Loading article…
数学、物理学、工学において、ユークリッドベクトル、あるいは単にベクトル（幾何ベクトル[ 1 ]または空間ベクトル[ 2 ]と呼ばれることもある）は、大きさ（または長さ）と方向を持つ幾何学的オブジェクトである。ユークリッドベクトルは加算およびスケーリングしてベクトル空間を形成できる。ベクトル量は、測定単位および場合によってはサポートを含むベクトル値の物理量であり、有向線分として定式化される。ベクトルは、始点Aと終点Bを結ぶ矢印としてグラフィカルに表現されることが多く[ 3 ]、で表される。
ベクトルは、点Aを点Bに「運ぶ」ために必要なものです。ラテン語のvector は「運ぶもの」を意味します。[ 4 ]これは、18 世紀の天文学者が太陽の周りの惑星の公転を調査する際に初めて使用されました。 [ 5 ]ベクトルの大きさは 2 つの点間の距離であり、方向はAからBへの移動の方向を指します。加算、減算、乗算、否定など、実数に対する多くの代数演算には、ベクトルに対する類似の演算があり、[ 6 ]交換法則、結合法則、分配法則というおなじみの代数法則に従います。これらの演算と関連する法則により、ユークリッドベクトルは、単にベクトル空間の要素として定義される、より一般化されたベクトルの概念の例として適格になります。
ベクトルは物理学において重要な役割を果たします。動いている物体の速度と加速度、および物体に作用する力はすべてベクトルで記述できます。[ 7 ]他の多くの物理量もベクトルとして考えることができます。それらのほとんどは距離を表しませんが（例えば、位置や変位を除く）、その大きさと方向は矢印の長さと方向で表すことができます。物理ベクトルの数学的表現は、それを記述するために使用される座標系に依存します。擬似ベクトルやテンソルなど、物理量を記述する他のベクトルに似た数学的オブジェクトも、座標系の変更によって同様に変換されます。[ 8 ]
今日知られているベクトル概念は、200年以上にわたる段階的な発展の結果である。約12人がその発展に大きく貢献した。[ 9 ] 1835年、ジュスト・ベラヴィティスは等価性の概念を確立した際に、基本的な考え方を抽象化した。ユークリッド平面上で作業し、長さと向きが同じ平行線分を任意のペアで等価とした。本質的に、彼は平面上の点のペア（二点）上で同値関係を実現し、平面上に最初のベクトル空間を構築した。 [ 9 ]： 52-4ベクトルという用語は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって、実数s（スカラーとも呼ばれる）と3次元ベクトルの和q = s + vである四元数の一部として導入された。ベラヴィティスと同様に、ハミルトンはベクトルを等価な有向線分のクラスを代表するものとみなした。複素数は実数直線を補完するために虚数単位を使用するため、ハミルトンはベクトルvを四元数の虚数部とみなした。 [ 10 ]
代数的に虚数な部分は、直線または半径ベクトルによって幾何学的に構成され、一般に、各特定の四元数に対して、空間内での特定の長さと方向を持ち、ベクトル部分、または単に四元数のベクトルと呼ばれることがあります。
19 世紀半ばには、オーギュスタン・コーシー、ヘルマン・グラスマン、オーギュスト・メビウス、サン＝ヴナン伯爵、マシュー・オブライエンなど、他の数学者たちもベクトルに似たシステムを開発した。グラスマンの 1840 年の著作Theorie der Ebbe und Flut (潮の満ち引きの理論) は、今日のシステムに似た最初の空間解析システムであり、外積、スカラー積、ベクトル微分に対応するアイデアが含まれていた。グラスマンの著作は 1870 年代までほとんど無視されていた。[ 9 ]ピーター・ガスリー・テイトはハミルトンの後を継いで四元数の標準を継承した。彼の 1867 年のElementary Treatise of Quaternionsには、ナブラ演算子またはデル演算子∇ の広範な扱いが含まれていた。1878 年に、ウィリアム・キングドン・クリフォードによってElements of Dynamicが出版された。クリフォードは、2つのベクトルの内積と外積を完全な四元数積から分離することで、四元数の研究を簡略化した。このアプローチにより、ベクトル計算がエンジニアをはじめ、3次元空間で作業し、4次元空間に懐疑的な人々にも利用可能になった。
ジョサイア・ウィラード・ギブスは、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの『電気と磁気に関する論文』を通して四元数に触れ、そのベクトル部分を分離して独立して扱った。1881年に出版されたギブスの『ベクトル解析の要素』の前半では、本質的に現代のベクトル解析の体系が提示されている。[ 9 ] [ 6 ] 1901年、エドウィン・ビッドウェル・ウィルソンは、ギブスの講義を基にした『ベクトル解析』を出版し、ベクトル解析の発展において四元数への言及を一切排除した。
物理学や工学では、ベクトルは通常、大きさと方向によって特徴付けられる幾何学的実体とみなされます。形式的には、ユークリッド空間における有向線分、または矢印として定義されます。[ 11 ]純粋数学では、ベクトルはより一般的に、ベクトル空間の任意の要素として定義されます。この文脈では、ベクトルは大きさと方向によって特徴付けられる場合とそうでない場合がある抽象的な実体です。この一般化された定義は、上述の幾何学的実体が、ユークリッド空間と呼ばれる特殊な種類のベクトル空間の要素であるため、特殊な種類の抽象ベクトルであることを意味します。この記事では、ユークリッド空間における矢印として厳密に定義されたベクトルについて述べています。これらの特殊なベクトルを純粋数学で定義されたベクトルと区別する必要がある場合、それらは幾何ベクトル、空間ベクトル、またはユークリッドベクトルと呼ばれることがあります。
ユークリッドベクトルは、明確な始点と終点を持つことができます。このような条件は、結果を束縛ベクトルと呼ぶことで強調されることがあります。[ 12 ]ベクトルの大きさと方向だけが重要で、特定の始点や終点が重要でない場合、そのベクトルは自由ベクトルと呼ばれます。束縛ベクトルと自由ベクトルの区別は、物体に作用する力が接触点を持つ力学において特に重要です（合力と偶力を参照）。
2本の矢印そして空間内の自由ベクトルは、大きさと方向が同じであれば同じ自由ベクトルを表します。つまり、四角形ABB′A′が平行四辺形であれば、それらは等価です。ユークリッド空間に原点の選択肢がある場合、自由ベクトルは、始点が原点である同じ大きさと方向の束縛ベクトルと等価です。
ベクトルという用語は、より高次元への一般化や、より幅広い応用を持つより形式的なアプローチにも適用できる。
古典的なユークリッド幾何学（すなわち、総合幾何学）では、ベクトルは（19世紀に）順序付けられた点対の等価性に関する同値類として導入されました[ 13 ]。2つのペア（A、B）と（C、D）は、点A、B、D、Cがこの順序で平行四辺形を形成する場合に等価です。このような同値類はベクトル、より正確にはユークリッドベクトルと呼ばれます[ 14 ] 。 （A、B）の同値類はしばしば次のように表記されます。
ユークリッドベクトルは、同じ大きさ（例えば、線分（A、B）の長さ）と、同じ方向（例えば、 AからBへの方向）を持つ有向線分の同値類です。[ 15 ]物理学では、ユークリッドベクトルは、大きさと方向の両方を持つが、特定の場所に存在しない物理量を表すために使用されます。方向を持たないスカラーとは対照的です。 [ 7 ]例えば、速度、力、加速度はベクトルで表されます。
現代幾何学では、ユークリッド空間はしばしば線形代数から定義される。より正確には、ユークリッド空間Eは、実数体上の有限次元の内積空間が関連付けられた集合として定義される。そして、これは自由かつ推移的です（この構成の詳細についてはアフィン空間を参照）。これらは平行移動と呼ばれます。ユークリッド空間の2つの定義は同等であり、等価性に関する同値類は平行移動と同一視できることが証明されています。
場合によっては、ユークリッドベクトルはユークリッド空間を参照せずに考えられます。この場合、ユークリッドベクトルは実数体上の有限次元ノルムベクトル空間の要素、または典型的には実座標空間の要素となります。ドット積を備えている。これは理にかなっている。なぜなら、このようなベクトル空間での加算は、ベクトル空間自体に自由かつ推移的に作用するからである。つまり、はユークリッド空間であり、それ自体が関連するベクトル空間であり、ドット積は内積である。
ユークリッド空間は、 n次元の標準ユークリッド空間として提示されることが多い。これは、 n次元のすべてのユークリッド空間がユークリッド空間と同型であるという事実に基づいている。より正確には、このようなユークリッド空間が与えられた場合、任意の点O を原点として選択できます。グラム・シュミットの直交化法によって、関連するベクトル空間の正規直交基底（2 つの基底ベクトルの内積が、異なる場合は 0、等しい場合は 1 となるような基底）を見つけることもできます。これにより、空間内の任意の点Pのデカルト座標が、この基底上のベクトルの座標として定義されます。これらの選択は、与えられたユークリッド空間から任意の点をそのデカルト座標のnタプルにマッピングし、すべてのベクトルをその座標ベクトルにマッピングすることによって。
物理学における力の概念は方向と大きさを持つため、ベクトルとして捉えることができます。例として、右向きの力Fが 15ニュートンである場合を考えてみましょう。正の軸も右向きであれば、Fはベクトル 15 N で表され、正の軸が左向きであれば、 F のベクトルは− 15 Nとなります。どちらの場合も、ベクトルの大きさは 15 N です。同様に、変位 Δ sが 4メートルの場合、そのベクトル表現は方向によって 4 m または− 4 mとなりますが、大きさは方向に関係なく 4 m です。
ベクトルは物理科学において基本的な概念です。ベクトルは、大きさ、方向を持ち、ベクトル加算の規則に従うあらゆる量を表すために使用できます。例として速度があり、その大きさは速さです。例えば、毎秒 5 メートルの速度は、ベクトル (0, 5) で表すことができます (2 次元で、正のy軸が「上」です)。ベクトルで表されるもう 1 つの量は力です。力は大きさと方向を持ち、ベクトル加算の規則に従います。[ 7 ]ベクトルは、線形変位、変位、線形加速度、角加速度、線形運動量、角運動量など、他の多くの物理量も記述します。電場や磁場などの他の物理ベクトルは、物理空間の各点におけるベクトルのシステム、つまりベクトル場として表されます。大きさと方向を持ち、ベクトル加算の規則に従わない量の例としては、角変位と電流があります。したがって、これらはベクトルではありません。
デカルト座標系では、境界ベクトルは始点と終点の座標を特定することによって表現できます。例えば、空間内の点A = (1, 0, 0)と点B = (0, 1, 0) は境界ベクトルを決定します。x軸上の点x =1からy軸上の点y =1への方向を示す。
デカルト座標系では、自由ベクトルは対応する束縛ベクトルによって表すことができ、その束縛ベクトルの始点は原点O = (0, 0, 0)の座標を持ちます。そして、自由ベクトルはその束縛ベクトルの終点の座標によって決定されます。したがって、(1, 0, 0) で表される自由ベクトルは、単位長さのベクトルであり、正のx軸の方向を向いています。
この自由ベクトルの座標表現により、それらの代数的特徴を便利な数値で表現できます。例えば、2つの（自由）ベクトル（1、2、3）と（−2、0、4）の和は（自由）ベクトルです。
幾何学的および物理的な設定では、ベクトルに長さまたは大きさと方向を自然な形で関連付けることができる場合があります。さらに、方向の概念は、2 つのベクトル間の角度の概念と密接に関連しています。2 つのベクトルの内積（2 つのベクトルのスカラー値の積）が定義されていれば、長さも定義できます。内積は、角度（任意の 2 つの非ゼロベクトル間の内積の関数）と長さ（ベクトル自身の内積の平方根）の両方を便利な代数的に特徴付けます。3 次元では、さらに外積を定義することができ、これは、 2 つのベクトル（平行四辺形の辺として使用される）によって定義される平行四辺形の空間における面積と向きを代数的に特徴付けます。任意の次元（特に高次元）において、外積を定義することが可能であり、これは（とりわけ）n個のベクトルによって定義されるn次元平行多面体の空間における面積と向きの代数的特徴付けを提供する。
擬ユークリッド空間では、ベクトルの長さの二乗は正、負、またはゼロになる可能性がある。重要な例としてミンコフスキー空間が挙げられる（これは特殊相対性理論の理解において重要である）。
しかし、ベクトルの長さを定義することは常に可能または望ましいとは限りません。このより一般的なタイプの空間ベクトルは、ベクトル空間（自由ベクトル用）とアフィン空間（束縛ベクトル用、それぞれが「点」の順序対で表される）の対象となります。物理的な例の1つは熱力学にあり、そこでは多くの関心のある量が、長さや角度の概念のない空間内のベクトルとして考えることができます。[ 16 ]
物理学や数学では、ベクトルはしばしば、基底ベクトルのスカラー係数として機能する成分のタプル、つまり数値のリストと同一視されます。基底が回転や伸縮などの変換を受けると、その基底に関する任意のベクトルの成分も逆方向に変換されます。ベクトル自体は変化していませんが、基底が変化するため、ベクトルの成分はそれを補償するように変化する必要があります。ベクトルは、ベクトルの成分の変換が基底の変換とどのように関連しているかに応じて、共変ベクトルまたは反変ベクトルと呼ばれます。一般に、反変ベクトルは、距離（変位など）または距離と他の単位の積（速度や加速度など）を単位とする「通常のベクトル」です。一方、共変ベクトルは、勾配などの距離の逆数を単位とします。単位をメートルからミリメートル（縮尺係数1/1000）に変更すると、1 mの変位は1000 mmになります。これは数値の反変変化です。一方、1 K /mの勾配は0.001 K/mmになります。これは値の共変変化です（詳しくは、ベクトルの共変性と反変性を参照してください）。テンソルもこのように振る舞う量の一種です。ベクトルはテンソルの一種です。
純粋数学において、ベクトルとは、ある体上のベクトル空間の任意の要素であり、しばしば座標ベクトルとして表されます。この記事で説明するベクトルは、周囲の空間に対して反変であるため、この一般的な定義の非常に特殊なケースです。反変性は、ベクトルが「大きさと方向」を持つという考え方の背景にある物理的な直感を捉えています。
ベクトルは通常、小文字の太字で表記されます。、そして、または小文字のイタリック体太字で、aのように表記します。（大文字は通常、行列を表すために使用されます。）その他の表記規則には、または、特に手書きの場合。あるいは、記号の下にチルダ（~）または波線アンダーラインを描く場合もあります。例：は、太字を示すための慣例です。ベクトルが点Aから点Bへの方向付き距離または変位を表す場合（図を参照）、次のように表すこともできます。またはAB。ドイツ文学では、ベクトルを次のような小さなフラクトゥール文字で表すことが特に一般的でした。。
ベクトルは通常、図に示すように、グラフやその他の図表では矢印（方向を持つ線分）として表されます。ここで、点Aは始点、始点、基点、または開始点と呼ばれ、点Bは終点、終点、または終了点と呼ばれます。矢印の長さはベクトルの大きさに比例し、矢印の向きはベクトルの方向を示します。
二次元図において、図の平面に垂直なベクトルが必要となる場合があります。これらのベクトルは、一般的に小さな円で表されます。中心に点のある円（Unicode U+2299 ⊙）は、図の前面から見る人に向かって伸びるベクトルを示します。円の中に十字が内接している円（Unicode U+2297 ⊗）は、図の奥に向かって伸びるベクトルを示します。これらは、矢じりを正面から見るのと、矢の羽根を背面から見るのとに例えることができます。
ベクトルを用いて計算を行う場合、図による表現は煩雑すぎる場合があります。n 次元ユークリッド空間のベクトルは、デカルト座標系における座標ベクトルとして表現できます。ベクトルの端点は、n 個の実数の順序付きリスト ( nタプル) で識別できます。これらの数値は、与えられたデカルト座標系におけるベクトルの端点の座標であり、通常、座標系の軸に対するベクトルのスカラー成分(またはスカラー射影) と呼ばれます。
2次元の例として（図を参照）、原点O = (0, 0)から点A = (2, 3)へのベクトルは、単純に次のように表されます。
ベクトルの始点が原点と一致するという考え方は暗黙のうちに理解できる。したがって、より明示的な表記法は通常は不要とみなされ（実際、ほとんど使用されない）。
3次元ユークリッド空間（またはR 3 ）では、ベクトルはスカラー成分の3つ組と同一視されます。 また、次のように書かれています。
これはn次元ユークリッド空間（またはR n ）に一般化できる。
これらの数値は、特に行列を扱う場合、次のように列ベクトルまたは行ベクトルに配置されることが多い。
n次元空間におけるベクトルの表現方法として、標準基底ベクトルを導入する方法がある。例えば、3次元空間では、標準基底ベクトルは3種類存在する。 これらは、それぞれデカルト座標系のx軸、y軸、z軸 を上向きに指す単位長さのベクトルとして直感的に解釈できます。これらのベクトルを用いて、 R 3の任意のベクトルa は次の形式で表すことができます。
または
ここで、a 1、a 2、a 3は、基底ベクトルまたは同等に、対応するデカルト座標軸x、y、およびz上のaのベクトル成分(またはベクトル射影)と呼ばれ(図を参照)、一方、a 1、a 2、a 3は、それぞれのスカラー成分(またはスカラー射影) です。
入門物理学の教科書では、標準基底ベクトルはしばしば次のように表記されます。代わりに（または帽子のシンボル（通常は単位ベクトルを表す）。この場合、スカラー成分とベクトル成分はそれぞれa x、a y、a zおよびa x、a y、a zで表される（太字で区別する）。したがって、
表記e iは、高等数学、物理学、工学で一般的に使用される添え字表記および総和規約と互換性があります。
前述のように、ベクトルは多くの場合、与えられたベクトルを構成するベクトル成分の集合によって記述されます。通常、これらの成分は、互いに直交する一連の基準軸（基底ベクトル）へのベクトルの射影です。ベクトルは、この基準軸に関して分解または解像されていると言われます。
ベクトルの成分への分解または解像[ 17 ]は一意ではなく、ベクトルが投影される軸の選択に依存します。
さらに、次のようなデカルト単位ベクトルの使用ベクトルを表すための基底として、は必須ではありません。ベクトルは、円筒座標系の単位ベクトル（）または球面座標系（後者の2つの選択肢は、それぞれ円筒対称または球対称を持つ問題を解決するのに便利です。
基底の選択は、ベクトルの性質や変換時の挙動に影響を与えない。
ベクトルは、時間や空間に応じて向きが変化する「固定されていない」基底ベクトルに関して分解することもできます。たとえば、3 次元空間のベクトルは、それぞれ表面に垂直な軸と接する軸の 2 つの軸に関して分解できます (図を参照)。さらに、ベクトルの半径成分と接線成分は、物体の回転半径に関係しています。前者は半径に平行で、後者は半径に直交します。[ 18 ]
このような場合、各コンポーネントは、固定された座標系または基底セット（例えば、グローバル座標系、または慣性参照フレーム）に関して、順に分解されることがあります。
次のセクションでは、基底ベクトルを用いた デカルト座標系を使用します。 また、すべてのベクトルは原点を共通の基点としていると仮定します。ベクトルaは次のように表記されます。
2 つのベクトルは、大きさと方向が同じであれば等しいと言われます。言い換えれば、座標が等しい場合も等しいと言えます。したがって、2 つのベクトルは そして 等しい場合
2 つのベクトルは、大きさが同じで方向が反対の場合、反対になります。[ 19 ]したがって、2 つのベクトルは
そして
反対の場合
2 つのベクトルは、方向が同じで大きさが必ずしも同じではない場合、等方向（または同方向）である。 [ 19 ] 2 つのベクトルは、方向が同じか反対で大きさが必ずしも同じではない場合、平行である。2 つのベクトルは、方向が厳密に反対で大きさが必ずしも同じではない場合、反平行である。 [ a ]
2つのベクトルのaとbの和は次のように定義できます。 結果として得られるベクトルは、aとbの合成ベクトルと呼ばれることもあります。
加算は、矢印bの始点を矢印aの始点に置き、次にaの始点からbの始点へ矢印を描くことで図式的に表すことができます。新しく描かれた矢印は、以下に示すようにベクトルa + bを表します。 [ 7 ]
この加算方法は、aとb が平行四辺形の辺を形成し、a + b が対角線の 1 つであることから、平行四辺形の法則と呼ばれることがあります。aとb が同じ基点を持つ束縛ベクトルである場合、その基点はa + bの基点にもなります。幾何学的にa + b = b + aおよび ( a + b ) + c = a + ( b + c )を確認できます。
aとbの差は
2 つのベクトルの減算は、次のように幾何学的に表すことができます。ベクトル aからベクトルbを減算するには、ベクトルaとベクトルbの始点を同じ位置に置き、ベクトルbの終点からベクトルaの終点へ矢印を引きます。この新しい矢印はベクトル(-b) + aを表し、(-b)はベクトル bの反対ベクトルです(図を参照)。そして、(-b) + a = a − bとなります。
ベクトルは、任意の実数rで乗算、または再スケーリングすることもできます。従来のベクトル代数の文脈では、これらの実数はベクトルと区別するためにスカラー（scaleから）と呼ばれることがよくあります。ベクトルにスカラーを乗算する操作は、スカラー乗算と呼ばれます。結果として得られるベクトルは
直感的に言えば、スカラーrを掛けると、ベクトルはr倍に引き伸ばされます。幾何学的には、（少なくともrが整数の場合）これは、あるベクトルの終点が次のベクトルの始点となるように、 r個のベクトルを一直線上に並べることで視覚化できます。
rが負の場合、ベクトルは方向を変え、180°回転します。以下に2つの例（r = -1とr = 2）を示します。
スカラー乗算は、ベクトル加算に対して次の意味で分配法則を満たします。すべてのベクトルaとbおよびすべてのスカラーrに対して、 r ( a + b ) = r a + r bが成り立ちます。また、 a − b = a + (−1) bも示すことができます。
ベクトルaの長さ、大きさ、またはノルムは、‖ a ‖ またはあまり一般的ではないが | a |で表され、絶対値(スカラー「ノルム」)と混同してはならない。
ベクトルaの長さはユークリッドノルムで計算できます。
これは、基底ベクトルe 1、e 2、e 3が直交単位ベクトルであるため、ピタゴラスの定理の結果である。
これは、後述するベクトルとベクトル自身との内積の平方根に等しい。
単位ベクトルとは、長さが 1 のベクトルのことです。通常、単位ベクトルは単に方向を示すために使用されます。任意の長さのベクトルをその長さで割ると、単位ベクトルを作成できます。[ 15 ]これはベクトルの正規化として知られています。単位ベクトルは、 âのようにハット記号で示されることがよくあります。
ベクトルa = ( a 1 , a 2 , a 3 )を正規化するには、ベクトルの長さの逆数 ‖ a ‖ でスケーリングします。つまり、次のようになります。
ゼロベクトルとは、長さがゼロのベクトルです。座標で表すと、ベクトルは(0, 0, 0)となり、一般的には 0 と表記されます。、0、または単に0。他のベクトルとは異なり、方向は任意または不定であり、正規化できません（つまり、ゼロベクトルの倍数となる単位ベクトルはありません）。ゼロベクトルと任意のベクトルaの和はaです（つまり、0 + a = a）。
2つのベクトルaとbのドット積（内積、または結果がスカラーであるためスカラー積とも呼ばれる）はa ∙ bと表記され、次のように定義される。
ここで、θはaとbの間の角度を表します(コサインの説明については三角関数を参照してください)。幾何学的には、これはaとb が共通の始点で描画され、次にaの長さに、 aと同じ方向を向くbの成分の長さを掛けることを意味します。
ドット積は、各ベクトルの成分の積の合計として定義することもできます。
外積（ベクトル積または外積とも呼ばれる）は、3次元または7次元でのみ意味を持ちます。外積は、2つのベクトルの外積の結果がベクトルであるという点で、内積と大きく異なります。a × bで表される外積は、aとbの両方に垂直なベクトルであり、次のように定義されます。
ここで、θはaとbの間の角度の尺度であり、nはaと b の両方に垂直な単位ベクトルであり、右手系を完成させます。右手系制約が必要なのは、a とbの両方に垂直な単位ベクトルが2つ、すなわちnと (− n )存在するためです。
外積a × bは、 a、b、およびa × bも右手系となるように定義されます（ただし、aとbは必ずしも直交しているとは限りません）。これが右手系です。
a × bの長さは、辺の長さがaとbである平行四辺形の面積として解釈できる。
外積は次のように表すことができます。
空間方向を任意に選択する場合（つまり、左手座標系と右手座標系の両方を許容する場合）、2つのベクトルの外積はベクトルではなく擬似ベクトルになります（下記参照）。
スカラー三重積（ボックス積または混合三重積とも呼ばれる）は、実際には新しい演算子ではなく、他の2つの乗算演算子を3つのベクトルに適用する方法です。スカラー三重積は、( a b c ) と表記されることもあり、次のように定義されます。
これには主に3つの用途があります。まず、ボックス積の絶対値は、3つのベクトルによって定義される辺を持つ平行六面体の体積です。次に、スカラー三重積は、3つのベクトルが線形従属である場合に限りゼロになります。これは、3つのベクトルが体積を形成しないためには、すべてが同一平面上にある必要があることを考慮すると簡単に証明できます。最後に、ボックス積は、3つのベクトルa、b、cが右手系である場合に限り正になります。
（右手系直交基底に関して）3つのベクトルを行（または列、ただし順序は同じ）と考えると、スカラー三重積は、 3つのベクトルを行とする3×3行列の行列式に 等しくなります。
スカラー三重積は、3つの要素すべてに関して線形であり、以下の意味で反対称である。
これまでの例はすべて、同じ基底、すなわちe基底 { e 1 , e 2 , e 3 }で表現されたベクトルを扱ってきました。しかし、ベクトルは、必ずしも互いに整列していない任意の数の異なる基底で表現することができ、それでも同じベクトルのままです。e基底では、ベクトルaは定義により次のように表現されます。
e基底のスカラー成分は、定義により、
eと必ずしも一致しない別の正規直交基底n = { n 1 , n 2 , n 3 } では、ベクトルaは次のように表されます。
また、 n基底のスカラー成分は、定義により、
p、q、r、およびu、v、wの値は、結果として得られるベクトル和がどちらの場合もまったく同じ物理ベクトルaとなるように、単位ベクトルと関連付けられています。異なる基底で既知のベクトル（たとえば、1つの基底は地球に固定され、もう1つの基底は移動する車両に固定されている）に遭遇することはよくあります。このような場合、加算や減算などの基本的なベクトル演算を実行できるように、基底間の変換方法を開発する必要があります。u 、v 、wをp、q、rで表現する1つの方法は、2つの基底を関連付ける情報を含む方向余弦行列とともに列行列を使用することです。このような表現は、上記の式を代入して形成することができます。
ドット乗算を分配すると
各ドット積を固有のスカラーに置き換えると、
これらの式は単一の行列方程式として表現できる。
この行列方程式は、 n基底 ( u、v、w )におけるaのスカラー成分と、 e基底 ( p、q、r ) におけるスカラー成分を関連付けます。各行列要素c jkは、 n jとe kを関連付ける方向余弦です。[ 20 ]方向余弦という用語は、2 つの単位ベクトル間の角度の余弦を指し、これはそれらの内積にも等しくなります。[ 20 ]したがって、
e 1、e 2、e 3をまとめてe基底、 n 1、n 2、n 3をn基底と呼ぶと、すべてのc jkを含む行列は、「eからnへの変換行列」、または「eからnへの回転行列」（ある基底から別の基底へのベクトルの「回転」として考えることができるため）、または「eからnへの方向余弦行列」[ 20 ]（方向余弦を含むため）として知られています。回転行列の性質は、その逆行列がその転置行列と等しくなることです。これは、「 eからnへの回転行列」が「 nからeへの回転行列」の転置行列であることを意味します。
方向余弦行列 C の特性は次のとおりです。[ 21 ]
この方法の利点は、通常、オイラー角または四元数を使用して2つのベクトル基底を関連付けることで方向余弦行列を独立して取得できるため、上記で説明したすべての内積を計算する必要なく、基底変換を直接実行できることです。
複数の行列乗算を連続して適用することにより、連続する基底を関連付ける方向余弦のセットがわかっている限り、任意のベクトルを任意の基底で表現することができる。[ 20 ]
クロス積と三重積を除いて、上記の公式は2次元およびそれ以上の次元に一般化されます。たとえば、加算は2次元に一般化され、次のようになります。 そして4次元では
クロス積は他の次元には容易に一般化できないが、密接に関連する外積は一般化でき、その結果は双ベクトルとなる。2次元ではこれは単なる擬スカラーである。
7次元外積は、その結果が2つの引数に直交するベクトルになるという点で外積と似ていますが、そのような積の中から自然な方法で1つを選択する方法はありません。
ベクトルは物理学をはじめとする様々な科学分野で幅広く利用されている。
抽象的なベクトル空間では、矢印の長さは無次元のスケールに依存します。例えば、力を表す場合、「スケール」は物理的な次元である長さ/力となります。したがって、同じ次元の量間では通常スケールに一貫性がありますが、そうでない場合はスケール比が異なる場合があります。例えば、「1ニュートン」と「5メートル」がどちらも2cmの矢印で表される場合 、スケールはそれぞれ1メートル:50ニュートンと1:250となります。異なる次元のベクトルの長さが等しいことは、図が表すシステムに固有の比例定数がない限り、特に意味を持ちません。また、単位ベクトル（長さの次元であり、長さ/力などではない）の長さは、座標系に依存しない意味を持ちません。
物理学や数学の分野では、ベクトルは時間とともに変化することが多く、つまり時間パラメータtに依存します。例えば、r が粒子の位置ベクトルを表す場合、r ( t )は粒子の軌跡のパラメータ表現となります。ベクトル値関数は、ベクトルの成分を微分または積分することで微分および積分することができ、微積分学でおなじみの多くの規則がベクトル値関数の微分と積分にも適用されます。
3次元空間における点x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) の位置は、原点を基点とする 位置ベクトルとして表すことができる。 位置ベクトルは長さの次元を持ちます。
2点x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) とy = ( y 1 , y 2 , y 3 )が与えられたとき、それらの変位はベクトルである。 これは、 xに対するy の位置を指定するものです。このベクトルの長さは、 xからyまでの直線距離を表します。変位は長さの次元を持ちます。
点または粒子の速度vはベクトルであり、その長さは速度を表します。一定速度の場合、時刻tにおける位置は次のようになります 。 ここで、x₀は時刻t =0における位置を表す。速度は位置の時間微分であり、その次元は長さ/時間である。
力は質量×長さ/時間2 (N ms −2 )の次元を持つベクトルであり、ニュートンの第二法則はスカラー乗算である
ユークリッドベクトルの別の特徴付け、特に物理学では、座標変換の下で特定の方法で振る舞う量のリストとして記述されます。反変ベクトルは、基底の変換の下で「基底とは逆方向に変換される」成分を持つ必要があります。基底が変換されてもベクトル自体は変化しません。代わりに、ベクトルの成分が基底の変化を打ち消すように変化します。言い換えれば、基準軸（およびそこから導出される基底）が一方向に回転した場合、ベクトルの成分表現は逆方向に回転して同じ最終ベクトルを生成します。同様に、基準軸が一方向に引き伸ばされた場合、ベクトルの成分は正確に相殺するように縮小します。数学的には、基底が可逆行列Mで記述される変換を受け、座標ベクトルx がx ′ = M xに変換される場合、反変ベクトルvも同様にv ′ = Mを介して変換されなければなりません。v。この重要な要件は、反変ベクトルを他の物理的に意味のある量の三つ組と区別するものです。たとえば、 v が速度のx、 y、 z成分で構成されている、 vは反変ベクトルです。空間の座標が伸縮、回転、またはねじれていても、速度の成分は同じように変換されます。一方、たとえば、長方形の箱の長さ、幅、高さからなる三つ組は、抽象ベクトルの 3 つの成分を構成することができますが、箱を回転させても箱の長さ、幅、高さは変わらないため、このベクトルは反変ではありません。反変ベクトルの例には、変位、速度、電場、運動量、力、加速度などがあります。
微分幾何学の用語では、ベクトルの成分が座標変換の同じ行列に従って変換されるという要件は、反変ベクトルを反変ランク1のテンソルとして定義することと同等である。あるいは、反変ベクトルは接ベクトルとして定義され、反変ベクトルを変換するための規則は連鎖律から導かれる。
ベクトルの中には、鏡に映すと反転してマイナス符号が付く点を除いて、反変ベクトルのように変換されるものがあります。鏡のように右手系を左手系に、左手系を右手系に反転させる変換は、空間の向きを変えると言われます。空間の向きが変わるとマイナス符号が付くベクトルは、擬似ベクトルまたは軸ベクトルと呼ばれます。通常のベクトルは、擬似ベクトルと区別するために、真ベクトルまたは極ベクトルと呼ばれることもあります。擬似ベクトルは、2つの通常のベクトルの外積として最も頻繁に現れます。
擬似ベクトルの一例として、角速度が挙げられます。車を運転して前方を向いていると、各車輪の角速度ベクトルは左を向いています。もし、車の左右を入れ替える鏡に世界が映ると、この角速度ベクトルの反射像は右を向きますが、車輪の実際の角速度ベクトルは依然として左を向いており、マイナス符号に対応します。擬似ベクトルの他の例としては、磁場、トルク、あるいはより一般的には2つの（真の）ベクトルの外積などが挙げられます。
ベクトルと擬似ベクトルの区別はしばしば無視されるが、対称性の性質を研究する際には重要となる。
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4d592431150c7ec8a51217d87dae2ed1224df2)
