基本特性 自由（非相互作用）フェルミオン場は正準反交換関係 に従います。つまり、ボソン力学や標準量子力学の交換子 [ a , b ] = ab − ba ではなく、反 交換子{ a , b } = ab + baが関係します。これらの関係は、 相互作用表示 における相互作用フェルミオン場にも当てはまります。相互作用表示では、場は自由場のように時間とともに変化し、相互作用の影響は状態の進化に反映されます。
これらの反交換関係は、場の量子に対するフェルミ・ディラック統計を暗示している。また、これらはパウリの排他原理、すなわち2つのフェルミ粒子が同時に同じ状態を占めることはできないという原理も導く。
ディラック場 スピン1/2フェルミオン場の代表的な例はディラック場 （ポール・ディラック にちなんで名付けられた）であり、次のように表される。ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} ディラック方程式 である。
（ 私 γ μ ∂ μ − m ） ψ （ x ） = 0. {\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,} どこγ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} はガンマ行列 であり、m {\displaystyle m} ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} u （ p ） e − 私 p ⋅ x {\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,} v （ p ） e 私 p ⋅ x {\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,} これらの平面波 解は、フーリエ成分の基礎を形成する。ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)}
ψ α （ x ） = ∫ d 3 p （ 2 π ） 3 1 2 E p ∑ s （ 1 p s u α s （ p ） e − 私 p ⋅ x + b p s † v α s （ p ） e 私 p ⋅ x ） 。 {\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,} ここで、u とv はスピンs とスピノルインデックスでラベル付けされたスピノルである。α ∈ { 0 、 1 、 2 、 3 } {\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}} s = +1/2またはs = −1/2です。エネルギー因子は、ローレンツ不変積分尺度を持つことの結果です。第2量子化 では、ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} 1 p s {\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}} b p s † {\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }} ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} ψ （ y ） † {\displaystyle \psi (y)^{\ダガー }}
{ ψ α （ x ） 、 ψ β † （ y ） } = δ （ 3 ） （ x − y ） δ α β 。 {\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }。 演算子をフェルミ・ディラック統計 と互換性を持たせるために、反交換関係（ボソン場 の場合のように交換関係 ではなく）を課します。展開を導入することでψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} ψ （ y ） {\displaystyle \psi (y)}
{ 1 p r 、 1 q s † } = { b p r 、 b q s † } = （ 2 π ） 3 δ 3 （ p − q ） δ r s 、 {\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,} 非相対論的消滅演算子と生成演算子およびそれらの交換子に類似した方法で、これらの代数は次のような物理的解釈につながる。1 p s † {\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }} 運動量p とスピンsのフェルミオンを生成し、b q r † {\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }} 運動量q とスピンr の反フェルミオンを生成する。一般的な場ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} ψ ¯ = d e f ψ † γ 0 \displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
場のモードが理解され、共役場が定義されると、フェルミオン場のローレンツ不変量を構築することが可能になる。最も単純な量は次の量である。ψ ¯ ψ {\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,} ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} ψ {\displaystyle \psi } は単位 ではないので、その量はψ † ψ {\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi } γ 0 {\displaystyle \gamma ^{0}\,} ローレンツ不変量は次のとおりです。 ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ {\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }
これらの量の線形結合もローレンツ不変であるため、このことから、系のオイラー・ラグランジュ方程式 がディラック方程式を再現するという条件によって、ディラック場のラグランジュ密度が自然に導かれる。
L D = ψ ¯ （ 私 γ μ ∂ μ − m ） ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,} このような式では、添え字が省略されます。添え字を再度挿入すると、完全な式は次のようになります。
L D = ψ ¯ 1 （ 私 γ 1 b μ ∂ μ − m 私 1 b ） ψ b {\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,} ハミルトニアン（エネルギー ）密度は、まず運動量を正準的に定義することによって構築することもできます。 ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} Π （ x ） : {\displaystyle \Pi (x):}
Π = d e f ∂ L D ∂ （ ∂ 0 ψ ） = 私 ψ † 。 {\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.} その定義によればΠ {\displaystyle \Pi }
H D = ψ ¯ [ − 私 γ → ⋅ ∇ → + m ] ψ 、 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,} どこ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} 勾配であり、 γ → {\displaystyle {\vec {\gamma }}} γ {\displaystyle \gamma } ψ {\displaystyle \psi }
式が与えられた場合ψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} 伝播関数を構築することができる。
D F （ x − y ） = ⟨ 0 | T （ ψ （ x ） ψ ¯ （ y ） ） | 0 ⟩ {\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle } フェルミオンの反交換性のため、時間順序 積をマイナス符号で定義する。
T [ ψ （ x ） ψ ¯ （ y ） ] = 定義 θ （ x 0 − y 0 ） ψ （ x ） ψ ¯ （ y ） − θ （ y 0 − x 0 ） ψ ¯ （ y ） ψ （ x ） 。 {\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).} フェルミオン場の平面波展開を上記の式に代入すると、次の式が得られる。
D F （ x − y ） = ∫ d 4 p （ 2 π ） 4 私 （ p / + m ） p 2 − m 2 + 私 ϵ e − 私 p ⋅ （ x − y ） {\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}} ここで、ファインマンのスラッシュ 表記法を用いました。この結果は、係数が
私 （ p / + m ） p 2 − m 2 {\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}} は、作用する演算子の逆ですψ （ x ） {\displaystyle \psi (x)} ローレンツ不変性を 正しく実装し、因果律 を保存しました。
相互作用を含むより複雑な場の理論（例えば、湯川理論 や量子電磁力学 など）も、様々な摂動的および非摂動的な方法によって解析することができる。
ディラック場は標準模型 の重要な要素である。
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![{\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a86a6cdbc9b9bff353526d71ff9a7c8f5d87d8)
![{\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ac160d06109c7d9f2b7846fb41a84fefcc7b4d)
