重力電磁気学

重力電磁気学（GEM ）は、電磁気学の方程式と相対論的重力との間の一連の形式的な類似性を指します。具体的には、マクスウェル場の方程式と、特定の条件下で有効な一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式の近似値との間の類似性です。重力電磁気学は、移動する電荷の磁気効果に類似した、重力の運動効果を特に指す広く使用されている用語です。 ^{[1] GEMの最も一般的なバージョンは、孤立した発生源から遠く離れた場所、およびゆっくり移動する}テスト粒子に対してのみ有効です。

この類似性と、わずかな要素のみが異なる方程式は、一般相対性理論よりも前の1893年に、オリバー・ヘヴィサイドによってニュートンの万有引力の法則を拡張した別の理論として初めて発表されました。^{[2] [より良い情報源が必要]}

一般相対性理論で記述される重力を弱場極限で近似的に再定式化すると、見かけの場が、自由に移動する慣性体の参照フレームとは異なる参照フレームに現れる。この見かけの場は、電磁気学の電場と磁場のようにそれぞれ動作する 2 つの要素で記述でき、類推により、これらは重力電場と 重力磁場と呼ばれる。これは、移動する電荷が電場と磁場の源であるのと同じように、質量の周囲に発生するからである。重力磁場、つまり速度依存の加速の主な結果は、質量のある回転物体の近くにある移動物体が、純粋なニュートン力学の重力 (重力電場) 場によって予測されるものとは異なる加速を経験することである。落下物体の誘導回転や回転物体の歳差運動などのより微妙な予測は、一般相対性理論の直接テストされる最後の基本予測の 1 つである。

重力磁気効果の間接的な検証は、相対論的ジェットの解析から得られている。ロジャー・ペンローズは、回転するブラックホールからエネルギーと運動量を抽出するために、フレーム・ドラッギング関連の効果に依存するメカニズムを提案した。^{[3]フロリダ大学の}レヴァ・ケイ・ウィリアムズは、ペンローズのメカニズムを検証する厳密な証明を展開した。^[4]彼女のモデルは、レンズ・サーリング効果が、クエーサーと活動銀河核の観測された高エネルギーと光度、極軸の周りのコリメートされたジェット、および（軌道面に対して）非対称なジェットをどのように説明できるかを示した。^{[5] [6]}観測されたこれらの特性はすべて、重力磁気効果の観点から説明できる。^[7]ウィリアムズによるペンローズのメカニズムの応用は、あらゆるサイズのブラックホールに適用できる。^[8]相対論的ジェットは重力磁気論の検証として最大かつ最も明るい形態として機能する可能性がある。

スタンフォード大学のグループは現在^、 GEMの最初の直接テストである重力プローブB衛星実験のデータを分析し、重力磁気学と一致するかどうかを確認しています。^{[ 9 ]}アパッチポイント天文台の月面レーザー測距作戦も重力磁気学の影響を観測する予定です。^{[引用が必要]}

一般相対性理論によれば、回転する物体（または回転する質量エネルギー）によって生成される重力場は、特定の極限ケースでは、古典電磁気学と同じ形式の方程式で記述できます。一般相対性理論の基本方程式であるアインシュタイン場の方程式から始めて、弱い重力場または十分に平坦な時空を仮定すると、電磁気学のマクスウェル方程式の重力類似体である「GEM方程式」を導くことができます。マクスウェル方程式と比較したGEM方程式は次のとおりです。^{[11] [12]}

どこ：

• E _{g は}重力電場（従来の重力場）であり、SI単位はm⋅s ^{−2である。}
• Eは電界である
• B _{g は}重力磁場であり、SI単位はs ^{−1である。}
• Bは磁場
• ρ _{g は}質量密度で、SI単位は kg⋅m ^{−3である。}
• ρは電荷密度
• J _gは質量電流密度または質量流束（J _g = ρ _g v _ρ、ここでv _ρは質量流の速度）であり、SI単位は kg⋅m ⁻² ⋅s ^{−1である。}
• Jは電流密度である
• Gは重力定数である
• ε _{0 は}真空の誘電率である
• c は重力の伝播速度と光の速度の両方です。

ファラデーの電磁誘導の法則 (表の 3 行目) と重力磁場のガウスの法則 (表の 2 行目) は、次のように 重力ポテンシャルとベクトルポテンシャルを定義することで解くことができます。${\displaystyle \phi _{\text{g}}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{g}}:=-{\mbox{grad}}~\phi _{\text{g}}-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t}}=-\nabla ~\phi _{\text{g}}-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t}}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}:={\mbox{rot}}~\mathbf {A} _{\text{g}}=\nabla \times \mathbf {A} _{\text{g}}}$

この 4 つのポテンシャルを重力場のガウスの法則 (表の最初の行) とアンペールの回路法則 (表の 4 行目) に挿入し、ローレンツ ゲージを適用すると、次の不均質波動方程式が得られます。 ${\displaystyle \left(\phi _{\text{g}},\mathbf {A} _{\text{g}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi _{\text{g}}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}~\phi _{\text{g}}=4\pi G\rho _{\text{g}}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}~\mathbf {A} _{\text{g}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{\text{g}}\mathbf {v} }$

定常状態 ( )では、古典的な重力理論のポアソン方程式が得られます。真空 ( )では、非定常条件下で波動方程式が得られます。したがって、GEM は重力波の存在を予測します。このように、GEM はニュートンの重力理論の一般化と見なすことができます。 ${\displaystyle \partial \phi _{\text{g}}/\partial t=0}$${\displaystyle \rho _{\text{g}}=0}$

重力磁気ポテンシャルの波動方程式は、回転する球体（静止している場合）に対しても解くことができ、重力磁気モーメントをもたらします。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

質量mが「小さい」テスト粒子の場合、静止システムでは、GEM フィールドによってその粒子に作用する正味の (ローレンツ) 力は、ローレンツ力方程式の次の GEM 類似体によって記述されます。

どこ：

• vは試験粒子の速度である
• mは試験粒子の質量である
• q は試験粒子の電荷です。

GEMポインティングベクトルは電磁ポインティングベクトルと比較すると次のように表される: ^[13]

文献では重力電場と重力磁場の一貫したスケーリングを採用していないため、比較が困難です。たとえば、マシューンの論文と一致するためには、GEM方程式のB _{gのすべてのインスタンスに-} ⁠1/2カップ⁠およびE _{g を}−1 ずつ減らします。これらの因子は、ローレンツ力の方程式の類似物をさまざまに修正します。すべての GEM 方程式と EM 方程式が完全に類似するようにスケーリングを選択する方法はありません。因子の不一致は、重力場のソースが 2 次の応力エネルギーテンソルであるのに対し、電磁場のソースは 1 次の4 元電流テンソルであるために発生します。この違いは、相対論的質量の非不変性と電荷不変性を比較するとより明確になります。これは、電磁気がスピン 1 場であるのに対し、重力場のスピン 2 特性に起因します。^[14] ( 「スピン 1」場と「スピン 2」場の詳細については、 相対論的波動方程式を参照してください)。

いくつかの高次の重力磁気効果は、より一般的な分極電荷の相互作用を彷彿とさせる効果を再現することができます。たとえば、2 つの車輪が共通の軸上で回転する場合、2 つの車輪間の相互重力引力は、同じ方向に回転する場合よりも反対方向に回転する場合の方が大きくなります^[要出典]。これは、引力または反発力のある重力磁気成分として表現できます。

重力磁気論では、柔軟なまたは流体のトロイダル質量が短軸回転加速（加速する「煙の輪」回転）を受けると、物質をスロートを通して引っ張る傾向があることも予測されている（スロートを通して作用する回転フレームの引きずりの場合）。理論的には、この構成は、物体が重力を受けることなく（スロートを通して）物体を加速するために使用できる可能性がある。^[15]

2 度の回転 (主軸と副軸の両方の回転、両方が裏返しと回転) を持つ円環状の質量を考えてみましょう。これは、重力磁気効果によって物体の周囲にキラルなコルク栓抜きのような重力場が生成される「特別なケース」を表しています。副軸の回転のみを伴うより単純なケースでは、内側と外側の赤道での引きずりに対する反作用力は、通常、大きさと方向がそれぞれ等しく反対であると予想されます。両方の回転が同時に適用されると、これら 2 セットの反作用力は、回転する円環体全体に広がる放射状のコリオリ場の異なる深さで発生すると言えるため、完全に相殺されていることを確認するのが難しくなります。^{[引用が必要]}

この複雑な動作を曲がった時空の問題としてモデル化することはまだ行われておらず、非常に困難であると考えられています。^{[引用が必要]}

均一な密度分布を持つ回転球体は、次のように記述される定常重力磁気ポテンシャルを生成します。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {v} }$

物体の角速度により、物体内部の速度は次のように表される。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

重力磁気ポテンシャルを得るには、を解く必要がある。体外の解析解は（例えば^[16]を参照）である。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}\quad {\text{with}}\quad \mathbf {L} ={\frac {2}{5}}mR^{2}\mathbf {\omega } \quad {\text{or}}\quad L=I_{\text{ball}}\omega ={\frac {2mR^{2}}{5}}{\frac {2\pi }{T}}\quad }$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {L} }$角運動量ベクトルです。
• ${\displaystyle I_{\text{ball}}={\frac {2mR^{2}}{5}}}$球形物体の慣性モーメントです（慣性モーメントの一覧を参照）。
• ${\displaystyle \omega \ }$角速度です。
• mは質量です。
• Rは半径です。
• Tは回転周期です。

重力磁場B _gの式は次のように得られます。

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}=\nabla \times \mathbf {A} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} /r)\mathbf {r} /r}{r^{3}}},}$

これは、レンズ・サーリング歳差運動速度のちょうど半分です。これは、重力磁気における g 因子の類似値は 2 であることを示しています。この2 という因子は、相対論的計算を考慮すると、電子の g 因子と完全に類似していることが説明できます。赤道面では、 rとL は垂直であるため、それらのドット積はゼロになり、この式は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} }{r^{3}}},}$

重力波は重力磁気成分と重力電気成分が等しい。^[17]

したがって、地球の赤道における重力磁場の強さは次のようになります。

${\displaystyle B_{\text{g,Earth}}={\frac {G}{5c^{2}}}{\frac {m}{r}}{\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi rg}{5c^{2}T}},}$

ここで、は地球の重力です。磁場の方向は角モーメントの方向、つまり北と一致します。 ${\displaystyle g=G{\frac {m}{r^{2}}}}$

この計算から、地球の赤道重力磁場の強さは約1.012 × 10 ⁻¹⁴  Hz。^[18]このような磁場は非常に弱いため、検出するには非常に高感度な測定が必要です。このような磁場を測定するための実験の1つが、重力プローブBミッションでした。

上の式をパルサーPSR J1748-2446ad（1秒間に716回自転）に適用すると、半径16km、質量が太陽の2倍と仮定すると、

${\displaystyle B_{\text{g}}={\frac {2\pi Gm}{5rc^{2}T}}}$

約 166 Hz に相当します。これは簡単に気付くでしょう。しかし、パルサーは赤道上で光速の 4 分の 1 で回転しており、その半径はシュワルツシルト半径の3 倍しかありません。このような高速運動と強力な重力場がシステム内に存在する場合、重力磁気力と重力電気力を分離するという単純化されたアプローチは、非常に大まかな近似としてしか適用できません。

マクスウェル方程式はローレンツ変換に対して不変ですが、GEM方程式はそうではありません。ρ _gとj _{g が}4元ベクトルを形成せず（代わりに単に応力エネルギーテンソルの一部である）、この違いの根拠となっています。^[要出典]

GEM はローレンツブーストによって接続された 2 つの異なる参照フレームでほぼ成立する可能性がありますが、電磁気学の変数の場合とは異なり、一方のフレームの GEM 変数をもう一方のフレームの GEM 変数から計算する方法はありません。実際、それらの予測 (自由落下がどのような運動であるか) はおそらく互いに矛盾するでしょう。

GEM 方程式は、ブーストやより一般的な曲線変換では不変ではないものの、平行移動や空間回転では不変であることに注意してください。マクスウェル方程式は、これらすべての座標変換で不変になるように定式化できます。

• 重力探査機B: アインシュタインの宇宙をテストする
• ジャイロスコープの超伝導重力磁気効果に関する欧州宇宙機関（ ESA）の研究の暫定結果に関するニュース
• 重力磁気の探求、Wayback Machineに 2006 年 10 月 9 日にアーカイブ、NASA、2004 年 4 月 20 日。
• 重力磁気ロンドンモーメント – 一般相対性理論の新たなテスト?
• 回転する超伝導体の周りの重力磁気場と加速場の測定 M. Tajmar 他、2006 年 10 月 17 日。
• MGS火星探査機によるレンズ・サーリング効果のテスト、New Scientist、2007年1月。