動機と用途 ヘルムホルツ方程式は、空間と時間の両方における偏微分方程式 （PDE）を含む物理問題を研究する際によく現れる。ヘルムホルツ方程式は、波動方程式 の時間非依存形を表しており、 変数分離 法を適用することで解析の複雑さを軽減できる。
例えば、波動方程式を考えてみよう。 （ ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ） u （ r 、 t ） = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}
変数分離は、波動関数u ( r , t )u （ r 、 t ） = A （ r ） T （ t ） 。 {\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}
この形式を波動方程式に代入して簡略化すると、次の式が得られます。 ∇ 2 A A = 1 c 2 T d 2 T d t 2 。 {\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.}
左辺の式はr t のみに依存することに注目してください。したがって、この方程式は、両辺が同じ定数に等しい場合に限り、一般的に有効です。この議論は、変数分離法による線形偏微分方程式の解法において重要な鍵となります。この観察から、A ( r )とT ( t ) の2 つの方程式が得られます。∇ 2 A A = − k 2 {\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}} 1 c 2 T d 2 T d t 2 = − k 2 、 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},}
ここで、一般性を損なうことなく、定数の値として− k 2 という式を選択しました。（分離定数として任意の定数kを使用しても同様に有効です。− k 2 は、 結果として得られる解の便宜上選択されたものです。）
最初の式を整理すると、（同次）ヘルムホルツ方程式が得られる。 ∇ 2 A + k 2 A = （ ∇ 2 + k 2 ） A = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}
同様に、 ω = kc k は波数 、ωは 角周波数 である（単色場を仮定））、2 番目の式は次のようになる。
d 2 T d t 2 + ω 2 T = （ d 2 d t 2 + ω 2 ） T = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}
これで、空間変数r 微分方程式 が得られました。時間に関する解は正弦関数 と余弦 関数の線形結合 となり、その正確な形式は初期条件によって決定されます。一方、空間に関する解の形式は境界条件 に依存します。あるいは、ラプラス変換 やフーリエ変換 などの積分変換が、双曲 型偏微分方程式を ヘルムホルツ方程式の形式に変換するためによく使用されます。
ヘルムホルツ方程式は波動方程式と関連しているため、電磁放射 の研究、地震学 、音響学といった 物理学 の分野における問題に現れる。
変数分離法を用いてヘルムホルツ方程式を解く 空間ヘルムホルツ方程式の解： ∇ 2 A = − k 2 A {\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A} 変数分離法 を用いることで、単純な形状に対しては得られる。
振動膜 振動する弦の2次元版は、端が固定されて動かない振動膜である。ヘルムホルツ方程式は19世紀に多くの基本的な形状について解かれた。長方形の膜は1829年にシメオン・ドニ・ポアソン によって、正三角形の膜は1852年にガブリエル・ラメ によって、円形の膜は1862年にアルフレッド・クレブシュによって解かれた。楕円形の太鼓の皮は エミール・マチュー によって研究され、マチューの微分方程式 につながった。
形状の辺が直線セグメントである場合、解が積分可能または閉形式で既知となるのは、境界条件（境界でゼロ、すなわち膜が固定されている）を満たす平面波の有限線形結合として表現できる場合に限られます。
領域が半径a の円である場合、極座標r とθ を導入するのが適切である。ヘルムホルツ方程式は次の形式をとる。 ∂ 2 A ∂ r 2 + 1 r ∂ A ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 A ∂ θ 2 + k 2 A = 0 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial \theta ^{2}}}+k^{2}A=0\,.}
r = a A が ゼロになるという境界条件を課すことができる。したがって A （ 1 、 θ ） = 0 。 {\displaystyle A(a,\theta )=0\,.}
変数分離法は、次の形式の試行解をもたらす。 A （ r 、 θ ） = R （ r ） Θ （ θ ） 、 {\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\,\Theta (\theta )\,,} Θは 周期 2πの 周期関数でなければならない。 これにより、
Θ 」 + n 2 Θ = 0 、 {\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,} r 2 R 」 + r R ′ + r 2 k 2 R − n 2 R = 0 ; {\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}Rn^{2}R=0;} d R （ r ） d r ≡ R ′ （ r ） 、 {\textstyle {\frac {dR(r)}{dr}}\equiv R'(r)\,,} d Θ （ θ ） d θ ≡ Θ ′ （ θ ） 、 {\textstyle {\frac {d\Theta (\theta )}{d\theta }}\equiv \Theta '(\theta )\,,}
周期条件から次のことが導かれる。 Θ = α コス （ n θ ） + β 罪 （ n θ ） 、 {\displaystyle \Theta =\alpha \cos(n\theta )+\beta \sin(n\theta )\,,} n は整数でなければならない。動径成分R は次の形式をとる 。R = γ J n （ ρ ） 、 {\displaystyle R=\gamma \,J_{n}(\rho )\,,} ベッセル関数 J n ( ρ )z 2 J n 」 + z J n ′ + （ z 2 − n 2 ） J n = 0 、 {\displaystyle z^{2}J_{n}''+z\,J_{n}'+(z^{2}-n^{2})\,J_{n}=0\,,} z = kr である J n は 、 n の各値に対して無限に多くの根を持ち、 ρ m , n = a A が ゼロになるという境界条件は、対応する波数で与えられる場合に満たされる 。 k m 、 n = 1 1 ρ m 、 n 。 {\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\,\rho _{m,n}\,.}
一般解A は、 J n ( k m,n r )と n θ 一般化フーリエ級数 の形をとります。これらの解は、円形ドラムヘッドの振動 モードです。
三次元ソリューション 球面座標系における解は次のようになります。
A （ r 、 θ 、 φ ） = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ + ℓ [ 1 ℓ m j ℓ （ k r ） + b ℓ m y ℓ （ k r ） ] Y ℓ m （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{+\ell }\left[a_{\ell m}\,j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}\,y_{\ell }(kr)\right]Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )~.}
この解は、波動方程式 と拡散方程式 の空間解から得られる。ここで、j ℓ ( kr )y ℓ ( kr )は球面ベッセル関数 であり、Y m ℓ θ , φ )は球面調和関数 である。これらの形式は一般的な解であり、特定のケースで使用するには境界条件を 指定する必要があることに注意されたい。無限外部領域の場合、放射条件 も必要となる場合がある。
r 0 = ( x , y , z )A ( r 0 )A （ r 0 ） ⟶ e 私 k r 0 r 0 f （ r 0 r 0 、 k 、 u 0 ） + o （ 1 r 0 ） として r 0 → ∞ {\displaystyle A(r_{0})~\longrightarrow ~{\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\,f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)~+~o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right)\quad {\text{ as }}~r_{0}\to \infty }
ここで、関数f は散乱振幅と呼ばれ、u 0 ( r 0 )r 0 におけるA の値です。
2次元平面上の関数が与えられた場合の3次元解 A が既知の2次元平面が与えられた場合、ヘルムホルツ方程式の解は次のように与えられる。A （ x 、 y 、 z ） = − 1 2 π ∬ − ∞ + ∞ A ′ （ x ′ 、 y ′ ） e 私 k r r z r （ 私 k − 1 r ） d x ′ d y ′ 、 {\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y')\,{\frac {e^{ikr}}{r}}\,{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)dx'\,dy'\,,}
どこ
A ′ （ x ′ 、 y ′ ） {\displaystyle A'(x',y')} r = （ x − x ′ ） 2 + （ y − y ′ ） 2 + z 2 、 {\textstyle r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2}}}\,,} zが ゼロに近づくと、 r = 0A （ x 、 y 、 0 ） = A ′ （ x 、 y ） {\displaystyle A(x,y,0)=A'(x,y)} 1 であることが確認できる。（ ρ 、 θ ） 。 {\displaystyle \left(\rho ,\theta \right).}
この解は回折理論において重要であり、例えばフレネル回折 を導出する際に重要となる。
近軸近似 ヘルムホルツ方程式の近軸近似 では、 複素振幅 A は次のように表される。 A （ r ） = u （ r ） e 私 k z {\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )\,e^{ikz}} u は 指数因子で表される正弦波平面波を変調する複素数値振幅を表す。適切な仮定の下で、u は 近似的に次の式を満たす。 ∇ ⊥ 2 u + 2 私 k ∂ u ∂ z ≈ 0 、 {\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik\,{\frac {\partial u}{\partial z}}\approx 0\,,} ∇ ⊥ 2 ≡ ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 \nabla_{\perp}^2\equiv{\frac{\partial^2}{\partialx^2}}}+{\frac{\partial^2}{\partialy^2}}}} は、ラプラシアン の2次元( x , y ) 横断部分です。
この方程式は光学 の分野で重要な応用があり、電磁波 （光）の伝播を放物面 波またはガウスビーム のいずれかの形で記述する解を提供する。ほとんどのレーザーは 、このような形のビームを放出する。
近軸近似が成り立つための仮定は、振幅関数uの z微分が z の緩やかに変化する関数であるということである。
| ∂ 2 u ∂ z 2 | 〜 | k ∂ u ∂ z | 。 \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ \ll \ \left|k\ {\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.}
この条件は、波数ベクトル k z の間の角度θ が小さいこと、つまりθ ≪ 1 で あることと同等です。
ヘルムホルツ方程式の近軸形式は、上記の複素振幅の式をヘルムホルツ方程式の一般形に代入することによって次のように求められます。
∇ 2 （ u （ x 、 y 、 z ） e 私 k z ） + k 2 u （ x 、 y 、 z ） e 私 k z = 0 。 {\displaystyle \nabla ^{2}{\Bigl (}u\!\left(x,y,z\right)e^{ikz}{\Bigr )}+k^{2}u\!\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0~.}
展開と消去により、以下の式が得られます。
（ ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ） u （ x 、 y 、 z ） e 私 k z + （ ∂ 2 ∂ z 2 u （ x 、 y 、 z ） ） e 私 k z + 2 （ ∂ ∂ z u （ x 、 y 、 z ） ） 私 k e 私 k z = 0 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)\,e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\,u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik\,{e^{ikz}}=0~.}
上記の近軸不等式により、{\textstyle } ∂ 2 u / ∂ z 2の項は 、 はるかに大きいk ∂ u / ∂ z の 。小さい方の項を省略すると 、 ( r ) = A ( r ) e − ikz A の近軸方程式が得られる。
∇ ⊥ 2 A + 2 私 k ∂ A ∂ z + 2 k 2 A = 0 。 {\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik\,{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0\,.}
フレネル回折積分は、 近軸ヘルムホルツ方程式の厳密解である。
非斉次ヘルムホルツ方程式 平面内の2つの放射線源は、数学的には関数f
結果として得られる場
A の実
部 A は、非斉次ヘルムホルツ方程式
(∇ 2 + k 2 ) A = − f の解である
。 非斉次ヘルムホルツ方程式 は次の式である。 ∇ 2 A （ x ） + k 2 A （ x ） = − f （ x ） 、 ∀ x ∈ R n 、 {\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} ),\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},} ƒ : R n C はコンパクトな台を持つ 関数であり、n = 1, 2, 3 です。遮蔽されたポアソン方程式と非常によく似ており、プラス記号 ( k 項の前) をマイナス記号に交換すれば同一になります。
解決 この方程式を一意に解くためには、無限遠における境界条件を指定する必要があり、それは通常、 ゾンマーフェルトの放射条件である。 リム r → ∞ r n − 1 2 （ ∂ ∂ r − 私 k ） A （ x ） = 0 、 {\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0\,,} n {\displaystyle n} θ 、 ϕ {\displaystyle \theta ,\phi } r = ∑ 私 = 1 n x 私 2 {\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~}}} x 私 {\displaystyle x_{i}} x 。 {\displaystyle \mathbf {x} \,.}
この条件の下では、非斉次ヘルムホルツ方程式の解は次のようになる。
A （ x ） = ∫ R n G （ x 、 x ′ ） f （ x ′ ） d x ′ {\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\,f(\mathbf {x'} )\,\operatorname {d} \mathbf {x'} }
（ f はコンパクトな台を持つため、この積分は実際には有限領域で行われることに注意してください。）ここで、G はこの方程式のグリーン関数、つまり f がディラックのデルタ関数 に等しい非斉次ヘルムホルツ方程式の解であり、G は 以下を満たします。
∇ 2 G （ x 、 x ′ ） + k 2 G （ x 、 x ′ ） = − δ （ x 、 x ′ ） ∈ R n 。 {\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}~.}
グリーン関数の式は空間の 次元nに依存する。 G （ x 、 x ′ ） = 私 e 私 k | x − x ′ | 2 k {\displaystyle G(x,x')={\frac {i\,e^{ik|x-x'|}}{2k}}} n = 1 の
G （ x 、 x ′ ） = 私 4 H 0 （ 1 ） （ k | x − x ′ | ） {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}\,H_{0}^{(1)}\!\!\left(k\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|\right)} n = 2 のH (1) 0 はハンケル関数 であり、 G （ x 、 x ′ ） = e 私 k | x − x ′ | 4 π | x − x ′ | {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}}} n = 3| x | → ∞
最後に、一般的なnについて、
G （ x 、 x ′ ） = c d k p H p （ 1 ） （ k | x − x ′ | ） | x − x ′ | p {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )~=~c_{d}\,k^{p}\,{\frac {H_{p}^{(1)}\!\!\left(k\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|^{p}}}}
どこp = n 2 − 1 {\textstyle p={\frac {n}{2}}-1} c d = 私 4 （ 2 π ） p 。 {\displaystyle c_{d}={\frac {i}{4\,(2\pi )^{p}}}\,.}
参考文献 アブラモウィッツ、ミルトン ；ステガン、アイリーン 編（1965）。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。ISBN 978-0-486-61272-0 – インターネットアーカイブ （archive.org）経由。ブランシュ、 ピエール＝アレクサンドル（2014）。ホログラフィーのフィールドガイド 。ワシントン州ベリンガム：SPIE国際光学工学会 。ISBN 978-0-8194-9957-8 。Engquist, Björn; Zhao, Hongkai (2018). 「高周波極限におけるヘルムホルツ方程式のグリーン関数の近似分離可能性」. Communications on Pure and Applied Mathematics 71 (11): 2220– 2274. doi : 10.1002/cpa.21755 . ISSN 0010-3640 . グッドマン、ジョセフ・W. (1996).フーリエ光学入門 . ニューヨーク、NY: マグロウヒル・サイエンス、エンジニアリング＆マセマティクス. ISBN 978-0-07-024254-8 。 Grella, R. (1982). "フレネル伝播と回折および近軸波動方程式". Journal of Optics 13 (6): 367–374 . Bibcode : 1982JOpt...13..367G . doi : 10.1088/0150-536X/13/6/006 . ISSN 0150-536X . Mehrabkhani, Soheil; Schneider, Thomas (2017). "レイリー・ゾンマーフェルト回折は高速回折アルゴリズムの正確な基準となるのか？". Optics Express 25 (24): 30229–30240 . arXiv : 1709.09727 . Bibcode : 2017OExpr..2530229M . doi : 10.1364/OE.25.030229 . ISSN 1094-4087 . PMID 29221054 . ノーブル、ベン（1958）。偏微分方程式の解法のためのウィーナー・ホップ法に基づく方法 。ニューヨーク、NY：テイラー＆フランシスUS。 ゾンマーフェルト、アーノルド（1949）。物理学における偏微分方程式 。ニューヨーク、NY：アカデミックプレス。第 16章。
さらに読む ライリー、KF; ホブソン、MP; ベンス、SJ (2002).物理学および工学のための数学的方法 . ニューヨーク、NY: ケンブリッジ大学出版局. 第 19章. ISBN 978-0-521-89067-0 。 ライリー、KF（2002）。科学者と技術者のための数学的手法 。カリフォルニア州サウサリート：ユニバーシティ・サイエンス・ブックス。第 16章。ISBN 978-1-891389-24-5 。 サレハ、バハEA;タイヒ、マルビン・カール (1991)。フォトニクスの基礎 。純粋光学および応用光学の Wiley シリーズ。ニューヨーク州ニューヨーク: ジョン・ワイリー&サンズ。 ch. 3、80–107ページ 。ISBN 978-0-471-83965-1 。 ハウ、MS（1998）。流体構造相互作用の音響学 。ニューヨーク州ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-63320-8 。
外部リンク EqWorld（数学方程式の世界）におけるヘルムホルツ方程式。 「ヘルムホルツ方程式」、数学百科事典 サム・ブレイクによる振動する円形膜、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト 。 2次元無限領域における波動方程式、ヘルムホルツ方程式、ポアソン方程式のグリーン関数
![{\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{+\ell }\left[a_{\ell m}\,j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}\,y_{\ell }(kr)\right]Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf8d23947aa715cbfe9bc1a1c99801e4bee3878)
