等周寸法

数学において、多様体の等周次元は、多様体の大規模な動作がユークリッド空間のそれにどの程度似ているかを捉えようとする次元の概念である（異なる局所的な動作をユークリッド空間のそれと比較する位相次元やハウスドルフ次元とは異なる）。

ユークリッド空間では、等周不等式は、同じ体積を持つすべての物体のうち、球の表面積が最小であることを示しています。他の多様体では、表面積を最小にする正確な物体を見つけることは通常非常に困難であり、これは等周次元に関するものではありません。ここで問うべき問題は、それを実現する物体が何であれ、最小表面積は およそいくらかということです。

微分可能多様体 Mについて、滑らかな境界を持つ M内の任意の開集合Dに対して、次の式が成り立つとき、d次元等周不等式を満たすと言う。

${\displaystyle \operatorname {area} (\partial D)\geq C\operatorname {vol} (D)^{(d-1)/d}.}$

vol と area という表記は、多様体上の体積と表面積の通常の概念を指します。より正確には、多様体がn 個の位相次元を持つ場合、 vol はn次元の体積を指し、 area は ( n  − 1) 次元の体積を指します。ここでC は、 Dに依存しない定数を指します(多様体とdに依存する場合があります)。

Mの等周次元は、 Mがd次元等周不等式を満たすようなdのすべての値の最大値です。

d次元ユークリッド空間は等周次元dを持ちます。これはよく知られた等周問題です。上で説明したように、ユークリッド空間では球に対して最小値が達成されるため、定数C は正確に分かっています。

無限円筒（つまり、円と直線の積）は位相次元が 2 ですが、等周次元は 1 です。実際、任意の多様体をコンパクト多様体で乗算しても、等周次元は変化しません（定数Cの値のみが変化します）。任意のコンパクト多様体の等周次元は 0 です。

等周次元が位相次元よりも大きくなることも可能です。最も単純な例は、位相次元が2で等周次元が3である無限ジャングルジムです。図とMathematicaコードについては[1]を参照してください。

双曲平面は位相次元2と等周次元無限大を持ちます。実際、双曲平面は正のチーガー定数を持ちます。これは、不等式を満たすことを意味します。

${\displaystyle \operatorname {area} (\partial D)\geq C\operatorname {vol} (D),}$

これは明らかに無限の等周次元を意味します。

r上の単純な積分（グラフの場合は和）は、d次元の等周不等式がd次元の体積増加を意味することを示している。つまり、

${\displaystyle \operatorname {vol} B(x,r)\geq Cr^{d}}$

ここで、B ( x , r ) は、リーマン距離またはグラフ距離における点xの周りの半径rの球を表します。一般に、その逆は真ではありません。つまり、一様指数関数的な体積増加であっても、等周不等式を意味するものではありません。簡単な例として、グラフZ (つまり、 nとn + 1の間に辺を持つすべての整数 ) を取り、頂点nに高さ | n |の完全な二分木を接続することができます。両方の特性 (指数関数的増加と 0 等周次元) は簡単に検証できます。

興味深い例外は、群の場合です。 d次多項式成長を持つ群は、等周次元d を持つことがわかります。 これは、リー群の場合と、有限生成群のケーリー グラフの両方に当てはまります。

ヴァロプロスの定理は、グラフの等周次元とグラフ上の ランダムウォークの脱出率を結び付ける。その結果は、

ヴァロプロスの定理: Gがd次元等周不等式を満たすグラフである場合、

${\displaystyle p_{n}(x,y)\leq Cn^{-d/2}}$

ここで、 xから始まるG上のランダムウォークがnステップ後にyに到達する確率、C は定数です。${\textstyle p_{n}(x,y)}$

• アイザック・シャベル『等周不等式：微分幾何学と解析的視点』ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国（2001年）、ISBN  0-521-80267-9

多様体のコンテキストでトピックについて議論しており、グラフについては言及していません。

• N. Th. Varopoulos,等周不等式とマルコフ連鎖, J. Funct. Anal. 63:2 (1985), 215–239​​.
• ティエリー・クールホンとローラン・サロフ＝コステ、グループとバリエーションのイソペリメトリー、マット牧師。イベロアメリカーナ9:2 (1993)、293–314。

この論文には、多項式増加のグループでは、体積増加と等周不等式が同値であるという結果が含まれています。フランス語。

• Fan Chung、「離散等周不等式」。微分幾何学調査IX、International Press、(2004)、53-82。http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf。

この論文では、グラフの等周次元の正確な定義が含まれており、その多くの特性が確立されています。