ジョンソン・ナイキストノイズ

ジョンソン・ナイキスト雑音（熱雑音、ジョンソン雑音、またはナイキスト雑音）は、平衡状態の導電体内の電荷キャリア（通常は電子）の熱擾乱によって生成される電子雑音であり、印加電圧に関係なく発生します。熱雑音はすべての電気回路に存在し、敏感な電子機器（無線受信機など）では微弱な信号をかき消してしまうことがあり、電気測定機器の感度を制限する要因になることがあります。熱雑音は絶対温度に比例するため、電波望遠鏡受信機などの敏感な電子機器の中には、信号対雑音比を改善するために極低温まで冷却されるものがあります。この雑音の一般的な統計的物理的導出は変動散逸定理と呼ばれ、一般化インピーダンスまたは一般化感受率を使用して媒体を特徴付けます。

理想的な抵抗器の熱雑音はほぼ白色で、つまりその電力スペクトル密度は周波数スペクトル全体にわたってほぼ一定です（図2）。有限の帯域幅に制限され、時間領域で見ると（図1に示すように）、熱雑音はほぼガウス分布の振幅分布を持ちます。^[1]

一般的なケースでは、この定義は抵抗器だけでなく、あらゆる種類の伝導媒体（電解質内のイオンなど）の電荷キャリアに適用されます。熱雑音は、電圧が印加され巨視的な電流が流れ始めるときに発生する追加の電流変動で構成される ショット雑音とは異なります。

1905年、アルベルト・アインシュタインの「奇跡の年」の論文の一つで、ブラウン運動の理論が熱揺らぎの観点から初めて解明された。翌年、ブラウン運動に関する2番目の論文で、アインシュタインは同じ現象を熱揺らぎの流れを導くために応用できると示唆したが、検証不可能であると判断して計算は行わなかった。^[2]

ヘンドリック・ローレンツの娘であるゲルトリューダ・デ・ハース＝ローレンツは、1912年の博士論文で、アインシュタインの確率論を拡張し、初めて電子の研究に応用して、熱流の平均二乗値の式を導き出しました。^{[2] [3]}

ウォルター・H・ショットキーは1918年にこの問題を研究し、アインシュタインの理論を用いて熱雑音を研究しているときに、実験的に別の種類の雑音であるショット雑音を発見した。^[2]

電気計測学に携わっていたフリッツ・ゼルニケは、高感度ガルバノメータを操作中に、異常なランダムな偏向を発見した。彼は、ノイズが機械的なものであるという考えを否定し、熱によるものだと結論付けた。1927年、彼は電気測定に自己相関の概念を導入し、時間検出限界を計算した。彼の研究は、ド・ハース＝ローレンツの予測と一致した。^[2]

同年、ベル研究所で働いていたジョン・B・ジョンソンはゼルニケの研究について全く知らないまま独自に通信システムで同じ種類のノイズを発見したが、それを周波数の観点から説明した。^{[4] [5] [2]彼はベル研究所の}ハリー・ナイキストに発見を説明し、ナイキストは熱力学と統計力学の原理を用いてその結果を説明し、1928年に出版した^。[6]

ジョンソンの実験（図1）では、ケルビン温度で周波数帯域に制限された抵抗からの熱雑音（図3）の平均二乗電圧は次のようになることがわかった。^[5]${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}$

ここでボルツマン定数（${\displaystyle k_{\rm {B}}}$1.380 649 × 10 ⁻²³ ジュール/ケルビン）。この式は、極端でない周波数と温度での理想的な抵抗器（つまり、周波数依存性のない純粋な抵抗）に適用されますが、より正確な一般的な形式は、複素インピーダンスと量子効果を考慮に入れています。従来の電子機器は、通常、より制限された帯域幅で動作するため、ジョンソンの式で十分な場合がよくあります。

帯域幅1ヘルツあたりの平均二乗電圧は、パワースペクトル密度と呼ばれることもあります（図2）。^[注1]室温（約300 K）での平方根は、単位が0.13に近似します。${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$${\displaystyle {\sqrt {R}}}$ナノボルト/√ヘルツたとえば、10kΩの抵抗器の場合、約13  ⁠ナノボルト/√ヘルツ⁠室温で。

平均二乗電圧の平方根は、帯域幅全体で観測される実効二乗平均(RMS) 電圧になります。 ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\overline {V_{n}^{2}}}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}}\,.}$

熱雑音のある抵抗器は、上記の RMS 電圧を持つ ガウス雑音電圧源と直列に接続された雑音のない抵抗器で構成されるテブナン等価回路 (図 4B)で表すことができます。

室温付近では、3 kΩ は 20 kHz (人間の可聴範囲) にわたってほぼ 1 マイクロボルトの RMS ノイズを発生し、60 Ω·Hz ではほぼ 1 ナノボルトの RMS ノイズに相当します。 ${\displaystyle R\,\Delta f}$

熱雑音のある抵抗器は、次の RMS 電流を持つ ガウス雑音電流源と並列に接続された雑音のない抵抗器で構成されるノートン等価回路 (図 4C)に変換することもできます。

${\displaystyle I_{\text{rms}}={V_{\text{rms}} \over R}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.}$

理想的なコンデンサは、損失のないデバイスなので、熱雑音はありません。しかし、抵抗器とコンデンサの組み合わせ（RC回路、一般的なローパスフィルタ）には、 kTC雑音と呼ばれるものがあります。RC回路の雑音帯域幅は^{[7]です。これを熱雑音方程式に代入すると、}抵抗値（R ） が方程式から外れるため、結果は非常に単純な形になります。これは、 Rが高くなると、雑音が増加するのと同程度に帯域幅が減少する ためです。${\displaystyle \Delta f{=}{\tfrac {1}{4RC}}.}$

このようなフィルタで生成される平均二乗ノイズ電圧とRMSノイズ電圧は次の通りである: ^[8]

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}={k_{\text{B}}T \over C}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

ノイズ電荷は 静電容量と電圧の積 です。${\displaystyle Q_{n}}$

${\displaystyle Q_{n}=C\,V_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}$

${\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}\,{\overline {V_{n}^{2}}}=C^{2}{k_{\text{B}}T \over C}=k_{\text{B}}TC}$

この電荷ノイズが「 kTCノイズ」という用語の由来です。抵抗器の値とは無関係ですが、kTCノイズの 100% は抵抗器で発生します。したがって、抵抗器の熱ノイズとそれに関連する kTC ノイズの両方を二重にカウントするのは誤りであり、^[7]抵抗器とコンデンサの温度が異なる場合でも、抵抗器の温度のみを使用する必要があります。いくつかの値を以下に表に示します。

極端なケースは、理想的なスイッチを開くことによってコンデンサに残るリセット ノイズと呼ばれるゼロ帯域幅の制限です。理想的なスイッチのオープン抵抗は無限大ですが、式は依然として適用されます。ただし、帯域幅がゼロのときは電圧が一定であるため、RMS 電圧は時間平均としてではなく、多数のこのようなリセット イベントの平均として解釈する必要があります。この意味で、RC 回路のジョンソン ノイズは、抵抗器が関与していなくても、コンデンサ上の電子数の熱力学的分布の影響として固有のものであると見なすことができます。

ノイズはコンデンサ自体によって発生するのではなく、コンデンサの電荷量の熱力学的変動によって発生します。コンデンサが導電回路から切断されると、熱力学的変動は上記のように標準偏差を持つランダムな値で固定されます。静電容量センサーのリセット ノイズは、多くの場合、画像センサーなどの制限的なノイズ源となります。

熱平衡にあるあらゆるシステムは、平均エネルギーが⁠の状態変数を持つ。kT/2⁠自由度あたり。コンデンサのエネルギーの式（E  = ⁠）を使用すると、1/2⁠ CV ²）、コンデンサ上の平均ノイズエネルギーも次のように表される。 ⁠1/2⁠ C ⁠kT/Ｃ⁠ = ⁠kT/2⁠ . コンデンサの熱ノイズは、抵抗を考慮せずにこの関係から導き出すことができます。

ジョンソン・ナイキストノイズは精密測定に応用されており、一般的に「ジョンソンノイズ温度測定」と呼ばれています。^[9]

例えば、NISTは2017年にジョンソン雑音温度測定法を用いて、ボルツマン定数を3 ppm未満の不確かさで測定した。これは、ジョセフソン電圧標準と量子ホール抵抗器を使用し、水の三重点温度に保持することで達成された。電圧は100日間にわたって測定され、積分される。^[10]

これは2017年に行われたもので、当時は水の三重点は定義上273.16 Kであり、ボルツマン定数は実験的に測定可能でした。音響ガス温度測定の不確かさは0.2 ppmに達し、ジョンソンノイズは2.8 ppmに達したため、再定義の前提条件を満たしていました。2019年の再定義後、ケルビンはボルツマン定数が1.380649×10 ⁻²³ J⋅K ^−1となるように定義され、水の三重点は実験的に測定可能になりました。^{[11] [12] [13]}

インダクタはコンデンサの双対です。kTCノイズと同様に、インダクタと抵抗器の組み合わせは抵抗値に依存しないノイズ電流を生じます。^[14]${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\overline {I_{n}^{2}}}={k_{\text{B}}T \over L}\,.}$

抵抗器で発生したノイズは、残りの回路に伝わることがあります。最大の電力伝達は、残りの回路のテブナン等価抵抗が一致するときに発生します。^[14]この場合、2つの抵抗器のそれぞれが、それ自体ともう一方の抵抗器の両方でノイズを消散させます。これらの抵抗器のいずれかで電源電圧の半分しか降下しないため、この最大ノイズ電力伝達は次のようになります。 ${\displaystyle R_{\text{S}}}$${\displaystyle R_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle R_{\text{S}}}$

${\displaystyle P_{\text{max}}=k_{\text{B}}\,T\Delta f\,.}$

この最大値は抵抗値とは無関係であり、抵抗器から得られるノイズ電力と呼ばれます。 ^[14]

信号電力は、多くの場合、dBm（ 1ミリワットに対するデシベル）で測定されます。したがって、利用可能なノイズ電力はdBmになります。室温（300 K）では、利用可能なノイズ電力は、ヘルツ単位の帯域幅に対してdBmとして簡単に近似できます。 ^{[14] [15] ：260} dBmでの利用可能なノイズ電力の例を以下に表に示します。 ${\displaystyle 10\ \log _{10}({\tfrac {k_{\text{B}}T\Delta f}{\text{1 mW}}})}$${\displaystyle 10\ \log _{10}(\Delta f)-173.8}$

ナイキストの 1928 年の論文「導体内の電荷の熱的振動」^[6]では、ボルツマンとマクスウェルの等分配法則^[16]からの位置エネルギーと調和振動子の概念を使用して、ジョンソンの実験結果を説明しました。ナイキストの思考実験は、 2 つの等しい抵抗器 ( ) 間の長い無損失伝送線路上の各定在波振動モードのエネルギー寄与を合計しました。図 5 の結論によると、帯域幅全体で から転送され、 によって吸収される平均電力の合計は次のように決定されました。 ${\displaystyle R_{1}{=}R_{2}}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle {\overline {P_{1}}}=k_{\rm {B}}T\,\Delta f\,.}$

オームの法則を単純に適用すると、（ の熱電圧ノイズのみ）から合成抵抗を通過する電流は となるので、からに伝達される電力はこの電流の2乗に を掛けたものとなり、次のように簡略化される：^[6]${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\textstyle I_{1}{=}{\tfrac {V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{=}{\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}} }$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle P_{\text{1}}=I_{1}^{2}R_{2}=I_{1}^{2}R_{1}=\left({\frac {V_{1}}{2R_{1}}}\right)^{2}R_{1}={\frac {V_{1}^{2}}{4R_{1}}}\,.}$

これを前の平均電力式と同じに設定すると、その帯域幅で の平均を解くことができます。${\textstyle P_{\text{1}}}$${\textstyle {\overline {P_{1}}}}$${\textstyle V_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\overline {V_{1}^{2}}}=4k_{\text{B}}T{R_{1}}\,\Delta f\,.}$

ナイキストは同様の推論を用いて、非等インピーダンスや複素インピーダンスにも適用される一般化された表現を提供した。そして、ナイキストは上記の式を古典理論に従って使用したが、論文の結論ではプランク定数（量子力学の新理論による）を組み込んだより複雑な表現の使用を試みた。^[6]${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle h}$

上記の電圧ノイズは、低周波数から中周波数の純粋な抵抗コンポーネントの特殊なケースです。一般に、熱電気ノイズは、変動散逸定理の結果として、より一般的な多くの電気ケースで抵抗応答と関連しています。以下にさまざまな一般化を示します。これらの一般化にはすべて、検討対象の電気コンポーネントが純粋に受動的で線形である場合にのみ適用されるという共通の制限があります。 ${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$

ナイキストの原論文では、コンデンサやインダクタを含むソースなど、部分的にリアクティブ応答を持つコンポーネントの一般化されたノイズも提供されました。 ^{[6]このようなコンポーネントは、周波数依存の複素}電気インピーダンス で記述できます。直列ノイズ電圧の パワースペクトル密度の式は、${\displaystyle Z(f)}$

${\displaystyle S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].}$

非常に高い周波数または絶対零度に近い場合を除き、関数はおよそ 1 です (以下を参照)。 ${\displaystyle \eta (f)}$

インピーダンスの実数部は一般に周波数に依存するため、ジョンソン・ナイキスト雑音は白色雑音ではありません。周波数範囲にわたる RMS 雑音電圧は、パワースペクトル密度の積分の平方根を取ることで求められます 。${\displaystyle \operatorname {Re} [Z(f)]}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}$。

あるいは、並列ノイズ電流を使用してジョンソンノイズを記述することができ、そのパワースペクトル密度は

${\displaystyle S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].}$

は電気アドミタンスである。${\displaystyle Y(f){=}{\tfrac {1}{Z(f)}}}$${\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)]{=}{\tfrac {\operatorname {Re} [Z(f)]}{|Z(f)|^{2}}}\,.}$

量子効果（非常に高い周波数や絶対零度に近い非常に低い温度に関係する）を適切に考慮すると、前述の乗数は一般に次のように表される。 ^[17]${\displaystyle \eta (f)}$

${\displaystyle \eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {hf}{k_{\text{B}}T}}\,.}$

非常に高い周波数 ( ) では、関数は指数関数的にゼロまで減少し始めます。室温では、この遷移はテラヘルツで発生し、従来の電子機器の能力をはるかに超えるため、従来の電子機器の動作に対して 設定することは有効です。${\displaystyle f\gtrsim {\tfrac {k_{\text{B}}T}{h}}}$${\displaystyle \eta (f)}$${\displaystyle \eta (f)=1}$

ナイキストの公式は、1901年にプランクが1次元の黒体の電磁放射について導出した公式と本質的に同じです。つまり、プランクの黒体放射の法則の1次元バージョンです。^[18]言い換えれば、熱い抵抗器は、熱い物体が自由空間で電磁波を生成するのと同じように、伝送線路上に電磁波を生成します。

1946年、ロバート・H・ディッケはこの関係を詳しく説明し^{[19] 、さらにアンテナの特性、特にすべての異なる方向の平均}アンテナ開口は（λは波長）より大きくすることはできないという事実と結び付けました。これは、3Dプランクの法則と1Dプランクの法則の周波数依存性の違いに由来します。 ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}$

リチャード・Q・トウィスは、ナイキストの公式を、サーキュレータやアイソレータなどの非可逆デバイスを含むマルチポート受動電気ネットワークに拡張しました。^{[20]熱雑音はすべてのポートに現れ、各ポートに直列に接続されたランダムな直列電圧源として記述できます。異なるポートのランダム電圧は相関している可能性があり、その振幅と相関は、異なる雑音電圧を関連付ける}クロススペクトル密度関数 のセットによって完全に記述されます。

${\displaystyle S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})}$

ここで、 はインピーダンス行列の要素です。ここでも、ノイズの別の記述は、各ポートに適用される並列電流源の観点から行われます。それらのクロススペクトル密度は次のように与えられます。 ${\displaystyle Z_{mn}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})}$

ここでアドミタンス行列です。 ${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}}$

• 変動散逸定理
• ショットノイズ
• ピンクノイズ
• ランジュバン方程式
• 上昇気流

 この記事には、連邦規格 1037Cのパブリック ドメイン マテリアルが組み込まれています。一般調達局。2022 年 1 月 22 日にオリジナルからアーカイブされました。( MIL-STD-188 をサポート)。

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