外形寸法

幾何学において、外次元は「ファットフラクタル」のスケーリング挙動を特徴付けるために使用できる次元の一種である。ファットフラクタルは、ユークリッド空間のサブセットとして定義され、集合のすべての点と十分に小さいすべての数に対して、を中心とする半径の球には、フラクタルに属する点の非ゼロのルベーグ測度と、フラクタルに属さない点の非ゼロのルベーグ測度の両方が含まれる。このような集合の場合、ハウスドルフ次元は周囲空間のハウスドルフ次元と同じである。^[1]${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle p}$

集合のハウスドルフ次元は、 「太らせる」 （半径 の球とのミンコフスキー和をとる）ことで計算でき、その結果得られる太らせた集合の体積が がゼロに近づく極限で に比例してどのように変化するかを調べることができる。外部次元も同様の方法で計算されるが、太らせた集合から元の集合を減算して得られる差集合の体積を調べる。^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle S}$

外形寸法を導入した論文では、血管網に適用できると主張された。^[1]しかし、体のさまざまな部分で血管の挙動が一貫していないこと、分岐レベルの数が比較的少ないこと、外形寸法に基づく方法の収束が遅いことから、このパラメータの実用性には疑問が投げかけられた。^[2]