対称性の破れ

物理学 において、対称性の破れとは、無秩序だが対称的な状態が、秩序はあるが対称性の低い状態に崩れる現象である。^[1]この崩壊は、粒子がより低いエネルギー状態に近づくときに起こり得る多くの分岐のうちの1つであることが多い。多くの可能性があるため、観察者は崩壊の結果が任意であると想定する可能性がある。この現象は量子場の理論(QFT) の基礎であり、さらには物理学の現代的理解の基礎でもある。^[2]具体的には、電弱セクターをモデル化する標準モデルの一部を形成するグラショー・ワインバーグ・サラムモデルにおいて中心的な役割を果たしている。

無限系（ミンコフスキー時空）では対称性の破れが発生しますが、有限系（つまり、実際の超凝縮系）では、系の予測は難しくなりますが、多くの場合、量子トンネル効果が発生します。^{[2] [3]}対称性の破れとトンネル効果は、粒子がより低いエネルギーを求めて非対称状態に崩壊することで関連しています。^[4]

対称性の破れは、明示的と自発的の2 つのタイプに区別できます。これらは、運動方程式が不変でなくなるか、基底状態が不変でなくなるかによって特徴付けられます。

このセクションでは、自発的な対称性の破れについて説明します。これは、物理システムの場合、最低エネルギー構成 (真空状態) がシステムの最も対称的な構成ではないという考えです。大まかに言えば、破れる可能性のある対称性には、離散的、連続的、ゲージの 3 つのタイプがあり、技術的な順序が高くなります。

離散対称性を持つシステムの例は、図の赤いグラフで示されています。重力の影響を受けながら、このグラフ上を移動する粒子を考えてみましょう。同様のグラフは、関数 によって表すことができます。このシステムは、y 軸の反射に対して対称です。粒子の定常状態は、丘の頂上、または底 の3 つが可能です。粒子が頂上にある場合、構成は反射対称性に従います。つまり、粒子は反射されても同じ場所に留まります。ただし、最もエネルギーが低い構成は のものです。粒子がこれらのいずれかの構成にある場合、y 軸の反射に対して固定されなくなり、反射によって 2 つの真空状態が入れ替わります。 ${\displaystyle f(x)=(x^{2}-a^{2})^{2}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=\pm a}$${\displaystyle x=\pm a}$

連続対称性の例は、前の例の 3D 類似物、つまり丘の頂上を通る軸の周りでグラフを回転させることによって得られます。または、グラフ で同等に表されます。これは、本質的にはメキシカン ハット ポテンシャルのグラフです。これは、丘の頂上を通る軸の周りの回転によって与えられる連続対称性を持ちます (また、任意の放射状平面を通した反射による離散対称性もあります)。この場合も、粒子が丘の頂上にある場合、回転に対して固定されますが、頂上では重力エネルギーが高くなります。底部では、回転に対して不変ではなくなりますが、重力ポテンシャル エネルギーが最小になります。さらに、回転によって、粒子は 1 つのエネルギー最小構成から別のエネルギー最小構成に移動します。ここには、前の例には見られなかった新しい点があります。つまり、どの真空状態からも、丘の底にある谷の周りを移動することで、わずかなエネルギーで他の真空状態にアクセスすることが可能なのです。一方、前の例では、他の真空にアクセスするには、粒子が丘を越えなければならず、大量のエネルギーが必要でした。 ${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}}$

ゲージ対称性の破れは最も微妙ですが、重要な物理的影響を及ぼします。このセクションでは、大まかに言えば、ゲージ対称性とは、時空内のすべての点に対して連続的な対称性を持つシステムを割り当てることです。ゲージ対称性はゲージ場の質量生成を禁じますが、それでも質量を持つゲージ場 ( W ボソンと Z ボソン) が観測されています。この矛盾を解決するために、自発的な対称性の破れが考え出されました。その考え方は、宇宙の初期段階では、粒子が丘の頂上にあるのと同様に高エネルギー状態にあり、完全なゲージ対称性を持ち、すべてのゲージ場は質量がなかったというものです。冷却すると、真空の選択に落ち着き、対称性が自発的に破れ、ゲージ対称性がなくなり、それらのゲージ場の質量生成が可能になりました。完全な説明は非常に専門的です。電弱相互作用を参照してください。

自発的対称性の破れ(SSB)では、システムの 運動方程式は不変ですが、真空状態 (最低エネルギー状態) は不変ではありません。

2 倍対称性の例として、2 つの真空状態を持つ原子がある場合、これらの状態のいずれかを占有すると、2 倍対称性が破れます。システムが低エネルギーに達すると、状態のいずれかを選択するこの動作が SSB です。これが発生すると、原子は もはや対称 (反射対称) ではなくなり、低エネルギー状態に崩壊します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

このような対称性の破れは、秩序パラメータによってパラメータ化されます。このタイプの対称性の破れの特殊なケースは、動的対称性の破れです。

量子場理論 (QFT) のラグランジアン設定では、ラグランジアンは対称群の作用の下で不変である量子場の関数です。しかし、粒子がより低いエネルギーに崩壊するときに形成される真空の期待値は、の下で不変ではない可能性があります。この例では、 の対称性が部分的に破れ、サブグループ になります。これが自発的な対称性の破れです。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

しかし、ゲージ対称性の文脈では、SSB は、ゲージ場が、ゲージ不変性によって質量がゼロになるはずであるにもかかわらず、質量を獲得する現象です。これは、ゲージ対称性の SSB によってゲージ不変性が破れ、そのような破れによって質量のあるゲージ場の存在が可能になるためです。これは、南部-ゴールドストーン粒子が質量を獲得し、その過程でヒッグス粒子になる可能性があるというゴールドストーンの定理からの重要な例外です。^[5]

さらに、この文脈では、「対称性の破れ」という用法は標準的ではあるものの、誤った呼び方です。ゲージの「対称性」は実際には対称性ではなく、システムの記述における冗長性だからです。数学的には、この冗長性は、基底の選択から生じる冗長性と多少類似した、自明化の選択です。

自発的な対称性の破れは相転移にも関連しています。たとえば、イジングモデルでは、システムの温度が臨界温度以下に下がると真空の対称性が破れ、システムの相転移が生じます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

明示的対称性の破れ(ESB)では、システムを記述する運動方程式は対称性の破れによって変化します。ハミルトン力学またはラグランジアン力学では、ハミルトン (またはラグランジアン) に、与えられた対称性を明示的に破る項が少なくとも 1 つある場合に、これが起こります。

ハミルトニアンの設定では、ハミルトニアンが と書ける場合にこれが研究されることが多いです。 ${\displaystyle H=H_{0}+H_{\text{int}}}$

これは「基本ハミルトニアン」であり、明らかな対称性を持っています。より明確に言えば、これは(リー) 群の作用の下で対称です。多くの場合、これは積分可能なハミルトニアンです。 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle G}$

は摂動または相互作用ハミルトニアンです。これは の作用に対して不変ではありません。多くの場合、小さな摂動パラメータに比例します。 ${\displaystyle H_{\text{int}}}$${\displaystyle G}$

これは本質的に量子力学における摂動論のパラダイムです。その使用例としては、原子スペクトルの微細構造の発見が挙げられます。

対称性の破れは、次のいずれかのシナリオをカバーできます。

• 何らかの構造が一見ランダムに形成されることによって、基礎となる物理法則の正確な対称性が破られること。
• 物理学において、最小エネルギー状態がシステム自体よりも対称性が低い状況。
• 明らかに対称的な状態が不安定であるため、システムの実際の状態がダイナミクスの根本的な対称性を反映していない状況（安定性は局所的な非対称性を犠牲にして得られる）。
• 理論の方程式が特定の対称性を持つ可能性があるが、その解は持たない可能性がある状況 (対称性は「隠されている」)。

物理学の文献で議論された対称性の破れの最初の例の1つは、重力と静水力の平衡にある非圧縮性流体の均一に回転する物体がとる形状に関連しています。ヤコビ^[6]とその後すぐにリウヴィル^[7]は1834年に、回転体の重力エネルギーと比較した運動エネルギーが特定の臨界値を超えたときに、3軸楕円体がこの問題の平衡解であるという事実を議論しました。マクローリン回転楕円体によって示される軸対称性は、この分岐点で破れます。さらに、この分岐点より上で、角運動量が一定の場合、運動エネルギーを最小化する解は、マクローリン回転楕円体ではなく、軸対称でないヤコビ楕円体です。

• ヒッグス機構
• QCD真空
• 1964年 PRL対称性破れ論文

• Wikiquote における対称性の破れに関する引用