ラビ周波数

ラビ周波数は、振動する電磁場において2 つの原子エネルギーレベルの確率振幅が変動する周波数です。これは、2 つのレベルの遷移双極子モーメントと電磁場の振幅 (強度ではない)に比例します。2 つのレベル間のエネルギー差と正確に共鳴する光で照射されたこのような 2 レベルシステムのレベル間のポピュレーション移動は、ラビ周波数で発生します。入射光がこのエネルギー差から離調すると (共鳴から離調すると)、ポピュレーション移動は一般化ラビ周波数で発生します。ラビ周波数は、原子を量子化されたエネルギーレベルを持つオブジェクトとして、電磁場を連続波として扱うため、半古典的な概念です。

核磁気共鳴実験の文脈では、ラビ周波数は、無線周波数場を中心としたサンプルの正味の核磁化ベクトルの章動周波数です。（これは、静磁場を中心とした横方向の核磁化の歳差運動を特徴付けるラーモア周波数とは異なることに注意してください。）

導出

ハミルトニアンを持つ量子システムの 2 つのエネルギー固有状態を考えてみましょう(たとえば、これは水素原子やアルカリ原子のようなポテンシャル内の粒子のハミルトニアンの場合があります)。 ${\hat {H}}_{0}$ ${\frac {1}{r}}$

${\begin{aligned}\psi _{1}(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle \\\psi _{2 }(\mathbf {r} ,t)&=e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle \end{aligned}}$

時間依存ハミルトニアンを考えてみましょう

${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)$

ここでは電磁場のポテンシャルです。ポテンシャルを摂動として扱うと、摂動を受けたハミルトニアンの固有状態は、時間依存の係数を持つ元のハミルトニアンの固有状態の混合であることが予想されます。 ${\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}\cos(\omega t)$

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=c_{1}(t)e^{-i\omega _{1}t}|1\rangle +c_{2}(t)e^{-i\omega _{2}t}|2\rangle$

これを時間依存のシュレーディンガー方程式に当てはめると

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}={\hat {\mathcal {H}}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

およびのそれぞれとの内積をとり、固有状態の直交条件を使用すると、係数およびの 2 つの方程式が得られます。 $e^{i\omega _{1}t}\langle 1|$ $e^{i\omega _{2}t}\langle 2|$ $\langle i|j\rangle =\delta _{i,j}$ $c_{1}(t)$ $c_{2}(t)$

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle +{\frac {e^{i\omega _{0}t}c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle \\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle +{\frac {e^{-i\omega _{0}t}c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle \end{aligned}}$

ここで、括弧内の2つの項は、電磁場の分極ベクトルに点在する双極子行列要素である。水素原子ポテンシャルの球対称空間固有関数を考えると、対角行列要素はゼロになり、次のようになる。 $\omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2}$ $|i\rangle$

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {c_{2}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 1|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|2\rangle e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {c_{1}(t)\cos(\omega t)}{\hbar }}\langle 2|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|1\rangle e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}$

または

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}\end{aligned}}$

ここで、ラビ周波数はどこにありますか。 $\Omega :=\Omega _{1,2}$ $\Omega _{i,j}={\frac {\langle i|e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{0}|j\rangle }{\hbar }}$

直感

分子には遷移の遷移双極子モーメントがあり、その振幅の二乗は電磁場と原子間の相互作用の強さを表し、はベクトル電場振幅で、分極を含みます。分子はエネルギーの次元を持っているので、で割ると角周波数が得られます。 $i\to j$ $\mathbf {E} _{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}$ $\hbar$

古典的な双極子との類推により、大きな双極子モーメントを持つ原子は電場による摂動を受けやすいことは明らかです。ドット積にはという係数が含まれます。ここでは光の偏光と遷移双極子モーメントの間の角度です。これらが平行のとき相互作用は最も強くなり、垂直のときは相互作用はまったくありません。 $\cos \theta$ $\theta$

上記の微分方程式を書き直すと次のようになります。

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)=\Omega c_{2}(t)\cos(\omega t)e^{i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega c_{2}}{2}}(e^{i(\omega -\omega _{0})t}+e^{-i(\omega +\omega _{0})t})\\i{\dot {c}}_{2}(t)=\Omega ^{*}c_{1}(t)\cos(\omega t)e^{-i\omega _{0}t}&\to {\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}(e^{i(\omega +\omega _{0})t}+e^{-i(\omega -\omega _{0})t})\end{aligned}}$

回転波近似を適用すると、高周波振動項を除外することができると仮定して、次式が得られる。 $\omega +\omega _{0}>>\omega -\omega _{0}$

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega c_{2}}{2}}e^{i\delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega ^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\delta t}\end{aligned}}$

ここで、これはレーザーと原子の周波数間の離調と呼ばれます。 $\delta =\omega -\omega _{0}$

時刻に原子がにあると仮定してこれらの方程式を解くと、 $t=0$ $|1\rangle$ $c_{1}(0)=1$

$|c_{2}(t)|^{2}={\frac {\Omega ^{2}\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {{\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}t}{2}}{\bigg )}}{\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}$

これは、状態の集団のデチューニングと時間の関数としての確率です。デチューニングと 0 からまでの時間のランプの関数としてプロットすると、次のようになります。 $|2\rangle$ $t={\frac {\pi }{\Omega }}$

光共鳴のアニメーション、周波数領域

人口はラビ周波数で 2 つの状態の間を振動することがわかります。 $\delta =0$

一般化ラビ周波数

この量は一般に「一般化ラビ周波数」と呼ばれます。の場合、ラビフロッピングは実際にこの周波数で発生します。ここで、はデチューニングで、遷移に対して光がどれだけ共鳴から外れているかの尺度です。たとえば、オフセット周波数 ±1.73 で上記のアニメーションを調べると、アニメーション中に示されている 1/2 ラビサイクル (共鳴時) 中に、振動は代わりに 1 サイクルを経るため、この式で予測されているように(通常の) ラビ周波数の 2 倍になることがわかります。また、入射光周波数が遷移周波数からさらにシフトすると、上のグラフの破線のエンベロープで示されているように、ラビ振動の振幅が減少することにも注意してください。 ${\sqrt {\Omega ^{2}+\delta ^{2}}}$ $\delta \neq 0$ $\delta$ $\Omega _{i,j}$

2光子ラビ周波数

コヒーレントラビ振動は、 2 光子遷移によっても駆動される可能性があります。この場合、3 つの原子エネルギーレベル、、およびを持つシステムを考えます。ここで、は対応する周波数を持つ中間状態であり、 2 つの周波数成分を持つ電磁場です。 $|1\rangle$ $|i\rangle$ $|2\rangle$ $|i\rangle$ $\omega _{i}$

${\hat {V}}(t)=e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L1}\cos(\omega _{L1}t)+e\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} _{L2}\cos(\omega _{L2}t)$

2 光子遷移は、基底状態から中間状態への励起、そして中間状態から励起状態への励起とは異なります。代わりに、原子は 2 つの光子を同時に吸収し、初期状態と最終状態の間で直接遷移します。2 つの光子のビート音は、2 光子遷移 (初期状態と最終状態の周波数の差) と共鳴する必要があります。

${\begin{aligned}&|\omega _{L1}-\omega _{L2}|=\omega _{2}-\omega _{1}\\&\Delta =|\omega _{L1}-(\omega _{i}-\omega _{1})|\gg 0\end{aligned}}$

デルタは中間状態からの散乱率を決定します。値が大きいほど、コヒーレンス時間は長くなります。

2光子ラビ周波数は、次の式に戻って導出できる。

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{1}(t)&={\frac {\Omega _{1i}c_{i}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{1i}^{*}c_{1}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}$

これらは基底状態と中間状態の間の励起を記述する。我々は解を持っていることがわかっている。

$c_{i}(t)={\frac {\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{{\tilde {\Omega }}_{1i}}}$

ここで、は初期状態から中間状態への遷移の一般化ラビ周波数である。同様に、中間状態から最終状態への遷移については、次の式が成り立つ。 ${\tilde {\Omega }}_{1i}$

${\begin{aligned}i{\dot {c}}_{i}(t)&={\frac {\Omega _{i2}c_{2}}{2}}e^{i\Delta t}\\i{\dot {c}}_{2}(t)&={\frac {\Omega _{i2}^{*}c_{i}}{2}}e^{-i\Delta t}\end{aligned}}$

さて、上の式に代入すると $c_{i}(t)$ ${\dot {c}}_{2}(t)$

$i{\dot {c}}_{2}(t)={\frac {\Omega _{i2}^{*}\Omega _{1i}\sin {\bigg (}{\frac {{\tilde {\Omega }}_{1i}t}{2}}{\bigg )}}{2{\tilde {\Omega }}_{1i}}}e^{-i\Delta t}$