スキューポリゴン

幾何学において、斜交多角形はユークリッド空間における閉じた多角形の鎖である。多角形に似た図形であるが、頂点がすべて同一平面上にはない。^[1] 多角形は通常平面図形として定義されるが、斜交多角形の辺と頂点は空間曲線を形成する。斜交多角形には少なくとも 4 つの頂点が必要である。このような多角形の内表面と対応する面積の尺度は一意に定義されない。

斜め無限多角形(アペイロゴン) には、すべてが同一直線上にない頂点があります。

ジグザグの斜め多角形または逆角柱多角形^[2]は、2つの平行な平面上で頂点が交互に配置され、したがって均等な辺を持つ必要があります。

3 次元の正規斜め多角形(および 2 次元の正規斜めアピアロン) は常にジグザグになります。

正斜多角形は、2 次元を超える多角形を忠実に対称的に実現したものです。3 次元では、正斜多角形には 2 つの平行な平面間で交互に頂点が配置されます。

正斜n角形には、正多角形pと直交線分{}のブレンドとしてシュレーフリ記号{ p }#{}が与えられます。^[3]連続する頂点間の対称操作はすべり反射です。

例として、均一な正方形と五角形の反プリズムを示します。星形の反プリズムも、上部と下部のポリゴンの接続順序が異なる通常の斜めポリゴンを生成します。塗りつぶされた上部と下部のポリゴンは構造を明確にするために描画されており、斜めポリゴンの一部ではありません。

ペトリー多角形は、正多面体と多面体内で定義される正斜多角形です。たとえば、5 つのプラトン立体には、 4 面、6 面、10 面の正斜多角形があり、それぞれの射影包絡線の周囲に赤い縁があるこれらの直交投影で確認できます。四面体と八面体には、それぞれのジグザグ斜多角形の頂点がすべて含まれており、それぞれ二角形反対称プリズムと三角反対称プリズムとして見ることができます。

正斜多面体には、正多角形の面と、正斜多角形の頂点図形があります。

3 つの無限正歪多面体は3 次元空間を空間充填します。他のものは4 次元空間に存在し、いくつかは均一な 4 次元多面体内にあります。

4 次元では、通常の斜め多角形はクリフォード トーラス上に頂点を持ち、クリフォード変位によって関連付けられます。ジグザグ斜め多角形とは異なり、二重回転の斜め多角形には奇数個の辺を含めることができます。

正 4 次元多面体のペトリー多角形は、正ジグザグの斜め多角形を定義します。各コクセター群の対称性のコクセター数は、ペトリー多角形の辺の数を表します。これは、5 セルの場合は 5 辺、4次元多面体と16 セルの場合は 8 辺、24 セルの場合は 12 辺、 120 セルと600 セルの場合は 30 辺です。

これらの正多角形 は、コクセター平面に直交投影されると、平面内で正多角形のエンベロープとして表示されます。

n - nデュオプリズムとデュアルデュオピラミッドにも 2 つのn角形ペトリー多角形があります。(テッセラクト (teseract)は4-4 デュオプリズムであり、16 セルは4-4 デュオピラミッドです。)

• ペトリー多角形
• 四辺形 § 斜めの四辺形
• 正多面体
• 歪んだアペイロヘドロン（無限歪んだ多面体）
• 斜めの線

• マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002年12月）、Abstract Regular Polytopes（第1版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-81496-025ページ
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。「斜めポリゴン（鞍型ポリゴン）」§2.2
• コクセター、HSM (1973) [1948]。正多面体（第3版）。ニューヨーク：ドーバー。
• Coxeter、 HSM;正多角形(1974)。第 1 章正多角形、1.5. n 次元の正多角形、1.7.ジグザグ多角形と逆角柱多角形、1.8.らせん多角形、4.3.旗と直交図、11.3.ペトリー多角形
• Coxeter、HSM Petrie Polygons. Regular Polytopes、第 3 版。ニューヨーク: Dover、1973 年。(セクション 2.6 Petrie Polygons、 pp. 24–25、および第 12 章、pp. 213–235、一般化された Petrie 多角形)
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980)。離散群の生成元と関係。ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 0-387-09212-9。（第1版、1957年）5.2 ペトリー多角形{p,q}。
• ジョン・ミルナー：結び目の全曲率について、Ann. Math. 52 (1950) 248–257。
• JM サリバン:有限全曲率の曲線、ArXiv:math.0606007v2

• Weisstein、Eric W.「Skew 多角形」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「ペトリー多角形」。MathWorld。