通常注文

ボソンの種類が1種類しかない場合、注目すべき演算子は2つあります。

• $\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$：ボソンの生成演算子。
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$：ボソンの消滅演算子。

これらは交換子関係を満たす

$\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

どこ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$は交換子を表します。最後の式は次のように書き換えることができます。$\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}$

ここで考えてみると${\displaystyle N}$異なるボソンが存在する${\displaystyle 2N}$オペレーター:

• $\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$: その${\displaystyle i^{th}}$ボソンの生成演算子。
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$: その${\displaystyle i^{th}}$ボソンの消滅演算子。

ここ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$。

これらは交換関係を満たす。

$\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

$\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

どこ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$そして$\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタを表します。

これらは次のように書き換えることができます。

$\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}$

$\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}$

ボソン演算子関数の通常の順序付け${\displaystyle f({\hat {n}})}$職業番号演算子付き${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}$（下降）階乗を用いて実現できる。${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}$テイラー級数の代わりにニュートン級数: 階乗のべき乗は簡単に示せる ^{[ 1 ]}$\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}$正規順序（生）べき乗に等しい${\displaystyle {\hat {n}}^{k}}$したがって、構造上、通常の順序になっている。

${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\短剣 k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}$

ニュートン級数展開

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}$

演算子関数の$\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$、 と${\displaystyle k}$- 番目のフォワード差分${\displaystyle \Delta _{n}^{k}{\チルダ {f}}(0)}$で${\displaystyle n=0}$は常に正規順序である。ここで、固有値方程式${\displaystyle {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle }$関連する${\displaystyle {\hat {n}}}$そして${\displaystyle n}$。

その結果、任意の関数の正規順序テイラー級数は${\displaystyle f({\hat {n}})}$関連関数のニュートン級数に等しい$\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$満たす

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}$

テイラー級数の級数係数が${\displaystyle f(x)}$連続的に${\displaystyle x}$ニュートン級数の係数を一致させる$\displaystyle {\tilde {f}}(n)}$整数${\displaystyle n}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}$

と${\displaystyle k}$の偏導関数$\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)$で${\displaystyle x=0}$機能${\displaystyle f}$そして$\displaystyle {\tilde {f}}}$いわゆる正規順序変換によって関連付けられる${\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}$によると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}}$

これはメリン変換を用いて表現できる。$\displaystyle {\mathcal {M}}}$詳細は^{[ 1 ]}を参照のこと。

単一のフェルミオンに対しては、2つの演算子が重要となる。

• $\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$: フェルミオンの生成演算子。
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$: フェルミオンの消滅演算子。

これらは反交換関係を満たす

$\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

$\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

$\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

どこ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$は反交換子を表す。これらは次のように書き換えることができる。

$\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

$\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}$

フェルミオン生成消滅演算子の積の正規順序を定義するには、隣接する演算子間の交換の数を考慮する必要があります。このような交換ごとにマイナス符号が付きます。

のために${\displaystyle N}$異なるフェルミオンが存在する${\displaystyle 2N}$オペレーター:

• $\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$: その${\displaystyle i^{th}}$フェルミオンの生成演算子。
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$: その${\displaystyle i^{th}}$フェルミオンの消滅演算子。

ここ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$。

これらは反交換関係を満たす。

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

どこ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$そして${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタを表します。

これらは次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}$

フェルミオン演算子の積の通常の順序を計算する際には、式を並べ替えるために必要な隣接する演算子の交換回数を考慮しなければなりません。これは、生成演算子と消滅演算子が反交換関係にあると仮定し、生成演算子が左側に、消滅演算子が右側になるように式を並べ替えるのと似ています。このときも常に反交換関係を考慮しています。

2つの自由場φとχで、

${\displaystyle$ :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }

どこ${\displaystyle |0\rangle }$は再び真空状態です。右辺の 2 つの項はそれぞれ、y が x に近づく極限で通常は発散しますが、それらの差には明確な極限があります。これにより、:φ(x)χ(x): を定義できます。

ウィックの定理は、時間順に積された${\displaystyle n}$フィールドと通常の順序付き積の合計。これは次のように表現できます。${\displaystyle n}$たとえ

${\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle$ :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle  :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}

ここで、総和は、フィールドをペアにするすべての異なる方法について取られます。結果は次のようになります。${\displaystyle n}$最後の行を除いて、見た目は同じです。

${\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}$

この定理は、演算子の時間順序積の真空期待値を計算する簡単な方法を提供し、正規順序付けの導入の動機となった。