性コロキウムの議事録、38 および 39 ページ、1965 年
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• 4次元アルキメデス多面体（ドイツ語）、マルコ・モラー、2004年博士論文[2] 2005年3月22日アーカイブ、Wayback Machine

ウィキメディア・コモンズには、 4次元多面体に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「ポリコロン」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「多面体公式」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「正則多角形のオイラー特性」。MathWorld。
• ユニフォーム・ポリコーラ、ジョナサン・バワーズ
• Uniform polychoron Viewer - ソース付き Java3D アプレット
• R. クリッツィング、ポリコラ