ゼロ次元空間

数学において、ゼロ次元位相空間（ゼロじょうげんすう、またはゼロじょうげんきょうかん）とは、位相空間に次元を割り当てる複数の非同値な概念のうちの1つに関して次元がゼロである位相空間のことである。 ^[1]ゼロ次元空間を図式的に表すと点となる。 [ ^2]

具体的には：

• 位相空間は、その空間のすべての開被覆が互いに素な開集合による被覆である精緻化を持つ場合、ルベーグ被覆次元に関して 0 次元である。
• 位相空間が有限対有限被覆次元に関してゼロ次元であるとは、空間のすべての有限開被覆に、空間内の任意の点がこの細分化のちょうど 1 つの開集合に含まれるような有限開被覆である細分化がある場合をいいます。
• 位相空間が小帰納的次元に関してゼロ次元であるとは、その基底が閉開集合から構成される場合をいう。

上記の 3 つの概念は、可分かつ距離化可能な空間については一致する。^{[要出典] [要説明]}

• 0 次元ハウスドルフ空間は必然的に完全に不連続であるが、その逆は成り立たない。しかし、局所コンパクトハウスドルフ空間が 0 次元となるのは、完全に不連続である場合のみである。(非自明な方向については、(Arhangel'skii & Tkachenko 2008、命題 3.1.7、p.136) を参照。)
• ゼロ次元ポーランド空間は記述的集合論にとって特に便利な設定です。そのような空間の例には、カントール空間やベール空間などがあります。
• ハウスドルフのゼロ次元空間は、離散位相が与えられたときの位相冪のサブスペースそのものです。このような空間はカントール立方体と呼ばれることもあります。Iが可算無限である場合、はカントール空間です。 ${\displaystyle 2^{I}}$${\displaystyle 2=\{0,1\}}$${\displaystyle 2^{I}}$

0次元多様体のすべての点は孤立している。

• アルハンゲルスキー、アレクサンダー、トカチェンコ、ミハイル (2008)。位相群と関連構造。アトランティス数学研究。第 1 巻。アトランティス プレス。ISBN 978-90-78677-06-2。
• エンゲルキング、リザード（1977）。一般的なトポロジ。 PWN、ワルシャワ。
• ウィラード、スティーブン（2004）。一般位相幾何学。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。