QCD真空

他の相対論的量子場理論と同様に、QCDは離散対称性CPT（それぞれ実現されている）を含むポアンカレ対称性を持つ。これらの時空対称性に加えて、内部対称性も持つ。QCDはSU(3)ゲージ理論であるため、局所SU(3)ゲージ対称性を持つ。

クォークのフレーバーが多数存在するため、近似的なフレーバー対称性とカイラル対称性を持つ。この近似は、 QCDのカイラル極限を含むと言われている。これらのカイラル対称性のうち、バリオン数対称性は厳密である。破れた対称性の中には、フレーバー群の軸性U(1)対称性が含まれる。これはカイラル異常によって破れる。この異常によって示唆されるインスタントンの存在は、 CP対称性も破る。

要約すると、QCDラグランジアンは以下の対称性を持つ。

• ポアンカレ対称性とCPT不変性
• SU(3)局所ゲージ対称性
• 近似的なグローバルSU( Nf ₎  ×  SU( Nf ₎フレーバーカイラル対称性とU (1)バリオン数対称性

QCDラグランジアンでは、以下の古典的対称性が破れている。

• スケール、すなわち共形対称性（スケール異常を介して）により漸近的自由度が生じる
• U(1)フレーバーのカイラル対称性の軸方向部分（カイラル異常を介して）は、強いCP問題を引き起こします。

系のハミルトニアン（またはラグランジアン）が特定の対称性を持つが、真空が対称性を持たない場合、自発的対称性の破れ（SSB）が起こったと言う。

SSBのよく知られた例は強磁性体である。微視的に見ると、この物質はスピンがゼロでない原子から構成されており、それぞれの原子は小さな棒磁石、すなわち磁気双極子のように振る舞う。隣接する双極子の相互作用を記述する物質のハミルトニアンは、回転に対して不変である。高温では、この物質の大きなサンプルには磁化がない。この場合、ハミルトニアンの対称性がシステムによって実現されていると言える。しかし、低温では、全体的な磁化が生じる可能性がある。この磁化には特定の方向があり、サンプルの北磁極と南磁極を区別することができる。この場合、ハミルトニアンの回転対称性の自発的対称性の破れが生じる。

連続対称性が自発的に破れると、残りの対称性に対応する質量ゼロのボソンが現れる。これはゴールドストーン現象と呼ばれ、これらのボソンはゴールドストーンボソンと呼ばれる。

QCD ラグランジアンのSU( N _f )  ×  SU( N _f ) カイラルフレーバー対称性は、理論の真空状態で破れています。真空状態の対称性は、カイラル群の対角 SU( N _f ) 部分です。この診断は、ゼロでないカイラル凝縮⟨ ψ _i ψ _i ⟩の形成です。ここで、ψ _iはクォーク場演算子であり、フレーバーインデックスiは合計されます。対称性の破れのゴールドストーンボソンは、擬スカラー中間子です。

N _f = 2の場合、つまりアップクォークとダウンクォークのみが質量ゼロとして扱われる場合、3 つのパイ中間子はゴールドストーンボソンになります。ストレンジクォークも質量ゼロとして扱われる場合、つまりN _f = 3の場合、クォークモデルの8 つの擬スカラー中間子すべてがゴールドストーンボソンになります。これらの中間子の実際の質量は、カイラル摂動論において、クォークの（小さな）実際の質量の展開によって得られます。

クォーク物質の他の相では、完全なカイラルフレーバー対称性が回復される場合もあれば、全く異なる方法で破られる場合もある。

実験的には、擬スカラー中間子の八重項の質量は、次に軽い状態、すなわちベクトル中間子の八重項（例えば、ρ中間子）の質量よりもはるかに軽いことがわかっています。QCDのカイラルフレーバー対称性のSSBの最も説得力のある証拠は、これらの擬ゴールドストーンボソンの出現です。これらはカイラル極限では厳密に質量ゼロであったはずです。観測された質量がカイラル摂動論と整合しているという説得力のある実証があります。この議論の内部的整合性は、クォーク質量を変化させ、擬スカラー質量のクォーク質量に対する変化がカイラル摂動論で要求されるとおりであることを確認することができる格子QCD計算によってさらに検証されます。

このSSBのパターンは、クォークモデルの初期の「謎」の1つを解決します。その謎_とは、すべての擬スカラー中間子がほぼ同じ質量を持つはずだったことです。N f = 3 なので、このような中間子は9個あるはずです。しかし、1つ（SU(3)一重項η′中間子）はSU(3)八重項よりもかなり大きな質量を持っています。クォークモデルでは、これには自然な説明がありません。これはη−η′質量分裂と呼ばれる謎です（ηは八重項の1つのメンバーであり、η′と質量が縮退しているはずです）。

QCDでは、η′は軸性U _A (1)に関連付けられており、これはカイラル異常によって明示的に破れているため、ηのように質量が小さく「保護」されていないことがわかり^{ます。η –η′}の質量分裂は^、' t Hooftインスタントン機構^{[ 9 ]によって説明できます。その1} / N実現 は^{、Witten –} Veneziano機構としても知られています 。[ ^{10 ] [ 11 ]}

PCACと電流代数も、このSSBのパターンを裏付ける証拠を提供する。カイラル凝縮の直接的な推定値も、このような解析から得られる。

QCDにおける相関関数の解析方法の一つに、演算子積展開（OPE）があります。これは、非局所演算子の真空期待値を、局所演算子の真空期待値（VEV）の和、すなわち凝縮体として表します。相関関数の値は、凝縮体の値を決定します。多くの個別の相関関数を解析すると、グルーオン凝縮体、クォーク凝縮体、および多くの混合凝縮体や高次凝縮体を含む、いくつかの凝縮体について一貫した結果が得られます。特に、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle (gG)^{2}\right\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left\langle g^{2}G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }\right\rangle &\approx 0.5\;{\text{GeV}}^{4}\\\left\langle {\overline {\psi }}\psi \right\rangle &\approx (-0.23)^{3}\;{\text{GeV}}^{3}\\\left\langle (gG)^{4}\right\rangle &\approx 5:10\left\langle (gG)^{2}\right\rangle ^{2}\end{aligned}}}$

ここで、Gはグルーオン場テンソル、ψはクォーク場、gはQCD結合定数を表す。

これらの解析は、改良された和則推定値と格子QCDにおける直接推定値によってさらに洗練されつつある。これらは、QCD真空のモデルによって説明されなければならない生データを提供する。

サヴィディ真空は、QCD真空のモデルであり、基本的なレベルでは、粒子と場が空である従来のフォック真空ではないという主張である。1977年、ジョージ・サヴィディは^{[ 12 ]}、場の強度がゼロのQCD真空は不安定であり、計算可能なゼロでない場の値を持つ状態に崩壊することを示した。凝縮体はスカラーであるため、真空にはこれらの凝縮体を生み出す、ゼロではないが均質な場が含まれているというのが良い第一近似のように思われる。しかし、スタンレー・マンデルスタムは、均質な真空場も不安定であることを示した。均質なグルーオン場の不安定性は、ニールス・キェア・ニールセンとポール・オーレセンが1978年の論文で論じた。^{[ 13 ]}これらの議論は、スカラー凝縮体が真空の有効な長距離記述であり、QCDスケール以下の短距離では真空に構造がある可能性があることを示唆している。

第二種超伝導体では、電荷がクーパー対に凝縮する。その結果、磁束が管状に圧縮される。QCD真空の双対超伝導体像では、色磁気単極子が双対クーパー対に凝縮し、色電気磁束が管状に圧縮される。その結果、閉じ込めとハドロンの弦理論像が導かれる。この双対超伝導体像は、ジェラルド・ト・フーフトとスタンレー・マンデルスタムによるものである。ト・フーフトはさらに、非可換ゲージ理論の可換射影には磁気単極子が含まれることを示した。

^{オーレセンの1980年のセミナー[ 14 ]}で概説されているように、II型超伝導体の渦は六角形または時折正方形の格子にきちんと配置されているが、QCDでははるかに複雑で動的な構造が予想される。例えば、非可換アブリコソフ・ニールセン・オーレセン渦は激しく振動したり、結び目ができたりする可能性がある。

閉じ込めとハドロンの弦モデルには長い歴史があります。これらは、 2つのメソンの散乱における交差対称性の特定の側面を説明するために最初に考案されました。また、ハドロンのレッジ軌道の特定の性質を記述するのにも役立つことがわかりました。これらの初期の発展は、デュアル共鳴モデル（後に弦理論と改名）と呼ばれる独自の発展を遂げました。しかし、QCDが発展した後も、弦モデルは強い相互作用の物理学において役割を果たし続けました。これらのモデルは、格子QCDの強い結合極限などの特定の近似において、QCDから導出されるはずであるため、非基本弦またはQCD弦と呼ばれます。

このモデルでは、クォークと反クォーク間のカラー電気束は、通常の電気束のようにクーロン場に広がるのではなく、弦状に収縮するとされています。この弦は、通常の弦とは異なる力の法則に従います。弦は一定の張力を持っているかのように振る舞い、両端（クォーク）を分離すると、分離距離に比例してポテンシャルエネルギーが増加します。エネルギーが中間子のエネルギーよりも高くなると、弦は切断され、2つの新しい端がクォーク・反クォーク対となり、中間子の生成が説明されます。このように、閉じ込めは自然にこのモデルに組み込まれています。

このモデルは、ルンドモデルモンテカルロプログラムの形で、電子-電子衝突やハドロン-ハドロン衝突で収集された実験データを説明する上で、目覚ましい成功を収めてきた。

厳密に言えば、これらのモデルは QCD 真空のモデルではなく、物理的な単一粒子量子状態、すなわちハドロンのモデルです。1974 年に A. Chodosらによって最初に提案されたモデル^{[ 15 ]}は、バッグと呼ばれる空間の体積内の摂動真空 にクォークモデルを挿入することから成ります。このバッグの外側には実際の QCD 真空があり、その効果は、真の QCD 真空と摂動真空のエネルギー密度の差 (バッグ定数B ) と、クォーク波動関数とグルーオン場に課せられる境界条件によって考慮されます。ハドロンスペクトルは、クォークについてはディラック方程式、グルーオンについてはヤン・ミルズ方程式を解くことによって得られます。クォークの波動関数は、ローレンツ群に関して無限に深いスカラー型のポテンシャル井戸内のフェルミオンの境界条件を満たします。グルーオン場の境界条件は、デュアルカラー超伝導体のものです。このような超伝導体の役割は、QCDの物理的真空に起因すると考えられている。バッグモデルは、オープンカラー（自由クォーク、自由グルーオンなど）の存在を厳密に禁止しており、特にハドロンの弦モデルにつながる。

カイラルバッグモデル^{[ 16 ] [ 17 ]}は_{、バッグ境界にある}クォークの軸性ベクトル電流ψγ5γμψをバッグ外のパイ中間子場に結合します。最も一般的な定式化では、カイラルバッグモデルは基本的にスキルミオンの内部をクォークのバッグに置き換えます。非常に興味深いことに、核子のほとんどの物理的性質はバッグ半径にほとんど影響されなくなります。典型的には、カイラルバッグのバリオン数はバッグ半径に関係なく整数のままです。外部バリオン数は、スキルミオンソリトンのトポロジカル巻き数密度と同一視され、内部バリオン数は、価クォーク（合計1）とバッグ内のクォーク固有状態のスペクトル非対称性から構成されます。スペクトル非対称性は、バッグ内のすべてのクォーク固有状態について合計した真空期待値⟨ ψ γ ₀ ψ ⟩に他なりません。全質量や軸結合定数g _Aなどの他の値は、バリオン数のように厳密には不変ではありませんが、バッグ半径が核子直径より小さい限り、バッグ半径にほとんど影響を受けません。クォークはバッグ内で自由クォークとして扱われるため、半径非依存性はある意味で漸近的自由の概念を検証します。

別の見解では、BPSTのようなインスタントンがQCD の真空構造において重要な役割を果たしているとされています。これらのインスタントンは、1975 年にAlexander Belavin、Alexander Markovich Polyakov、Albert S. Schwarz、およびYu. S. Tyupkin ^{[ 18 ]}によって、ヤン・ミルズ場方程式の位相的に安定な解として発見されました。これらは、ある真空状態から別の真空状態へのトンネル遷移を表しています。これらのインスタントンは、実際に格子計算で見つかっています。インスタントンを使用して行われた最初の計算では、希薄ガス近似が使用されました。得られた結果は QCD の赤外問題を解決しなかったため、多くの物理学者がインスタントン物理学から離れました。しかしその後、インスタントン液体モデルが提案され、より有望なアプローチであることが判明しました。^{[ 19 ]}

希薄インスタントンガスモデルは、 QCD真空がBPSTのようなインスタントンのガスで構成されているという仮定から出発します。正確には1つまたは少数のインスタントン（または反インスタントン）を持つ解のみが知られていますが、インスタントンと反インスタントンの希薄ガスは、互いに遠く離れた1つのインスタントン解の重ね合わせを考えることで近似できます。ジェラール・ト・フーフトは、このようなアンサンブルの有効作用を計算し、^{[ 20 ]}大きなインスタントンに対して赤外発散を発見しました。これは、無限に多くの無限に大きなインスタントンが真空を満たすことを意味します。

その後、インスタントン液体モデルが研究されました。このモデルは、インスタントンの集合は個々のインスタントンの単なる和では記述できないという仮定から始まります。インスタントン間の相互作用を導入したり、変分法（「バレー近似」など）を使用して正確なマルチインスタントン解をできるだけ正確に近似しようとするさまざまなモデルが提案されています。多くの現象論的な成功が達成されています。^{[ 19 ]}インスタントン液体が3+1次元QCDの閉じ込めを説明できるかどうかはわかりませんが、多くの物理学者はそうではないと考えています。

QCD真空のより最近の像では、中心渦が重要な役割を果たしている。これらの渦は、中心要素を電荷として持つトポロジカル欠陥である。これらの渦は通常、格子シミュレーションを使用して研究され、渦の挙動は閉じ込め-非閉じ込め相転移と密接に関連していることがわかっている。閉じ込め相では渦がパーコレーションして時空体積を満たし、非閉じ込め相では渦は大幅に抑制される。^{[ 21 ]}また、シミュレーションから中心渦を取り除くと弦の張力が消失することが示されており、^{[ 22 ]}中心渦が重要な役割を果たしていることを示唆している。